计算方法引论课后答案

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第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式$A=4\pir$计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。在计算过程中，要用到$\pi$，我们利用无穷乘积公式计算$\pi$的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为$\pi$的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。这个去掉$\pi$的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。4.若$1/4$用0.25表示，问有多少位有效数字？解：两位。5.若$a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\timesb$各有几位有效数字？已知$da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又$a+b=0.\times10$。begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leqda+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以$a+b$有三位有效数字；因为$a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。begin{aligned}d(a\timesb)&=bda+adb=0.947\times\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+1.1062\times\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以$a\timesb$有三位有效数字。6.设$y_1=0.9863$，$y_2=0.0062$，是经过舍入后作为$x_1$，$x_2$的近似值。求值的相对误差限及$y_1\timesy_2$与真值的相对误差限。已知$x_1=y_1+dx_1$，$x_2=y_2+dx_2$，$dx_1=1\times10^{-4}$，$dx_2=2\times10^{-4}$。begin{aligned}d(x_1+x_2)&=d(x_1)+d(x_2)=1\times10^{-4}+2\times10^{-4}=3\times10^{-4}\\frac{d(x_1+x_2)}{x_1+x_2}&=\frac{3\times10^{-4}}{(y_1+y_2)+dx_1+dx_2}\leq\frac{3\times10^{-4}}{y_1+y_2}=\frac{3\times10^{-4}}{0.9925}\approx0.0003end{aligned}所以$x_1+x_2$的相对误差限为$0.0003$。begin{aligned}d(x_1\timesx_2)&=d(x_1)+d(x_2)=1\times10^{-4}+2\times10^{-4}=3\times10^{-4}\\frac{d(x_1\timesx_2)}{x_1\timesx_2}&=\frac{3\times10^{-4}}{(y_1+dx_1)\times(y_2+dx_2)}\leq\frac{3\times10^{-4}}{y_1\timesy_2}=\frac{3\times10^{-4}}{0.}\approx0.049end{aligned}所以$x_1\timesx_2$的相对误差限为$0.049$，即$y_1\timesy_2$的相对误差限为$0.049$。1.给定函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的$n+1$个节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$，以及对应的函数值$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)$，构造$n$次插值多项式$p_n(x)$，使得$p_n(x_i)=f(x_i)$，$i=0,1,\cdots,n$。则$p_n(x)$的表达式为：p_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)L_i(x)$$其中$L_i(x)$为$n$次拉格朗日插值基函数，即：L_i(x)=\prod_{j=0,j\neqi}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$2.在插值多项式$p_n(x)$的基础上，可以通过牛顿插值法来递推计算出$p_{n+1}(x)$，即在原有的节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$的基础上，再添加一个节点$x_{n+1}$，并计算出对应的函数值$f(x_{n+1})$。则$p_{n+1}(x)$的表达式为：p_{n+1}(x)=p_n(x)+\omega_{n+1}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$$其中$\omega_{n+1}$为插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_{n+1}$上的$n+1$阶差商，即：omega_{n+1}=\frac{f[x_0,x_1,\cdots,x_{n+1}]}{(n+1)!}$$3.在数值微分中，常用的方法有前向差分、后向差分和中心差分。前向差分公式为：f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$后向差分公式为：f'(x)\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$中心差分公式为：f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$其中$h$为步长，一般取较小的正数。对于高阶导数的数值计算，可以通过多次应用上述公式来递推计算。设$y=x$，在$x=100,121,144$三处的值是很容易求得的。试以这三个点建立$y=x$的二次插值多项式，并用此多项式计算$115$的近似值，且给出误差估计。用其中的任意两点，构造线性插值函数，用得到的三个线性插值函数，计算$115$的近似值，并分析其结果不同的原因。解：已知$x=100,x_1=121,x_2=144;y=10,y_1=11,y_2=12$，建立二次Lagrange插值函数可得：L_2(x)=\frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)}\cdot10+\frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)}\cdot11+\frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)}\cdot12$$所以$115\approxL_2(115)=10.7228$。误差$R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_1)(x-x_2)(x-x)$，$\xi\in(x,x_1,x_2)$，所以$|R_2(115)|<0.xxxxxxx$。