2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷

2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（3分）下列四个数中，最小的是（）

A.-2B.-AC.0D.1

2

2.（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

3.（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000

用科学记数法表示为（）

A.101.6X104B.10.16X105C.1.016X106D.0.1016X107

4.（3分）如图，中，ZB=50°,ZACB=70°,CD//AB,则/ACC的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.（3分）平面直角坐标系中，点P（4,2）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.(4,2)B.(4,-2)C.(-4,2)D.(-4,-2)

6.(3分)下列计算正确的是()

A.ai+a3=4a(>B.c^-r-a1=aiC.(a3)2=a5D.a2,a3=a5

7.（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷

小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

8.（3分）如图，矩形A08C各点的坐标分别为A（0,3）,O（0,0）,B（4,0）,C（4,

3）,以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的工，则点C对应点的坐标是（）

22

C.（-4,-3）D.（2,3）或（-2,-3）

22

9.（3分）抛物线.v="x2+/>x+c（a<0）与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴是直线x

=-b其部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）

C.-3<x<lD.x<-3或1

10.（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A8C,延长CB交8c于点。，若/

8A8=40。，则NC7）C的度数是（）

B

C

A.30°B.40°C.50°D.70°

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）不等式3x-l>5x+l的解集是.

12.（3分）若关于x的一元二次方程/+6x+A=0有两个相等的实数根，则*=.

13.（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示.

实心球成绩（单位：加）人数

112

93

85

这10名同学实心球投掷的平均成绩为m.

14.（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等

于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为35，

那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm,根据题意，可列方程

为.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点4与O在函数y=K（x>0）

的图象上，ACJ_x轴，垂足为C,/8CO=30°,点B的坐标为（0,1）,则k的值

为.

16.（3分）如图，正方形ABC£>中，AB=4,点E在边AB上，点尸在边8C上，NDEF=

90°,£>F的延长线与射线4B相交于点G,设AE=1,则BG的长为.

DE--------------------1c

G

EB

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）

17.（9分）计算：（V3+D2-712+2^1.

22

18.（9分）计算：x-6x+9+x-3x-i

x-3x+3

19.（9分）已知△ABC中，NABC=/AC8,点。，E分别为边AB、AC的中点，求证:

20.（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进

行测试.以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.

成绩等级频数（人）频率

优秀

良好200.4

及格

不及格5

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为人，成绩等级为“及格”

的女生人数占被测试女生总人数的百分比为%;

（2）被测试女生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女

生总人数的百分比为%；

（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优

秀”的学生人数.

优秀

不及格

良好

及格

20%

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21.（9分）如图要测量古塔AB的高度，在塔前平地上点C、。处观测塔尖A,仰角分别为

37°和45°,C、。之间的距离为21〃i,求古塔的高度.（结果取整数参考数据：sin37°

■0.60,cos37°-0.80,tan37°、0.75)

22.（10分）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城,

在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：h"）与甲车的行驶时间，（单位：

h）的函数图象如图所示.

（1）甲车的速度为km/h；

23.（10分）如图，四边形4BCD内接于。0,AC是。0的直径，AD=BD,过点。作。0

的切线交BC延长线于点P.

（1）求证：AB//DP-,

（2）若BC=3,DP=2,求。。的半径.

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24.（11分）如图，ZVIBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。是AB的中点，点E

从点B出发，沿边BC-CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE,以AD,

DE为邻边作nAQEF.设点E的运动时间为r（秒），。ADEF与AABC重合部分面积为S.

备用图

（1）当点F在AC边上时，求f的值；

（2）求S关于f的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范围.

25.（11分）如图，在△ABC中，为角平分线，点E在边AC上，NABE=NC,AD.

BE交于■F,FG〃AC交BC于G.

（1）求证：BD=BF-,

（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；

（3）当4F=AE,且cos/AEF=&时，求CO：FG的值.（用含有左的式子表示）.

R

26.（12分）已知函数〉=/-"a+〃3将其图象不在），轴左侧的部分向下平移1个单位，与

图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G.

(1)当根=2时，

①直接写出图象G对应的函数表达式；

②点。(k,3)在图象G上，求々的值；

(2)设图象G最低点的纵坐标为yo,若-2WyoWO,直接写出小的取值范围；

(3)若点M在函数-znr+w的图象上，且横坐标为作点M关于直线x=-

1的对称点M当点M不在直线x=-1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ,使点

P、。落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减

小时，直接写出，〃的取值范围；

(4)矩形A8C。的顶点坐标分别为A(-4,1)、8(-4,-4)、C(3,-4)、D(3,

1),若图象G与矩形ABCC的边有两个公共点，求〃?的取值范围.

