第7章《锐角三角函数》知识讲练（学生版）

2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练知识点01：锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，

但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点诠释：

1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

知识点02：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

要点诠释：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

知识点03：解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

要点诠释：

1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

3．锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：

∵

∴

∵

∴

∵

∴一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•梁溪区校级二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A处，花洒AD的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角∠BAD＝120°，当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为（）A．厘米 B．200厘米 C．厘米 D．170厘米2．（2分）（2023•武进区一模）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y、S是小正方形的顶点，Q是边XY上一点．T是PQ与SY的交点，若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则tan∠QTY的值为（）A． B． C． D．3．（2分）（2023•仪征市模拟）如图，​点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（0，4），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则∠B'A′O的正弦值为（）A． B． C． D．4．（2分）（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P（﹣a，a）（a＞0），连接AP交y轴于点B．若AB：BP＝2：1．则sin∠PAO的值是（）A． B． C． D．5．（2分）（2023•涟水县一模）如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值是（）A． B． C． D．6．（2分）（2023•姑苏区校级二模）如图，小明在点A处仰头45°看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻望向楼顶D处的仰角为60°，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像．已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（）A．2秒 B．秒 C．秒 D．条件不足，无法计算7．（2分）（2023•惠山区校级模拟）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了6米到达点E即EF＝6米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．6sin32° B．6tan64° C．6tan32° D．6sin64°8．（2分）（2023•宿城区校级模拟）如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（）A． B． C． D．9．（2分）（2023•邗江区校级模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，AC＝8，，则sin∠DBA等于（）A． B． C． D．10．（2分）（2023•宿城区一模）如图，在Rt△ABC中，1＜AC＜5，tan∠ABC＝2．分别以点C，A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接BD，则BD的最大值为（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．12．（2分）（2023•建邺区一模）如图①，有一个圆柱形的玻璃杯，底面直径AB是20cm，高30cm，杯内装有一些溶液．如图2，将玻璃杯绕点B倾斜，液面恰好到达容器顶端时，AB与水平线l的夹角为30°．则图①中液面距离容器顶端cm．13．（2分）（2023•邗江区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝6，点D、E、F分别在AC、BC、AB边上，且DE⊥EF，tan∠EDC＝2，则△DEF的面积最大值．14．（2分）（2023•南通二模）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2为其示意图，支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，则活动杆端点D离地面的高度DF＝cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）​15．（2分）（2023•惠山区三模）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（2分）（2023•盐都区二模）如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12．李老师乘扶梯从底端A以0.5m/s的速度用时40s到达顶端B，则李老师上升的垂直高度BC为．17．（2分）（2022秋•桐柏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，．则sin∠DBE的值为．18．（2分）（2023•崇川区校级三模）如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在高地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°．测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是米．19．（2分）（2023•海安市模拟）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为海里．20．（2分）（2020•鼓楼区校级开学）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，过点C的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且CD＝BE，则OC的最小值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•兴化市月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为66m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．（1）求EF的长；（2）求楼AB与CD之间的距离AC的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．22．（6分）（2023•沛县三模）科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，MC＝AB．（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，≈1.73）23．（8分）（2023•海陵区校级二模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板OM上，OB＝50cm，将木板OM绕一端点O旋转40°至OM′（即∠MOM′＝40°）（如图为该操作的截面示意图）．（1）求点C到C′竖直方向上升高度（即过点C，C′水平线之间的距离）；（2）求点D到D′竖直方向上升高度（即过点D，D′水平线之间的距离）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，（1）（2）题中结果精确到个位）24．（8分）（2023•射阳县校级模拟）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板CE垫成倾斜角为12°的斜面，让小球从E点（此时小球的速度为0）沿斜面下滑到C点，测出这一过程中小球运动的时间为2秒，再将同样长度的木板放置在AB处，使点A在CE上，且B，C，D在同一水平线上，测得BC＝50厘米，此时倾斜角为8°，按照同样的条件测得小球从A点沿斜面运动到B点所用的时间为4秒．（1）设小球在EC上运动的平均速度为vEC，在AB上运动的平均速度为vAB，则vECvAB（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）求木板端点A到BD的高度（结果保留一位小数．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）．25．（8分）（2023•宿豫区三模）宿迁骆马湖两岸风光如画，大家都喜欢坐游船游览观光．如图，在某两段平行航道（不考虑其他因素），甲游船由西向东慢速航行，同时乙游船由东向西航行，喜爱数学的小华在甲游船到达点A处时测得C处的乙游船在甲游船的北偏东67.4°方向，向前行驶156m到点B处测得行驶到D处的乙游船在甲游船的北偏东37°方向，CD＝240m，求第二次测量时甲、乙两游船之间的距离．（参考数据：，，，，，）26．（8分）（2023•徐州二模）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点A出发，走不同路