专题22.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质之八大考点（解析版）

专题22.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质之八大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1【考点二画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 2【考点三二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 8【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】 11【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】 13【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】 14【考点七二次函数的平移】 15【考点八根据二次函数的增减性求最值】 17【过关检测】 21【典型例题】【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】例题：（2023·北京海淀·校考一模）将二次函数化成的形式，结果为．【答案】【分析】利用配方法整理即可得解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山西晋中·统考一模）将抛物线化成顶点式为．【答案】【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．【详解】解：由抛物线可化为顶点式为；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．2．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）二次函数图象的顶点坐标是．【答案】【分析】将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答．【详解】解：根据题意可得：，∴该函数图象的顶点坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤．3．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）二次函数的图象开口向，顶点坐标为．【答案】上【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，故答案为：上，．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键．【考点二画二次函数y=ax²+bx+c的图象】例题：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数．(1)将函数关系式化为的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)利用描点法画出所给函数的图像．x···0123···y······(3)当时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为(2)见解析(3)【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为；（2）解：列表如下：x···0123···y···03430···函数图象如下所示：（3）解：由函数图象可知，当时，．【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线．(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；…………(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较与的大小．【答案】(1)，(2)填表见解析，画图见详解(3)【分析】（1）根据抛物线的对称轴，代入对称轴的值即可求解顶点坐标；（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；（3）根据函数图像的特点即可求解．【详解】（1）解：抛物线中，，∴对称轴为，顶点坐标公式中横坐标为，∴顶点坐标的纵坐标的值为，∴顶点坐标为，故答案为：，．（2）解：抛物线中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一），…………描点、连线如图所示，（3）解：由（2）可知，当时，函数值随自变量的增大而增大，∴横坐标满足时，两点，中，∴当时，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图的方法，二次函数图像的性质是解题的关键．2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数．(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；(2)在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像；(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．【答案】(1)顶点坐标(2)见解析(3)这个二次函数图像在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．【详解】（1）解：（1）∴二次函数的顶点坐标；（2）解：当时，，当时，，经过点，，顶点坐标为：图像如图所示：（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线．(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；x…012345……0…(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．【答案】(1)，1，0，绘图见解析(2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为【分析】（1）将分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可；（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．【详解】（1）解：∵，∴当时，；当时，；当时，；补全表格如下∶x…012345……01

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…抛物线如图所示；（2）解：由图象得，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．【考点三二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】例题：（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可．【详解】解：由抛物线，可知：，抛物线开口向上，因此A选项正确；抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确；当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确；因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级专题练习）关于抛物线的判断，下列说法正确的是（

）．A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线C．在抛物线对称轴左侧，随增大而减小D．抛物线顶点到轴的距离是2【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，，所以顶点坐标为，故抛物线顶点到x轴的距离是2；综上所述只有D选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．图象顶点坐标为，对称轴为直线．B．的最小值为．C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小．D．它的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．【答案】D【分析】根据题意，二次函数，可以知道函数开口向上，对称轴为，顶点为，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误．【详解】二次函数，，该函数开口向上，对称轴为，顶点为，A选项正确；当时，有最小值，B选项正确；当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，C选项正确；根据平移的规律，的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：，D选项错误；故选：D．【点睛】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知识是解题的关键．3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(