2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（3分）下列四个数中，最小的是（）

A.-2B.-AC.0D.1

2

【解答】解：V-2<-A<O<1,

2

•••最小的数为-2.

故选：A.

2.（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

正面

【解答】解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形.

故选：B.

3.（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000

用科学记数法表示为（）

A.101.6X104B.10.16X105C.1.016X106D.0.1016X107

【解答】解：1016000=1.016X1（）6.

故选：C.

4.（3分）如图，△ABC中，ZB=50°,ZACB=70°,CD//AB,则NACO的度数是（）

D

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解:•.•/8=50°,NACB=70°,

AZA=180°-70°-50°=60°,

,JCD//AB,

：.ZACD^ZA,

：.ZACD=60°,

故选:B.

5.(3分)平面直角坐标系中，点尸(4,2)关于y轴对称的点的坐标是()

A.(4,2)B.(4,-2)C.(-4,2)D.(-4,-2)

【解答】解：点P(4,2)关于y轴对称的点的坐标为(-4,2),

故选：C.

6.(3分)下列计算正确的是()

A.a3+a3—a6B.C.(a3)2—a5D.a2,a3=a5

【解答】解：A、aW=2a3,故此选项错误;

B、故此选项错误；

C、(“3)2=/,故此选项错误；

D、a2*a3—a5,故此选项正确.

故选：D.

7.(3分)一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷

小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是()

A.AB.AC.AD.A

6432

【解答】解：•.•共有6个数字，其中数字2有2个，

二掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是2=工，

63

故选：C.

8.(3分)如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,

3）,以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的工，则点C对应点的坐标是（）

22

C.（-4,-3）D.（2,3）或（-2,-3）

22

【解答】解：以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的工，

2

而C（4,3）,

...点C对应点的坐标为（2X4,-1X3）或-1X3）,

2222

即（2,旦）或（-2,-3）.

22

故选：D.

9.（3分）抛物线>=OX2+6X+C（a<0）与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴是直线x

=-1,其部分图象如图所示，当>>0时，x的取值范围是（）

C.-3<x<lD.x<-3或Q1

【解答】解：•••抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴是直线x=-l,

:•抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0）,

•.•抛物线开口向下，

.,.当-3<%<1时，y>0.

故选：C.

10.（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB，。，延长CB交BC于点。，若N

BAB，=40°,则NCOC的度数是（）

【解答】解：♦.•将△A8C绕点4逆时针旋转得到△48C,

：.ZBAC=ZB'AC,ZC=ZC,

；NBAB'=40°,

：.ZCAC'=40°,

；NCOC=180°-ZDEC'-ZC',ZCAC'=180°-C-ZAEC,ADEC'=N

AEC,

ZCDC=ZCAC=40°,

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

II.（3分）不等式3x-l>5x+l的解集是x<-1

【解答】解：3x-1>5x+l,

3x-5x>1+1>

-2x>2

x<-1.

故答案为xV-1.

12.（3分）若关于x的一元二次方程，+6x+k=0有两个相等的实数根，则k=9.

【解答】解：•.•一元二次方程/+6x+k=0有两个相等的实数根，

/.△=62-4X1Xk=O,

解得：仁9,

故答案为:9.

13.（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示.

实心球成绩（单位：m）人数

112

93

85

这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m.

【解答】解：根据题意得：

11X2+9X3+8X5=89（M,

10

答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为89”.

故答案为：8.9.

14.（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等

于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为3m,

那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm,根据题意，可列方程为

J或/=x（3-x）.

x3

【解答】解：设雕像的下部高为犬根，则上部长为（3-x）加，

由题意得：红J,

x3

即7=元（3-%）,

故答案为：圭工i或7=x（3-x）.

x3

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点A与。在函数y=K（x>0）

X

的图象上,ACLx轴,垂足为C,NBCO=30°,点B的坐标为（0,1），则％的值为，

【解答】解：,.•/BCOnSO。，点8的坐标为（0,1）,

.♦.08=1,

：.BC=2,

0c=422_]2=A/§,

：AC，x轴，垂足为C,

ZACB=60°

:菱形48C£>中，AB=BC,

...△ABC是等边三角形，

；.AC=BC=2,

（V3>2）,

:顶点4在函数y=K（x>0）的图象上，

x

:,k=X2=2A/3»

故答案为2«.

16.（3分）如图，正方形ABC。中，A8=4,点E在边AB上，点F在边BC上，ZDEF=

90°,。尸的延长线与射线AB相交于点G,设AE=1,则BG的长为12.

