2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的（三）

2021年九级中考数学压轴题满分训练

几何之圆的专题(三)

1.如图，已知是0。的直径，。是。O上一点(不与48重合)，。为的众中点,

过点D作弦DE_LAB于F,尸是A4延长线上一点，且

(1)求证：依是。。的切线;

(2)连接C4与。E相交于点G,C4的延长线交'于"，求证：HE=HG;

2.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为

该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,NE是△4SC中/月的遥望角，若N/l=a,请用含a的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形内接于。。，俞=俞，四边形力88的外角平分线

交0。于点尸，连接B尸并延长交8的延长线于点E.求证：NBEC是AABC中/

回1。的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接4E,AF,若力。是。。的直径.

①求//即的度数；

②若48=8,8=5,求尸的面积.

图1图2图3

3.如图，力是以为直径的圆。上一点，AD1.BC于点D,过点B作圆。的切线，与

CA的延长线相交于点E,G是/。的中点，连接并延长CG与AE相交于点F,连接并

延长力R与的延长线相交于点P.

(1)求证：BF=EF-,

(2)求证：%是圆。的切线；

(3)若FG=EF=3,求圆。的半径和30的长度.

4.如图，点/是的内心，的延长线与△45。的外接圆。。交于点。，与/。交

于点4延长8、氏4相交于点F,/月。厂的平分线交/斤于点G.

(1)求证：0G是0。的切线；

(2)若OE=4,BE=5,求。/的长.

5.如图，在△/1BC中，AB=AC,以边3。为直径作。。，交月C于点。，连接力。，交

8。于点E,交。。于点F,连接DF.

(1)求证：ZCAO=ZCBD-,

⑵求证：^二景;

(3)当△AM为等腰三角形时，若BC=4,求△。防的面积.

6.如图，48为。。的直径，C、。是。。上的点，尸是。。外一点，AC_LPD于点E,

40平分NH4C.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若DE=2,/A4C=60°,求。。的半径.

7.如图，在锐角三角形力B。中，AB=AC,0。是△48。的外接圆，连接力。，BO,延

长3。交力。于点D.

(1)求证：力。平分NA4C;

S1

(2)若。。的半径为5,AD=6,设△43。的面积为⑤，△38的面积为S2,求彳工

的值.

(3)若黑=m,求cos/JR4c的值(用含m的代数式表示).

A

8.如图，在△/BC中，AC=BC,以为直径的。O与底边48交于点。，过点。作

DELAC,垂足为点区

(1)求证：为。。的切线；

(2)若3C=4,Z71=30°,求防的长.(结果保留兀)

9.如图，月B是。。的直径，弦CDtAB,E是C4延长线上的一点，连接。E交。。于

点片连接力尸，CF.

(1)若命的度数是40°,求//斤。的度数;

(2)求证：月尸平分NC冗E;

(3)若4B=5,8=4,CR经过圆心，求CE的长.

10.如图，月B是。。的直径，点。在O。上，NC4B的平分线交。。于点。，过点。作

的垂线交力。的延长线于点E.

(1)证明：即是。。的切线；

(2)若。。半径为3,CE=2,求3。的长.

11.如图，四边形月内接于。。，AD,8。的延长线交于点E,R是如延长线上一

点，NCDE=*CDF=60。.

(1)求证：△力是等边三角形；

(2)判断D4,DC,之间的数量关系，并证明你的结论.

12.如图1,4B是。。的直径，PB,PC是。。的两条切线，切点分别为3,C.

(1)求证：£CPB=2(ABC;

(2)延长历1、尸。相交于点。(如图2),设。。的半径为2,sin/尸。8=毋，求尸。

o

的长.

13.如图1,在Rt△力BC中，/力。8=90°,AB=5,BC=3,点。是边/C上一个动

点(不与4。重合)，点。为射线力B上一点，且。4=。。，以点。为圆心，CD为

半径作0G设。4=x.

(1)如图2,当点。与点B重合时，求x的值；

(2)当点。在线段上，如果。。与48的另一个交点E在线段上时，设4£=

y,试求了与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)在点。的运动过程中，如果0。与线段力8只有一个公共点，请直接写出x的取

值范围.

14.如图，在矩形力88中，点。在对角线力。上，以。为圆心，。。的长为半径的。。

与/C,8分别交于点区F,且“AF=NBAC.

