2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷（含答案）

2021年全国普通高等学校招生统一考试全国新高考I卷

数学试卷

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用25铅

笔将试卷类型(4)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔

和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合A={H—2<X<4},3={2,3,4,5},则()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2—i,则z0+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.272C.4D.4夜

4.下列区间中，函数/(x)=7sin(x-?〕单调递增的区间是()

A.„B.加CE图D.

22

5.已知"，工是椭圆C：5+?=1的两个焦点，点M在C上，则他/卜|帅|的最大

值为()

A.13B.12C.9D.6

6.若tan6=—2,则网也土网为=（）

7.若过点（。力）可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.e*<aB.ea<h

C.0<a<e"D.0<h<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每

次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球

的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球

的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据/，x2,X.,由这组数据得到新样本数据多,当，…，为，其

中y,=x,+c（i=l,2,…为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，点6（cosa,sina）,7^（cos/?,-sin,

q（cos（e+/?）,sin（a+/））,A（l,0）,则（）

A西|=|西B.西|=|获|

C.而在3=西•圾D.西函二困函

11.已知点P在圆（》一5）2+（丁一5）2=16上，点4（4,0）、3（0,2）,则（）

A.点P到直线的距离小于10

B.点P到直线A8的距离大于2

C.当NP5A最小时,陷=30

D.当NP8A最大时，网=30

12.在正三棱柱ABC—4AG中，A5=A4,=1,点p满足3户=4月仁+"3区，其中

问0』，则（）

A.当4=1时，AA4P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-46C的体积为定值

C.当2=（时，有且仅有一个点P,使得8P

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得43_L平面ABf

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数〃力=丁（“2-27）是偶函数，则。=.

14.已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px（〃＞（））的焦点为产，/＞为。上一点，PF

与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若|图=6,则C的准线方程为.

15.函数/（x）=|2x—l|—21nx的最小值为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，

规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种

规格的图形，它们的面积之和3=24（）dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,

10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=180dm?,以此类推，

则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么‘S"=

k=l

______dm2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝满足q=1,。,用=3,卡:合慧■'

+2,”为偶数.

（1）记勿="，写出4，b2,并求数列｛%｝的通项公式；

（2）求｛4｝的前20项和.

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题，每位参加比赛的同学先在两

类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若

回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比

赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题

回答正确得80分，否则得。分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确

回答3类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.记△ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知02=〃、点。在边AC上,

8。sinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cosZABC

20.如图，在三棱锥A—BCO中，平面平面BCD,AB=AD,。为5。的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若△"£＞是边长为1的等边三角形，点E在棱上，DE=2EA,且二面角

E-BC-O的大小为45。，求三棱锥A-58的体积.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点网-J万,0)、乙(/万,0)四用-|加图=2,点”

的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=g上，过T的两条直线分别交。于A、3两点和P,。两点，

且|划.\TB\=|7P|.\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.已知函数/(x)=x(lTnx).

(1)讨论/(X)的单调性;

(2)设%b为两个不相等的正数，且blna-al3=a-6,证明：2＜，+：＜e.

ab

参考答案

1.答案：B

解析：Ac8={2,3},选B.

2.答案：C

解析：Z=2+iz(z+i)=(2-«)(2+2z)=6+2i,选C.

3.答案:B

解析：如图设母线长为/,则兀/=2夜兀=/=2四.

4.答案：A

TTTT7T7T27r

解析：/3)单调递增区间为：2kji--<x--<2kji+-=>2lai--<x<2kji+—

26233

令2=0,故选A.

5.答案：C

解析：由椭圆定义，〃段=6,则|g||M段/1”.十.图］=9,故选C.

6.答案：C

sin0(1+sin20)sin^(sin2^+cos2^+2sin0cos0)_sin20+sin(9cos_tan,®+tan®2

解析:

sin9+cos。sin9+cos0sin26>+cos20tan-0+15

故选C.

7.答案：D

解析：

8.答案：B

解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为:

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

两点数和为7的所有可能为：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

••・尸（甲）=）,尸（乙）=良=0，P（丙）=，PCT）W

66636366

p（甲丙）=o,p（甲丁）=-!-,尸（乙丙）=-!-,尸（丙丁）=o

3636

故P（甲丁）=尸（甲）-P（丁），正确，故选B.