)A．点在该函数的图象上B．当且时，C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，当时：，∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时，有最大值为，当时，有最小值为，∴，故B选项错误；∵，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；当时，抛物线的对称轴为：，∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线与轴交点坐标为__________．【答案】【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．【详解】解：令，即，解得则抛物线与x轴的交点坐标为,故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数图象与轴的交点坐标为_________．【答案】【分析】令，解方程即可求解．【详解】解：令，得，解得：，∴二次函数图象与轴的交点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了求二次函数图象与轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为________．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【详解】解：令，则，解得，，∴，，∴．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】例题：（2023·上海·一模）抛物线与y轴交点的坐标为____．【答案】【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点．【详解】解：当时，抛物线与轴相交，把代入，求得，抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标为______．【答案】【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当时，，所以抛物线与y轴的交点坐标为．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）二次函数的图象与轴交点坐标是________．【答案】【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答．【详解】解：当时，，∴二次函数的图象与轴交点坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是_______．【答案】，【分析】根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标．【详解】解：令，得，抛物线与轴的交点坐标是：，令，即，解得，，所以抛物线与轴交点的坐标是，．故答案为：；，．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，难度不大．【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是______．【答案】【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【详解】解：∵点、的纵坐标都是6，∴抛物线的对称轴为直线，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上的两点坐标的关系是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）若，在抛物线上，则m的值为_______________．【答案】1【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【详解】解：因为点，的纵坐标相同，都是5所以对称轴为直线故m的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象的对称性是解题的关键．2．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：x…012…y…04664…则该二次函数图象的对称轴为直线___________．【答案】【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．【详解】解：由图表可知：时，，时，，二次函数的对称轴为，故答案为：．【点睛】题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．【考点七二次函数的平移】例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．【答案】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．【详解】的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得．故答案为：．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．【变式训练】1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．【答案】【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为_______．【答案】12【分析】先根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的抛物线的解析式，再求解新函数与y轴交点的纵坐标即可．【详解】解：∵，∴将此二次函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新二次函数为，当时，；∴新函数图象与y轴交点的纵坐标为12；故答案为：12．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．【答案】【分析】根据上加下减，左加右减的规律即可求解．【详解】解：抛物线平移后解析式为，即，所以新的抛物线的顶点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线的平移与求顶点坐标，需掌握以下两点：1.抛物线的平移规律是上加下减，左加右减；2.抛物线的顶点式解析式为，其中顶点为．【考点八根据二次函数的增减性求最值】例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成顶点式得到，由于，根据二次函数的性质得时，y的值最大；当时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．【详解】解：，当时，y有最小值1，∵，∴时，y的值最大，最大值为5；当时，y有最小值1，故答案为：5；1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值．【变式训练】1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案．【详解】解：，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，，当时，，即二次函数的最小值是；到的距离为；到的距离为，当时，代入得，即二次函数的最大值是；时，函数的最小值为，最大值为，故答案为：，．【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键．2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数.（1）当时，二次函数的最小值为________；（2）当时，二次函数的最小值为1，则________.【答案】或【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值；（2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可．【详解】解：（1）当时，，∵，则开口向上，∴二次函数的最小值为，故答案为：；（2）二次函数，则对称轴为：，分三种情况：①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，∴当时，有最小值，，解得：；②当时，即时，此时对称轴在内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，∴当时，有最小值，，解得：；∵，∴，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，∴当时，有最小值，，解得：（舍去）；综上所述，或；故答案为：或【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数，（1）当时，二次函数的最大值为______．（2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为______．【答案】18或【分析】（1）将代入，再根据二次函数的性质求解即可；（2）先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．【详解】（1）解：将代入，得：，当时，函数有最大值1，故答案为：1；（2）解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，①当时，即时，，在对称轴右侧，随的增大而减小，当时，有最大值为6，，解得：；②当时，即时，当时，有最大值为6，，解得：，，（不合题意，舍去），③当时，即时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，当时，有最大值为6，，解得：，综上所述，的值为8或．【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【过关检测】一、选择题1．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）抛物线的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】根据对称轴公式即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式是解题的关键．2．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，平移后得到的抛物线解析式是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象平移何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移方法．3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）关于二次函数，下列说法不正确的是（）A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的左侧C．图像的顶点坐标为D．当时，的值随值的增大而减小【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式，结合二次函数的图像与性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：∵，∴当时，，即图像与轴的交点坐标为，故选项A正确；该函数的对称轴是直线，故B选项正确；函数的顶点坐标为，故选项C正确；该函数解析式中，故函数图像开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D不正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，明确题意，正确运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键．4．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）已知抛物线（）上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：x…-2-10123…y…-40220-4…下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随增大而减小；③抛物线的对称轴是；④函数的最大值是2．其中正确的结论是(