(1)求证：直线另歹与0。相切；

(2)若tan/D4F=返，48=4,求0。的半径.

15.如图，是。。的直径，是。O的弦，AD交BC于点E,连接力CD.过点

£作EFLAB,垂足为F,ZAEF=ZD.

(1)求证：ADLBC-,

(2)点G在的延长线上，连接力G,ADAG=2AD.

①求证：力G与。。相切;

AF9

②当黑=9,CE=3时，求4G的长.

Br5

D

参考答案

••,48是。。的直径，

/月EB=90°,

：.Z.EAB+Z,B=90°,

■：OA=OE,

：.ZOAE=ZAEO,

：.J/B+Z.AEO=90°,

■：APEA=Z.B,

：./.PEA+AAEO=90a,

：.APEO=90a,

又••・O£为半径，

•••/石是0。的切线；

为前的中点,

：.OD1AC,设垂足为M,

.../41/0=90°,

DELAB,

.\^AFD=90°,

：,/_AOD^/_OAM=AOAM+Z.AGF=90°,

；.NAOD=/AGF,

•：£AEB=ZEFB=90°,

：.2B=£AEF,

■:乙PEA=/_B,

：,/_PEF=2/_B,

t：DEVAB,

•0=俞,

:、(AOD=2(B,

ZPEF=ZAOD=ZAGF,

:.HE=HG;

.・./_p=/_ODF,

OF5

tanZP=tanZODF=—

DF12

设。9=5x,贝iJZ?F=12x,

-*•°P=VOF2+DF2=13X，

BF=OF+OB=5x+13x=18x,AF=OA-OF=13x-5x=8x,

DE]_OA,

：.EF=DF='2X,

22=4-X>BE=22=6

•1•AE=VAF+EF/13VEF+BF

•・•NPEA=",/_EPA=/_BPE,

:APEASXPBE,

.PA_AE_W13_2

,,PE"BE=67IT=T,

•・•2A/PEF=zFAG^2AGF=90°,

：.2PEF=/_AGF,

・・・/P=ZFAG,

又♦:乙FAG=£PAH,

・•.ZP=ZPAH,

:.PH=AH,

过点H作HK1PA于点K,

:.PK=AK,

，里」

..市W'

5

•.,tan/P=—,

12

设〃£=5a,PK=12a,

：.PH=13a,

：.AH=13a,PE=36a,

；.HE=HG=36a-13a=23a,

：.AG=GH-AH=23a-13a=10a,

.AH_13a_13

"AG=10a"10'

2.解：(1);BE平分NABC,CE平分N/8,

:./_E=乙ECD-/_EBD=^(AACD-/.ABC)=yZA=^<i»

(2)如图1,延长BC到点T,

一

BT

图1

•••四边形上88内接于。。，

/即。+/咫。=180°,

又•：£FDE+£FDC=180°,

.1.NFDE=NFBC,

•.•。尸平分NAOE,

ZADF=ZFDE,

■：/_ADF=/.ABF,

：.ZABF=ZFBC,

.,.BE是NABC的平分线，

AD=BD>

：.Z.ACD=Z.BFD,

■：ABFD+/_BCD=1SO0,ADCT+ABCD=180a,

ZDCT=ZBFD,

：.£ACD=/.DCT,

.•.CE是△AB。的外角平分线，

NBEC是AABC中ZBAC的遥望角.

(3)①如图2,连接C*

图2

•••ZBEC是△ABC中ZBAC的遥望角,

：.ABAC=2ABEC,

•：ZBFC=/.BAC,

：./_BFC=2/_BEC,

■：ZBFC=ZBEC+ZFCE,

：.ZBEC=ZFCE,

•••zFCE=zFAD,

•••ZBEC=ZFAD,

又,：乙FDE=/_FDA,FD=FD,

:.XFDUXFDA(AAS),

DE=DA,

：,Z_AED=Z.DAE,

.・NC是。。的直径，

：,/_ADC=9G0,

，乙AE8/.DAE=90°,

AAED=ADAE=45°,

②如图3,过点力作月GIBE于点G,过点p作FM：LCE于■点M,

图3

,•・力。是QO的直径，

：.Z.ABC=90°,

〈BE平分乙ABC、

；.NFAC=/EBC.NABC=45。,

---ZAED=45°,

：.LAED=/.FAC,

•：ZFED=NFAD,

：.Z.AED-ZFED=ZFAC-ZFAD,

：.ZAEG=ZCAD,

；ZEGA=NADC=90°,

:AEGASAADC,

.AEAG

"AC"CD"