9.答案:CD

1n1n1n

解析：元=一2%，5=_Z（匕+c）=_Z%+c=^+c,;.A错

设第一组中位数为X*,则第二组中位数为％=Z+c,，B错

一组向'=可2,二组图附（％_寸4£@_才,正确

Y〃旧V"/=iV〃i=i

设一组中最大为王,最小为，，.•.极差王一丐

则二组中最大为七+c,最小为Xj+c,.•.极差占一%,D正确

故选CD.

10.答案：AC

解析：|。耳=Jcos%+sin2a=1,pE|=Jcos2/+（-sin02=l,A正确

1儿皿2、,UUT2

22

AF[=（cos6Z-l）+sin2a=2-2cosa»AP2=（cos）0-I）+（—sin4f=2-2cos/7，

二.B错

UUUUUUUU1uuu

OA-OPy=cos（a+0）,OP{-OP2=cosacosy5-sinasinp=cos（a+0），C正确

umuuuiuuuuuu

OA-0P}=cosa,0P2-OP3=cosP-cos（a+/?）-sin■sin（a+J3）=cos（a+2/?）,，D错

故选AC.

11.答案：ACD

解析：直线AB的方程为二+5=1,x+2y-4=0,设圆心为M(5,5)

42

P到直线AB的最大距离为,+4<10,

故P到直线AB的距离小于10,A正确

P到直线A8的最小距离为4-4<2,故B错误

对于C,当NPBA最小时，BP与圆M相切，此时期=取

，尸8=-34-16=3夜，C正确.

ZP84最大时，尸8与圆M也相切，D正确.

故选ACD.

12.答案：BD

umuiaiuuuULIUUU

解析：对于A,当4=1时，BP=BC+pBBt,:.CP=〃BB\

此时尸在线段CG上运动，此时的周长不为定值，A错.

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB、nBiP=2BC,此时P在线段用G上运动

^P-A,BC="及-ABC为定值，B正确.

iur1tunuuu

对于C,当2=5时，8P=]3C+〃网，分别取8C,BC的中点£F,此时P在线段所上运

动，要使只需AP在平面BCC4上的射影尸尸与BP垂直，此时尸在E或F的位置,

有两个P,C错误.

1uruun1imr

对于D,〃=］时，BP^ABC+-BBt,分别取网，CG的中点M,N,则P在线段MN上运动,

QABIAB,,只需A3在平面BCG片上的射影与垂直，有且只有一个点尸为M满足题意，

D正确，故选BD.

13.答案：1

解析：因为/(x)为偶函数，贝ij/(x)=f(-x),即d(a2'-2T)=整理则有

(62—1)(2'+2')=0,故4=1.

14.答案：％=二

2

解析：因为PF垂直x轴，故点P坐标为q,p),又因为OP则亲=筹=2

即9=2,故。=3,则准线方程为x=-1

P2

15.答案：1

解析：/(x)=|2x-l|-21nx>|2x-l|-2(x-l)>|2x-l|-2x-2|>|(2x-l)-(2x-2)|=l,当x=l时,

等号成立，故"X)最小值为1.

16.答案：5种；720-2号720

解析：(1)易知有20dmx°dm,10dmx-dm,5dmx3dm,—dmx6dm,—dmx12dm,共5种规

4224

格

(2)(2)由题可知对折人次共有A:+1种规格，且面积为竽，故&=24号+D

则羽=240汽祟,记*这祟,则卡这得

*=1&=1乙k=lN乙hl乙

Z+2%+2〃+1

故k=1+Z

2攵+12”+i一尹

乙太=1乙&=1乙\k=\

1—

=1+w2"一〃+13〃+3

——■-----

21+1--22〃+i

1

2

贝同,=3-嘤〃+3…240/?+720

故2项=2403-=720------------

hi\~1F2〃

17.答案：⑴4=%=4+1=2,%=%+2=4,4=〃4=%+1=5

ba+1a+Cl3

d+l_n=2n+2~=(〃2〃+1)-出“=2n^~2n=

・••也｝是以3为公差的等差数列，.也=2+(〃—l)x3=3〃-1

⑵//+L+/。=1。(2；29)=155

q+q+〃s+L+49—。2一1+4-1+L+6FOQ_|=155—10=145

.*.S20=155+145=300.

