哈工程振动噪声-第4章连续体振动

实际的工程结构都是弹性系统，也就是质量和弹簧连续分布的系统。它可以看作无数个质点借弹性联系组成的连续系统,其中每一质点都具有独立的自由度。所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。也就是说弹性体有无穷多个自由度。本章所研究的连续体模型假设是所谓的理想弹性体，即遵守虎克定律，系统的材料是均匀的，各向同性的。连续系统的振动运动是用空间和时间坐标来描述的，它的运动方程是偏微分方程。此外还需要考虑弹性体的特性及支承方式，因此在分析中又引进了弹性力学和边界值问题。第四章连续体振动§4.1简介

本节考虑的杆假设是细杆，且沿其长度方向是均质的。由于轴向力的作用，横截面沿着杆的轴向产生位移u，这个位移是位置x和时间t的函数。设u(x,t)是杆的微元dx的左横截面的轴向位移。第四章连续体振动§4.2杆的纵振杆微元dx的隔离体图根据牛顿第二定律，有由虎克定律得应力应变关系为其中P是x处的轴向力，A是横截面积，E是杨氏弹性模量。式中ρ是杆单位体积的质量。第四章连续体振动§4.2杆的纵振由前页两式得到即设，则有其中a是杆中纵波沿轴向传播的速度第四章连续体振动§4.2杆的纵振利用分离变量法，设

代入上述一维波的方程，得到

即

上述方程左边的值依赖于时间变量，而右边的值依赖于空间变量，因此，只有当方程的左边和方程的右边等于同一个常数，才能成立。为了使解在时域内是有限的，并且可得到满足边界条件的非零解，设常数为-ω2，则有第四章连续体振动§4.2杆的纵振这两个方程的一般解为其中A、B、C’、D’4个常数由边界条件和初始条件确定。系统的解为第四章连续体振动§4.2杆的纵振

在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种典型边界条件是：杆端条件左端边界条件右端边界条件固定端自由端应力为零弹性载荷惯性载荷第四章连续体振动§4.2杆的纵振例4-1

针对两端自由的杆，其边界条件为在任何时刻杆的两端应变为零，即

和将上述边界条件代入解中，得到第四章连续体振动§4.2杆的纵振因此

此时D不能为零，否则就得到u（x，t）＝0的非振动解，因此必有

上式为杆纵向振动的频率方程，它有无限多个固有频率。由上式可得

杆的固有角频率为（实际上还有对应于刚体运动的零频率）：第四章连续体振动§4.2杆的纵振由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取

令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固有频率和相应的主振型，即第四章连续体振动§4.2杆的纵振这三阶主振型如下图所示。1-1-1-1-111第四章连续体振动§4.2杆的纵振第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动

本节讨论等截面直圆轴的扭转振动。除了理想弹性体假设之外，这里还假设轴的横截面在扭转振动过程依然保持为平面。

如图所示长度为dx的等截面直圆微轴段，θ(x，t)为扭转角，T(x，t)为扭矩。另外设J为单位长度轴段绕纵轴的转动惯量，Ip为轴截面极惯性矩，ρ为单位体积质量，G为材料的剪切弹性模量。由材料力学可知，扭矩与扭转应变之间的关系为由以上两式可得根据动力学方程，有第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动

令

上式化为

式中c为扭转波的传播速度。该方程与杆作纵向振动的方程形式上完全相同，因此解的形式也一样。第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动

例如图表示的系统中，长度为L的等截面圆轴两端带有两个圆盘，它们的转动惯量分别为J1和J2,轴的扭转刚度为GIP,轴两端都是自由边界条件。计算轴系扭转振动的固有频率和主振型。第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动解：按照前面的介绍，轴运动的微分方程为（c为波速）其解为

本题边界条件为轴的端部带有集中质量，类似于杆的纵向振动的边界条件，针对其两端可列方程有第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动将所得边界条件代入运动方程中，有从式中消去A、B，得第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动即第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动而所以有或

此式为轴扭转振动的频率方程。这个超越方程有无穷组解，即为系统的固有频率。把各阶频率代入振型方程，就可得到系统的各阶主振型。

可见连续系统的各阶固有频率和主振型完全取决于系统的边界条件，亦即边界条件决定弹性体自由振动的解。第四章连续体振动§4.3轴的扭转振动Thankyouandhaveaniceday!第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动

本节考虑等截面细长梁的横向振动，假设梁的长度与截面高度的比相当大，截面在弯曲时保持平面。同时假设梁具有对称平面。A、梁的横向振动微分方程中性轴

若梁的横向位移y＝y(x，t)仅由弯曲引起，这种梁模型称为“欧拉一伯努利梁”。设：Q(x，t)为剪力，M(x，t)为弯矩，I为梁截面绕中性轴的惯性矩，A为梁的截面积，ρ为材料的质量密度，E为材料的杨氏模量。对上图中梁的微单元体，按牛顿第二定律有整理后得到第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动由梁微元体对右端面任意点的力矩平衡，有即由此式可得由材料力学,有式中EI为梁的抗弯刚度。由以上三式，第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动得定义当梁作强迫振动时，设梁单位长度上作用有力q(x,t)，则上述欧拉－伯努利方程化为第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动B、运动微分方程的解

利用前面用过的分离变量法，设上述四阶偏微分方程解的形式为其中为振型函数，为同步谐振动函数。

将上式代入梁作自由运动的微分方程中，得到第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动或令方程两边都等于，为常数，得到

令，上面(a)式化为

(a)(b)(c)第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动由线性微分方程理论可以证明上述方程(b)、(c)的解为

式中C、D、E、F为待定常数，由边界条件和初始条件确定。常用的边界条件有第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动对两端固定的梁，边界条件为将边界条件代入下式得第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动由以上几式可得及得第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动展开得而所以从而第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动

这就是两端固定梁的频率方程，式中的β只能用数值计算求出。于是频率和振型函数可写为式中：Ai为βi的函数，即第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动这是因为式中可根据前页公式求得第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动系统前三阶振型曲线为第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动不同边界条件下欧拉·伯努利梁的频率方程、振型函数和前4阶βil的值第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动C、振型的正交性

与离散系统一样，连续系统包括梁振动在内也存在主振型的正交性。设Ym（x）和Yn（x）为对应于m和n阶的固有角频率、的振型函数，因此满足梁横振方程，有第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动

将上述(a)式乘以Yn（x）、(b)式乘以Ym（x）后相减。再从0到l对x进行积分，得第四章连续体振动§4.4梁弯曲振动

对自由、简支、固定三种支承条件作任意组合的边界条件，上式的右边恒等于零。因此，当m≠n时，≠，由此得正交