利用前两个节点建立线性插值函数可得：L_1(x)=\frac{(x-121)}{(100-121)}\cdot10+\frac{(x-100)}{(121-100)}\cdot11$$所以$115\approxL_1(115)=10.7143$。利用后两个节点建立线性插值可得：L_1(x)=\frac{(x-144)}{(121-144)}\cdot11+\frac{(x-121)}{(144-121)}\cdot12$$所以$115\approxL_1(115)=10.7391$。利用前后两个节点建立线性插值可得：L_2(x)=\frac{(x-144)}{(100-144)}\cdot10+\frac{(x-100)}{(144-100)}\cdot12$$所以$115\approxL_2(115)=10.6818$。与115的真实值比较，二次插值比线性插值效果好，利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好。这说明，二次插值比线性插值效果好，内插比外插效果好。2.利用$(2.9)$式证明$R(x)\leq\maxf''(x)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{8}$，$x_1\leqx\leqx_2$。证明：由$(2.9)$式R(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_1)(x-x_2),x_1<\xi<x_2$$当$x_1\leqx\leqx_2$时，$f''(\xi)\leq\maxf''(x)$，$(x-x_1)(x-x_2)\leq\frac{(x_2-x_1)^2}{4}$，所以R(x)\leq\maxf''(x)\cdot\frac{(x_2-x_1)^2}{8}=\maxf''(x)\cdot\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{8}$$当$x=x_1$或$x=x_2$时，$R(x)=0$，结论成立。1yxxxx1xx3yxx1xx2xx3XXX2xx2x1XXX2x31xxxx1xx2yxx1xx2xx3XXX3xx3x1XXX3x21xxxx2xx3XXX插值函数:fx0fx0fx0,x1xx0fx0,x1,x2xx0xx1fx0,x1,x2,x3xx0xx1xx2其中fx0y0,fx0,x1y1y0x1x0fx0,x1,x2fx1,x2fx0,x1x2x0fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2x3x0代入数据得:Lagrange插值函数:XXX13x3x0x32x112x3x0x33x1XXX插值函数:y132x3322x1x312x0x32x1723x1x0x32x1牛顿插值法和Hermite插值法是数值分析中常用的插值方法。牛顿插值法通过差商的计算来构造插值多项式，可以利用等距节点或非等距节点进行插值。Hermite插值法则是通过给定的函数值和导数值来构造插值多项式。下面对这两种插值方法进行简要介绍。首先是XXX插值法。通过差商的计算，可以得到一个n次插值多项式，其中n为给定节点数减1.可以利用等距节点或非等距节点进行插值。等距节点的情况下，插值多项式的形式为：N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots+f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$$其中$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]$表示$k$阶差商，可以通过递归的方式计算得到。非等距节点的情况下，插值多项式的形式为：N_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f[x_0,x_1,\cdots,x_k]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)$$其中$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]$同样表示$k$阶差商。其次是Hermite插值法。给定函数值和导数值，可以构造一个2n+1次插值多项式。具体的，可以先利用重节点计算差商，然后构造插值多项式。插值多项式的形式为：H_{2n+1}(x)=\sum_{i=0}^{n}\left(f(x_i)+\sum_{k=0}^{1}\frac{f^{(k)}(x_i)}{k!}(x-x_i)\right)\prod_{j=0,j\neqi}^{n}\frac{(x-x_j)^2}{(x_i-x_j)^2}$$其中$f^{(k)}(x_i)$表示在$x_i$处的$k$阶导数，$k=0,1$。最后，需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值方法和节点，以保证插值结果的精度和稳定性。2)根据第二类边界条件,可得到三次样条插值多项式为:S3x0.0003x30.0803x27.2805x268.3367x75,76;0.002x30.5057x242.0743x1038.3964x76,77;0.0013x30.3525x229.5615x724.8901x77,78;3)代入x=75.5计算得到分段线性插值函数的函数值为2.7905,三次样条插值多项式的函数值为2.7919;代入x=78.3计算得到分段线性插值函数的函数值为2.962,三次样条插值多项式的函数值为2.9589.x=79$时，$f(x)=79$；$x\in[78,79)$时，$f(x)=79-x$；$x\notin[76,79]$时，$f(x)=0$；$x\in[79,80)$时，$f(x)=80-x$；$x\notin[78,80]$时，$f(x)=0$。根据已知节点值，代入$M$关系式可得$M_1=0.0058$，$M_2=0.0067$，$M_3=0.0036$，$M_4=0.0071$。因此，在每个区间上的三次样条函数的表达式为$s(x)=\frac{M_{j-1}}{6}(x_j-x)^3+\frac{M_j}{6}(x-x_{j-1})^3+\frac{y_{j-1}-M_{j-1}(x_j-x_{j-1})^2}{6}(x_j-x)+\frac{y_j-M_j(x_j-x_{j-1})^2}{6}(x-x_{j-1})$。当$x=75.5$时，$I_5(75.5)=2.768l(75.5)+2.833l_1(75.5)=2.8005$，$s(75.5)=78.3$时，$I_5(75.5)=3.062l_4(78.3)+3.0039l_3(78.3)=3.0034$。给出$\sinx$，$\cosx$，$\tanx$的函数表如下。begin{center}begin{tabular}{|c|c|c|c|}XXXx$&$\sinx$&$\cosx$&$\tanx$\\XXX0^\circ$&0&1&0\\XXX15^\circ$&0.2588&0.9659&0.2679\\XXX30^\circ$&0.5&0.866&0.5774\\XXX45^\circ$&0.7071&0.7071&1\\XXX60^\circ$&0.866&0.5&1.7321\\XXX75^\circ$&0.9659&0.2588&3.7321\\XXX90^\circ$&1&0&不定义\\XXXend{tabular}end{center}使用表格中的数据和插值公式，求解以下问题：1.直接使用tan表格计算tan1.5695，利用Lagrange插值计算sin和cos，再用sin/cos计算tan1.5695.结果为tan1.5695≈771.xxxxxxxx.由于出现小除数，误