解析：

18.答案：(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分

则X的取值可能为：100,20,0,因为各题互相独立，由分步完成原理得

P(X=1(X3)=0.8x0.6=0.48

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32

p(X=0)=l-0.8=0.2

列表如下：

X100200

P0.480.320.2

则X的数学期望E(X)=100x0.48+20X0.32+0x0.2=54.4

(2)若小明先回答8类问题，记丫为小明的累计得分.

则y的取值可能为：100,80,0,因为各题作答互相独立，由独立性原理知

产(¥=100)=0.6x0.8=0.48

P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12

p(y=0)=1-0.6=0.4

列表如下：

Y100800

P0.480.120.4

先答B类，则y的数学期望为：E（y）=100x0.48+80x0.12+0x0.4=57.6

由⑴知E（y）>E（X）

，小明先选第二种方案作答.

解析：

19.答案：（1）方法一：

fiDsinZABC=asinC,:.BDb-ac,：.BDb=b1>:.BD-b

方法二：

可知z4，Ch2

按照正弦定理,如此就有50=a♦—=—=〃

bb

（2）方法一:

uiuuuuuUUB211111111r

AD=2DC<：.BD=-BC+-BA

ui・i,4ULW4nrumiuu

/.BD=-BC2+-BABC+-BA

999

心242124

:.b~=—a~+—c+—accosBn

999

9ac=4a2+c2+4accosB①

ac=a2+c2-2accosB②

Sac—3a24a

Sac=3a2+6accosB,cosB==—

6ac32c

9=4—+—+4cosB

a

由①②知,C.*.11—6—F3一

1=-+--2cosB

/。丫i[ac八03Tl

Vcjcc23

77

COSBUR或二（舍）

126

/.cosS=—.

12

方法二：

AD=-b,CD=-h

33

4,->,->■>13.•>7

一厅+廿一c-一b~-c

cosZADB=-------=-^―-----

22bb-h2

33

I.o.o21072)

—lr+tr—a~-b--ar

cosNBDC=----------=2-------

I9

2上bb-h2

33

1320

cosZ4DB+cosZB/3C=0,:.-h2-c2+—b2-2a2=0

99

112c2cllCfCY.„

33aya)

方,法•::

这里由于NBQA+N3QC=180°,可以直接动用勾股差定理，可得黄坦=一

'VBDC8D+CD

Sv4月八A。_2bh

注意1=斤=2,又显然AO=9,CD=g因此如果变成a,b,c那些，则有

\BDC33

b2^--b2-C22

2=,化筒得到11〃=3c*+6a2，1lac=3c2+6a2,11—=3-^-+6

b2^--a2aa-

0

得到£C=；2或3.

a3

这里有两个值，看这个3作为三角形两边比好像挺危险的，不一定能行，验证一下好了，假设

c=3a好了，那么会有人=J5a，问题是此时a+6=(l+J5)a<3a=c,根本不成三角形，得踢掉,

r2

只能有GF

如此就有cosZABC=="2+c-c=a2a=J_

2aclac2£.12

a

解析：

20.答案：(1)解析一：平面A或)_L平面BCD,平面板)门平面88=8。

QAB=AD,。为8。中点，.-.AOA.BD

AOu平面居0,.・.49,平面38,8£=平面38,.-.40,67)

解析二：首先，。为BO中点，加上45=4),就说明AOL83了，加上两个平面垂直，会直接

得到AO_L平面BCZ),那么当然就有AOJ_CD.

(2)解析一：取。力中点凡QVOCD为正三角形，

过0作OM//CF与BC交于M点,则OWLOD

:.OM,OD,0A两两垂直

以0为坐标原点，分别以OM,0D,04为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-羽

8(0,-1,0),C|^l,o|,£>(0,1,0)

I22J

设A(O,O,f),则,Q4_L平面3c£)

UU1

•••平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,f)

设平面BCE的法向量为2=(x,y,z)

rUlm733..