-13-

【解答】解：设BF=x,则C尸=4-x,

'.•ABC。为正方形，

；.Z)A=AB=4,

在RtAADE中,

DE2=£>A2M£2=42+12=17,

在RtAEFB中，

EFZ=EB2+BF2=(4-1)2+X2=9+X2,

在RtZ\CD/中，

£>F2=C£>2+EF2=42+(4-x)2=/-8x+32,

在RtZ\OEF中，

DF2^CD2+EF2,

即x2-8x+32=17+9+/,

解得：x=3,

4

：.BF=^-,CF=W,

44

"：ZBFG=ZCFD,NDCF=NGBF=90°,

:.丛FBGs丛FCD,

•FBBG

,•而F，

3_

即4—BG

4

：.BG=^.

13

故答案为：12.

13

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）

17.（9分）计算：（遍+1）2-百分21.

【解答】解：原式=3+2后1-

3

=4+?恒

3

22

18.（9分）计算：x-6x+9/-3x-i

x-3x+3

【解答】解：原式=（X-3）2。X+31

x-3x（x-3）

=x+3_x

XX

-3

X

19.（9分）已知△ABC中，ZABC=ZACB,点Q,E分别为边AB、AC的中点，求证:

J.AB^AC,

•.•点力、E分别是AB、AC的中点.

：.AD=AE,

在△ABE与△AC。中，

，AD=AE

>ZA=ZA-

AC=AB

△ABEgZXAC。，

:.BE=CD.

20.（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进

行测试.以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.

成绩等级频数（人）频率

优秀

良好200.4

及格

不及格5

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20人,成绩等级为“及格”

的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%；

（2）被测试女生的总人数为50人,成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生

总人数的百分比为」LQl%；

（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优

秀”的学生人数.

【解答】解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20；

成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%,

故答案为：20,20；

（2）被测试女生总数是20・0.4=50（人）,

成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为至_X100%=10%；

50

故答案为：50,10；

（3）及格人数有50X20%=10（人），

优秀人数有：50-20-10-5=15（人），

240X1^.=72（人），

50

答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人.

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21.（9分）如图要测量古塔A8的高度，在塔前平地上点C、。处观测塔尖A,仰角分别为

37°和45°,C、。之间的距离为21〃?，求古塔的高度.（结果取整数参考数据：sin37°

弋0.60,cos370弋0.80,tan370弋0.75）

BDC

【解答】解：根据题意可知：ZBDA=45°,ZBCA=37°,DC=2l,

在RtZVLBO中，

\'ZBDA=45°,NABO=90°,

：.ZBAD=45°,

:.NBAD=NBDA,

：.AB=BD,

设A8=x,则BO=x,2c=x+21,

在RtABCA中，

tan/BCA=迪，ZACB=37°,

BC

x+21

解得x=63,

答：该古塔的高度约为63米.

22.(10分)甲、乙两车先后从4城出发前往8城，乙到达B城后立即以原速度返回4城,

在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y(单位：M?)与甲车的行驶时间r(单位：

〃)的函数图象如图所示.

(1)甲车的速度为60kmlh；

【解答】解：(1)•••甲车出发5小时行驶了300M?,

甲车速度为300+5=60Ckm/h),

故答案为：60；

(2)设甲车的函数关系式为：y=kx(AW0),

将(5,300)代入得：5%=300,

解得：％=60,

.\y=60k(0«),

将x=2.5代入得:y=60X2.5=150,

设乙车到3城的函数关系式为：

y\—k\x+b\(hrO),

将(1,0),(2.5,150)代入得：

'k]+bi=0

2.5k।+b[=150

fk^lOO

解得：,1，

bp-100

.Ri=100x-100,

将yi=300代入得：100x700=300,

解得：x=4,

乙车从A城到8城用了4-1=3(〃)，

乙车从B城回到A城的时间为1+3+3=7(〃),

设乙车返回A城的函数关系式为：

y2=k2x+b2（上2#0）,

将（4,300）,（7,0）代入得:

4k之+b2=300

+=

7k2b20

k2=-100

解得：

b2=700

；.*=-100^+700(4<x<7),

甲、乙两车再次相遇时，

60x=-l00x+700,

解得：x=更，

8

故甲车出发期时，与乙车再次相遇.

8

23.(10分)如图，四边形A8CD内接于O。，4c是OO的直径，AD=BD,过点。作

的切线交BC延长线于点P.

(1)求证：AB//DP-.

(2)若BC=3,DP=2,求。。的半径.