•.•在RtzX/BG中，48=8,NABG=45°,

二5G=-^-AB=4V2,

在Rt△力。E中，AE=-/2^D,

.V2ADW2

,,=，

AC5

,AD4

"'ACV

在Rt△力OC中，AD1+DCi=ACi,

.•.设4D=4x,AC=5x,则有（4x）2+52=（5x）2,

：.ED=AD=—,

3

/.CE=CD+DE=—,

3

1/ZBEC=ZFCE,

：.FC=FE,

■：FMLCE,

：.EM=—CE=—,

26

5

：.DM=DE-EM=—

69

,."FDM=45°,

5

：.FM=DM=—

69

195

S&DEF=FDE，FM=-~^~・

ny

3.解：（1）••・EB是切线，ADLBC,

：.ZEBC=ZADC=900,

：.ADIIEB,

.AGCGGD

一瓯F营

•.•G是/。的中点，

.\AG=GD,

：.EF=FB・,

(2)证明：连接40,AB,

图1

••.3。是。。的直径，

.,.ZB4C=90°.

在RtaA4E中，由(1)知，尸是斜边板的中点,

AF=FB=EF.

：./_FBA=/_FAB.

又•.Q4=OB,

ZABO=ZBAO.

是0。的切线，

：.AEBO=90o.

•••NEBO=ZFBA+ZABO=ZFAB+ABAO=AFAO=90°,

.••力是。。的切线.

(3)如图2,连接力8,AO,

••.ec是直径，

：.NBAC=NBAE=9G°,

■：EF=FB,

；.FA=FB=FE=FG=3,

过点尸作FHLAG交力G于点H,

\'FA=FG,FH上AG,

.，AH=HG,

•；/_FBD=zBDH=zFHD=90°,

.・.四边形笈BZ汨是矩形，

:.FB=DH=3,

\'AG=GD,

・・.AH=HG=1,GD=2,FH=VAF2-AH2=VS2-12=2V2J

BD=2y[2,,

设半径为r,在Rt^4O。中,

■：ACP=Ab2+OD2,

i2=42+（r-2衣）2

，r=3&.

••,点/是△力B。的内心，

：./_CBD=AABD,

•■-CD=AD>

ZODIAC,

平分N4DF,

・•.ZADG=汆ADFyZCBD=yZABC,

•・•四边形4B8是圆内接四边形，

••.NADF=NABG

・•.ZADG=ZCBD,

•・,ZCAD=ZCBD,

；.ZADG=ZCAD,

：.DGIIAC;

：.OD_LDG9

・・・OG是。。的切线；

(2)解：•・•点/是△43。的内心，

ZBAI=ZCAI,

•・•ZEIA=ZIBA^/_IAB=ZCAD+ACAI,

即N"4=/D4/,

:・DA=DI,

,:乙DAE=/_DBA、/_ADE=/_BDA,

:.匕DAES/\DBA,

.\AD:DB=DE:DA,

BPAD:9=4:AD,

.\AD=69

:・DI=6.

5.(1)证明：­：AB=AC,OB=OC,

••・/月。。=90°,

/.ZCAO+ZACO=90°,

•・.BC是。。的直径，

,\Z_BDC=90°,

・•・/_CBA/_BCD=9b°,

ZCAO=ZCBD;

(2)证明：\'AB=AC9OB=CO,

/_BAO=/_CAO,

又,；/_CAO=/_CBD,

•/ZBAO=ZEBO,

又•：2AOB="OE,

:AAOBSXBOE,

.QB_0A

"OE"0B，

又：OB=OF,

,OF_QA

^OE=0F，

.OF-OEOA-OF

"OEOF'

,EFAF

•'OEFF'

即°E二EF.

ROF「AF，

(3)解：/_BDF=^/_BOF."O产=90°,

ABDF=45°,

・・・NADR=45°,

又ZDFE=ZADF+ZFAD,

.\^DFE>45°,

连接班,

A

小

,/OB=OF,

.•・/.OBF=/_OFB=45°,

又•/ZBEO=ZOFB+ZFBE,

・・."EO>45°,

:./_DEF=£BEO>45°,

在尸中，NE。斤=45°,ADFE>45°,£DEF>45°,

：.DE^EF,DF丰EF,

・•・若△。即是等腰三角形，则只有一种情况：DE=DF.