——x+—y=0

n-BC=022

rUIDI

展BE=U42

—y+-tz=0

2r

不妨设x=x/^,则y=-i,z=—,则〃=

二面角E—BC—。的大小为45°

UL1

r-r

V2nOA2

/•----=uur—p—=—]

2IOA||n|t4+±J=I

w_111.c

S'OCD=-XlxlX—=—,..S'BCD=-

v1c〜16IG

••V^co=-SVfiCD-OA=---l=-

解析二：过E作于H,再过，作ML5c于/.

显然这样会有EH_L平面BCD,而这个正三角形OCD加上30="),

可知8CLC3,意味着小〃CD,同时很自然的也会有

而二面角很显然就是N£〃/,这个是45°,说明田=H7.

匕人\HhkRM一人4Hx.iOHAE1心匕BH_h心匕2BHHI

综合上面的条件,会得到京77==3，然后；T77=2，冉然后彳=彳77=7^

DHED2DH3B1JCIJ

2

故此印=EH=一.

3

naAOED3,日—八i

同时---=---=一,得到AO=1,

EHAD2

那么就有匕=：AOSv8s=

332o

解析:

21.答案：（1）解析一：。二相，2a=2,a=\,b=4

C表示双曲线的右支，C的方程为x2-「=l（x*l）

16

解析二：基本上送分嘛，一看就双曲线嘛，只不过双曲线是图=2,得有个绝对值，如果

没有绝对值只能说明这是双曲线的一支，这个双曲线会有2a=2,两个焦点也已经给出，就是入，

F2,这样有c=J万，然后尸=。2-/=16,于是乎就有双曲线方程：/一上=1但我们只需要它

16

的右支，因此还可以进一步搞成x=Jl+£.

V16

,设直线4B的方程为：y=K（x-；

（2）解析一：设了仁刈+tn,A（X,y）,3（/，必）

222

y=4+m16x-fcjfx-x+-2

=>+2k、m+m16

16/-V=16

2

（16—A：）］2+（k；+k}m-m-16=0

I加・1加=（1+奸）［［「£|卜一斗］

=（1+F）为々-3（占+%）1

+—

4

攵叩一；17n2-16

2klm1

=0+M）16一6-216-64

=（依）与=（收）.

加2.12

设怎0=心，同理可得+

力+。牌=（"硝.牌

=片一16片=（一16片

:.k；=片,Qk'Wk?,:.%=-k2,4+网二。

解析二：我们不妨假设7X.78=7P・7Q=K,这个显然用参数方程会简单一些，令丁：（；,为），然

1八

x=—+COS即一x=-4-cos0r

后有AB:21,PQ=<229

的+sin即yT+sin92t

这其中。声名.

那么带入C的方程，会有（g+cos即/%+：：即）=]

2

化简得到(16cos?0x-sin0^t+(16cos-2yTsin)r-(12+=0

12+W

于是有K=L478=—

22

16cos3}-sin0]

12+年

同理也会有K=-

22

16cos02-sin02

22222

换句话说，有16cos20i-sind=16cos02-sin02,cos=cos02

既然可。。2，这会说明COSa=-cos。?，

当然就有lanq=-tana，然后变成两个斜率和为0.

这个结果其实也不难猜到，因为只要我令7:（；，。），那么显然两条关于x轴对称的直线就能满足

条件，那么当然得有斜率和为0,而如果它要你证明这是个定值，那这个定值也必然只能是0.

解析：

22.答案：（1）解析一：f（x）=-\nxt令/'（x）=0=>x=l

当0cx<1,/(x)>0,于(x)z；当X〉1时，f(x)<0,/(x)]

解析二：因为二(")=一加巧故f(x)在(O」)T,(1,+8)J

,八ellIn。\nh11Incn-1lnb+1

⑵解析一：-------=——，/.-----=-；一

ab7baab

令L=m,-=n,即证2<m+〃<e

ab

m(\—InAW)=//(I—Inn)

令f(%