)A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】①待定系数法求出二次函数的解析式，判断开口方向即可；②根据二次函数的性质，判断增减性；③求出二次函数的对称轴，进行判断；④求出二次函数的最值，进行判断即可．【详解】解：①由表格可知，，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，抛物线开口向下，故①正确；②抛物线的对称轴是直线：，当时，随增大而减小，故②正确；③抛物线的对称轴是直线：，故③错误；④当时，函数具有最大值，最大值为：，故④错误；综上，正确的是①②；故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式．5．（2023·陕西西安·校考一模）已知：二次函数，下列说法中错误的个数是（）若图象与轴有交点，则若该抛物线的顶点在直线上，则的值为当时，不等式的解集是若将图象向上平移个单位，再向左平移个单位后过点，则若抛物线与轴有两个交点，横坐标分别为、，则当取时的函数值与取时的函数值相等．A． B． C． D．【答案】C【分析】①和x轴有交点，就说明，易求a的取值；②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；③将代入不等式，即可求其解集；④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；⑤利用根与系数的关系将的值代入解析式进行计算即可．【详解】解：①当，即时，二次函数和x轴有交点，故①错误；②∵二次函数的顶点坐标为，代入得，，故②正确；③当时，，图象与x轴交点坐标为：，故不等式的解集是：或，故③错误；④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为：，∵图象过点，∴将此点代入得：，解得：．故④错误；⑤由根与系数的关系，，当时，,当时，,故⑤正确．故选：C．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式（组）等知识，综合性较强．二、填空题6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）抛物线的对称轴是直线，则．【答案】2【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．【详解】解：∵的对称轴是直线，，∴，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．7．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．【答案】下【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．【详解】∵，而，∴开口方向向下．∵，∴对称轴是，顶点坐标是．故答案为：下，，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为．8．（2023·上海·九年级假期作业）已知点，在二次函数的图像上，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【分析】由抛物线开口向上可得，距离对称轴越远的点，值越大，从而求解．【详解】由可得抛物线开口向上，对称轴为∵∴故答案为：＞．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法．9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为．【答案】【分析】令则解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令则可得抛物线与y轴的交点坐标.【详解】解：令则∴解得：∴抛物线与x轴的交点坐标为令则∴抛物线与y轴交点坐标为故答案为：；【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本题的关键.10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．（1）此抛物线的对称轴为直线；（2）当时，y的最小值为−4，则．【答案】14或【分析】（1）根据抛物线的解析式可得，再代入对称轴进行计算即可；（2）根据二次函数的图象与性质可知当当时，在，函数有最小值，当时，在中，当时，函数有最小值，再根据y的最小值为−4代入进行计算即可．【详解】解：（1）由抛物线可知，，对称轴，故答案为：1；（2）当时，在，函数有最小值，∵y的最小值为，，；当时，在中，当时，函数有最小值，，解得；综上所述：a的值为4或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值及对称轴，熟练掌握二次函数的性质和对称轴公式是解决问题的关键．三、解答题11．（2023·四川泸州·统考一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)求的面积．【答案】(1)(2)24【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；（2）先求得抛物线与y轴、x轴交点坐标，再由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：令，则，∴，∴，令，则，解得：，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握将抛物线解析式化成顶点式和求抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．12．（2023·上海奉贤·统考一模）已知抛物线，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．(1)求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．【答案】(1)平移后函数关系式为：所以其开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；(2)见解析【分析】（1）先将化为顶点式，再求平移后的函数关系式，再回答问题即可；（2）画出平移后的二次函数图像即可；【详解】（1），将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后函数关系式为：所以其开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；（2）【点睛】本题结合图象考查了二次函数的平移及性质，关键是掌握函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值．13．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，(1)用配方法求出顶点D坐标(2)画出函数图象(3)直接写出四边形的面积；【答案】(1)(2)见解析(3)9【分析】（1）利用配方法把解析式化为顶点式，即可求解；（2）分别求出抛物线与y轴，与x轴的交点坐标，在画出图形，即可求解；（3）根据四边形的面积为，即可求解．【详解】（1）解：，∴顶点D坐标为；（2）解：当时，，∴抛物线与y轴的交点为，当时，，解得：，∴抛物线与x轴的交点坐标为和，画出函数图象，如下：（3）解：过点D作轴于点E，则，由（2）得∶，，，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．14．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线．(1)它与轴交点的坐标为_______，与轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；…………

(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围________；(4)若点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围_______．【答案】(1)，；；(2)见解析(3)(4)或【分析】（1）分别令，求得与坐标轴的交点，化为顶点式