・•.NDFE=ZDEF,

连接EGFC,

•：ZDEC+2ZBEO=180°,

/.ZDEC+2ZDEF=180°,

X•­,ZEDF+2zDEF=1800,

：.£DEC=£EDF=45°,

又•・・/即。=90°,

:・/DCE=45°,

DE=DC,

又・：/_ADE=/_BDC=90°,£EAD=Z_CBD,

:,XAD叫&BDC(ASA),

.\AE=BC=4,

X：OF=—BC=2,—=^,

2OFAF

.2-EF_EF

2"4-EF'

.•.后夕=4-2&或£尸=4+2加(大于2,舍去)，

EO=2，^-2,

过点。作。G1EP于点G,

；.EG/EF=2-近,DGIIBC,

：ADGES&BOE,

,DGGE

"BO"OE"

.DG2-V2

:,DG=®,

•••sADEF-|EF-DG=1X(4-2V2)X我=2&-2

6.(1)证明：连接。。，

•：AD平分NA4G

ZBAD=ZDAE,

\-OA=OD,

：.^ODA=Z.OAD,

ZODA=ZDAE,

；,ODHAE,

-AC\_PD,

：.OD上PE,

•・・O。是。。的半径,

・•.AD是。。的切线；

(2)解：连接由，

「月。平分N84G/84。=60,

：.Z.BAD=/_DAE=3G°,

•：AC1PE9DE=2,

：.AD=2DE=49

为。。的直径，

・•.N4DB=90°,

:.AB=2BD,

设BD=x,贝ij43=2x,

■：BCP-+AD1=AB1,

.,.A2+42=(2X)2,

._±J3_

-x二3'

,-.BD=^!^-,AB=^^,

33

...力。=到1,

3

即。。的半径为性匹.

3

7.(1)证明：过点。作于点M,作CW1力。于点N,

\'AB=AC,

OM=ON,

・・・04平分/54。.

(2)解：延长力。交3。于点。，延长5。至尸，使尸。=。。，连接。尸、CO,

・・・/B=4C且。4平分/A4G

：,APVBC,

:./_BQO=/_CQP=90°,BQ=CQ,

・♦.△BQg△CQP(SAS),

..ZOBQ=ZPCQ,CP=BO-5,S〉B()Q=S>OPQ,

:・BOIICP,

•••04=03,

・•.ZOBA=ZBAO=ZDAO,

:.XADO〜XBDA,

.AD_DQ

，，-BD="DA，

解得。。=4,

■：BOIICP,

XAOD-4APC,

AOOD4

AP'PC

49

Si=wS2XACP，S2=S四边形CDOP=S^ACF-S△40。=S/^ACP，

£I_=20_

s7--'

(3)由(2)同理，CP=BO=AO=r,

.AO0D_

..-----------m,

APCP

：.PQ=—PO=^^r,

22m

ZBAC=2Z.BAO=Z.BAO+/_ABO=ZAOD=ZP,

•'•COSZ^BAC=COSP=7^-^~^--

Cr/m

8.(1)证明：连接。。，

•・,OD=OB,

ZODB=ZB,

,:AC=BC,

・・.N4=N8,

:.(ODB=/_A,

：.ODIIAC9

•,"ODE=/DEA=90°,

.•.OE为。。的切线；

(2)解："。=4,

OB=2,

•.•/4=/力=30°,

/.ZDOC=60°,

.•庆的长为6°篙2音兀.

loUO

9.(1)解：如图1中，连接。。，4。，设力B交。。于H.

•••加的度数是40。，

：.ABOD=400,

:.NDAB=?DOB=2G。,

■：ABCD,

：.^AHD=90°,

：.AADH=90°-NN48=70°,

：.ZAFC=AADH=70Q.

(2)证明：・••力B是直径，ABICD,

AC=AD

：./_ACD=/.ADC,

•：/.ACD+/_AF'D=1SG°,NA9D+NAFE=180°,

；/AFE=Z.ACD,

■：ZAFC=ZADC=NACD,

：.ZAFC=ZAFE,

即力尸平分/CFE.

(3)解：如图2中，设交8于H.