【解答】(1)证明：作直径。E交于F,如图,

'：AD=BD,

•••AD=BD)

...DE垂直平分AB,

；OP为切线，

:.DE1DP,

J.AB//DP-,

(2)解：为直径，

；.NABC=90°,

而NDFB=NFDP=90°,

...四边形BP。尸为矩形，

:.BF=DP=2,

\*AF=BF=2f

：.AB=4,

在RtZXABC中，AC=

••・。。的半径为$.

2

D

B

E

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24.（11分）如图，△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。是AB的中点，点E

从点8出发，沿边BC-CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE,以AD,

DE为邻边作。ADEE设点E的运动时间为f（秒），。4。£：尸与△A8C重合部分面积为S.

备用图

（1）当点F在AC边上时，求，的值；

（2）求S关于，的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范围.

【解答】解：（1）是A8的中点，

2

•.•四边形ADE厂是平行四边形，

所以

:.△BDEsABAC,

•BDBE1

"AB"BC

•••BE=/BC=4，

.•⑵=4,

・••力=2・

（2）当0V/W2时，过点E作于点H,

在中，BE=2t,sin8=&,

5

:.EH=3BE=3

55

S=ADXEH=5x3.=6t,

5

当2<fW4时，

在RtZXCEG中，C£=8.2ntanB=3,

4

:.CG=ScE

4

22>

SAC£G=1CEXCG=1X(8-2t)X-|-=yt-12t+24

3r,

SABDE=LBDXEH=LX5X—+~

225

••3-■节t+9t'

当4<W7时，

AE=14-2f,

在RtZVlE”中，sinA=A,

5

•*'£W=4AE，S=《ADXEH=4X5x314-2t)=-4f+28,

bZ/3

，6t(0<t<2)

-J-t2+9t(2<t<4),

综上所述：s=

-4t+28(4<t<7)

25.(11分)如图，在△ABC中，A。为角平分线，点E在边AC上，NABE=NC,AD.

BE交于F,FG//AC^.BC^G.

(1)求证：BD=BF；

(2)在图中找到一条与CO相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；

(3)当AF=AE,且cosNAEF=/时，求CD：FG的值.(用含有&的式子表示).

【解答】(1)证明：•••4。为角平分线,

工ZBAD=ZDAC,

,/NBFD为△BAF的外角，

NBFD=NBAF+NABF,

ZBDF为△AOC的外角，

:・/BDF=/DAC+NC,

*.•ZABF=ZC,

:・NBFD=/BDF,

:・BD=BF；

(2)BG=CD,

证明：过点尸作FM〃3c交AC于点M,

在△BAF和△MA尸中，

'NABF二NFMA

,NBAF=NCAF，

AF=AF

:.XBhFaXMkF(AAS),

:・BF=FM=BD,

■:FG〃AC,FM〃BC,

・・・四边形CGFM为平行四边形,

:.CG=FM=BD,

：・BD+DG=GD+CG,

：.BG=CD；

(3)过点A作ANJ_8O于M

R

：.ZAFE=ZAEF,

VZAFE=ZBAD+ZABE,NAEF=NC+NEBC,ZABE=ZC,

：.ZBAD=NEBC=/CAD,

：.ZABD=ZABE+ZEBC=ZDAC+ZC=ZADB,

：.AB=AD,

ZAFE=ZBFD=ZBDF=ZABD,

cosZAFE=cosZABD,

\'ANLBD,

:.BN=ND=、BD,

2

.•.毁=2BN=2COS/4FE=2&,

ABAB

,:NCBE=NCAD,NC=NC,

:.XCBE〜XCAD,

•BCAC

''CEW

.AC_AB_1

'*CD=BD"2k'

'CFG//AC,

:.丛BFGs丛BEC,

:BGBC_AC1,

"FG"CE"CD"2k'

；BG=CD,

•CD1

"FG"2k"

26.(12分)已知函数y=/-,"x+m,将其图象不在y轴左侧的部分向下平移1个单位，与

图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G.

(1)当机=2时，

①直接写出图象G对应的函数表达式；

②点。(k,3)在图象G上，求人的值；

(2)设图象G最低点的纵坐标为川，若-2W“W0,直接写出，〃的取值范围：

(3)若点仞在函数>=7-,依+〃?的图象上，且横坐标为〃?-1,作点M关于直线x=-

1的对称点M当点M不在直线苫=-1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ,使点

P、。落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减

小时，直接写出机的取值范围；

(4)矩形ABC。的顶点坐标分别为A(-4,1)、8(-4,-4),C(3,-4)、0(3,

1),若图象G