••・4B是直径，ABA.CD,

：.CH=DH=2,

R

,・・。。=拳Z.OHC=90°,

22=22

•1-OH=VOC-CH(1-)-2=p

；.AH=OH+OA=4,

22=

•••VCH+AH62+42=2娓,

・・,CF是直径，

・,.2CDF=ZAHC=9O0,

.\AHIIDE,

•；CH=HD,

'.AC—AE,

CE=2AC=

图2

10.(1)证明：如图1,连接OD

•；OD=OA,

：./_OAD=AODA,

丁月。平分N84G

ZBAD=ZCAD,

zODA=zCAD,

：.AEIIOD,

■：DE\_AE,

：.ED1DO,

,・,点。在。。上，

.♦.m是。。的切线；

(2)解：如图2,过点。作

E=/_ODE=乙OKE=9D°,

••・四边形OKE刀为矩形，AK=KC,

：.EK=OD=3,

：.AK=CK=EK-CE=3-2=1,

.'.AC=2,

「AB是。。的直径，

：.^ACB=90°,

在RtZXABC中，AACB=90°,AC2+BC2=ABi,

BC=VAB2-AC2=V62-22=4近,

答：B。的长为4祀.

11.(1)证明：•••/。。£=//8尸=60°,

:.乙CDE=£EDF=60°,

•••四边形4B8内接于。。，

；.NCDE=2ABC=6G°,

由圆周角定理得，ZACB=ZADB=ZEDF=60°,

△力是等边三角形；

(2)解：DA+DC=DB,

理由如下：在上截取包?=力。,

■：AADP=6Qa,

为等边三角形，

：.AD=AP,NAPD=60°,

：.^APB=120°,

在AAf归和△4DC中，

"ZAPB=ZADC

<ZABP=ZACD,

,AP=AD

：.l\APB^[\ADC(44S),

：.BP=CD,

：.DB=BP+PD=DA+DC.

图1

■：PB,。。是。。的两条切线,

：.PC=PB,ZCPO=ZBPO,

：.PE]_BC,

.-.APEB=90Q,

：./_EPB+/_PBE=q。。,

为直径，咫是。。的切线,

・•・/43尸=90°,

:.NPBE+Z.ABC=9U°,

：./_EPB=/_ABC,

：.(CPB=2乙ABO,

(2)连接OC,

••・。。是0。的切线，

・•・OC1CD,

・•・/08=90°,

;。。的半径为2,sin/_PDB=^,

o

OC2

.­.sinZCZ)(9=—

OD3

OD=3,

DC=7DQ2-0C2=VS2-22=代'

设PC=x,

方法一：

,:BEP+P*=PEP,

(X-K/5)2=X2+52>

解得x=2代.

*'•PC—

方法二:

•••sinZPDB=—=—%=—,

PDX-K/53

••x=

13.解：⑴如图1中，

在Rt^ABC中，•••/月。8=90°,43=5,BC=3,

22=22=4

•1-Ac=VAB-BCVB-3，

•/OA=OB=x,

0c=4-x,

在Rtz\3。。中，•••O52=BC2+OC2,

.,.A2=32+(4-x)2,

(2)如图2,过点。，C分别作CGI.AB,垂足为点N,G.

■：OHLAD,CGVAB,

：.AH=DH,DG=EG,

4

又,在中COSNA二w；

b

4

・•・在RtzXO网中AH吟x，

b

•*-AD咯x,

0

又•.・NZGC=2y1C3=9O°,/月=/月,

:.XAGCSXACB,

,AG_AC

"AC'AB，

D

又•..aE=y,

GE^^-y，

b

1国

••DG=GE=~v，

o

又..Z?G+GE+E4=4O,

nn[6,16._8

即-y-»—z—y-^y=­x-

bbo

化简得y=—（2Vx＜与"）.

bbo

(3)①如图3中，当。。经过点8时,

图3

9

易知：BH=DH=T-

D

•••BD喈,

0

AD=5-普4

DD

7

"5

7

观察图象可知:当0<xO。与线段月B只有一个公共点.

②如图4中，当0c与相切时，CDLAB,易知04=2,此时x=2.

综上所述，当0<x<1■或x=2或与<x<4时，OC与线段只有一个公共点.

oO

14.(1)证明：连接。足

D

ZOCF=ZOFC.

,・・四边形538是矩形，

.・.2B=ZD=ZDCB=900.

又