2021年山西省太原市高考数学模拟考试（文科）（二）（附答案详解）

2021年山西省太原市高考数学模拟考试（文科）（二）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.（2020•广东省•月考试卷）已知复数2=白，则z的共钝复数踞（）

A.1—iB.l+iC.iD.-i

2.（2021•山西省太原市•模拟题）已知集合4={x|x（x-1）=0},B={x||x|=1},则4n

B=（）

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

3.（2020•广西壮族自治区北海市•月考试卷）艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选

手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最

低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是

（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

4.（2021•山西省太原市•模拟题）已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺

旋线”，它的画法是:以斐波那契数列（即为=a2=1>an+2=an+1+an（neN*））

的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆

弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契

螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对

应的扇形的弧长为（）

5.（2021•山西省太原市•模拟题）在等比数列{%}中，a2a4=2a3-1,则CI5=

（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2021•山西省太原市•模拟题）点「（私企小乂小丰0）是抛物线y?=2px（p>0）上一

点，且点尸到该抛物线焦点的距离为3,则p=（）

A.1B.2C.jD.6

7.（2021•山西省太原市•模拟题）已知函数y=/（%）部分图

象的大致形状如图所示，则y=/（x）的解析式最可能

是（）

COSX

A./(x)

ex-e-x

sinx

B./(%)=

ex-e-x

COSX

C./(X)=

ex+e-x

sinx

D.f(x)=

ex+e-x

8.（2021•山西省太原市•模拟题）已知函数f（x）=a2/一》在点（I,/。））处的切线经过

点（2,6）,则实数a=（）

A.+1B.+2C.+>/3D.+V2

9.（2021•山西省太原市•模拟题）已知圆M：0-砌2+3-人）2=3（£1为€/?）与圆0：

产+丫2=1相交于4,B两点,且|48|=遮，则下列错误的结论是（）

A.利•丽是定值B.四边形OAM8的面积是定值

C.a+b的最小值为一&D.a-b的最大值为2

10.（2021.山西省太原市.模拟题）在直角△AM中,a,b,c分别是△ABC的内角A,B,

C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG_L8G,则cosC=（）

A.立B.渔C.1D-

3355

11.（2021.山西省太原市.模拟题）已知三棱锥A—BCD中，AB=BD=DA=2痘,BC1

CD,BC=CD,则当三棱锥4-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A.487rB.287rC.167rD.207r

12.（2021•山西省太原市•模拟题）已知直线x-2y+n=0（n^0）与双曲线捺一'=

l（a>0,b>0）的两条渐近线分别相交于A,B两点,点P的坐标为（n,0）,若俨川=

\PB\,则该双曲线的离心率是（）

A.V2B.V3C..D.渔

32

二、单空题（本大题共4小题，共20.（）分）

13.（2021•山西省太原市•模拟题）设落方为单位向量，且|4+3|=百，则|N-石|=

14.(2021•山西省太原市•模拟题)已知Isina+cosa=*贝ijsin2a=

第2页，共20页

15.(2021•山西省太原市•模拟题)已知点4(1,0)和B(2,m),点M(x,y)是函数y="x图象

上的一个动点，若对于任意的点M(x,y),不等式丽・丽26X•丽(其中。是坐

标原点)恒成立，则实数m.

16.(2021•山西省太原市•模拟题)已知矩形ABC。中，AB=4,AD=3,点E是边C£>

上的动点，将△ADE沿AE折起至△P4E,使得平面H4B1平面ABC,过P作PG1AB,

垂足为G,则4G的取值范围为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.(2021•山西省太原市•模拟题)如图，在平面四边形ABC。中，力

4840=45。，AB=y/2,AABO的面积为萼./)C

(I)求8。的长；,/(

(II)若NBCD=120。，求BC+CD的取值范围.

18.(2021•山西省太原市•模拟题)2017年国家发改委、住建部发布了性活垃圾分类制

度实施方案少，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利

用率要达35%以上,某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产

生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中

随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/

天的社区称为“超标”社区.

(I)根据上述资料•，估计当天这50个社区垃圾量的平均值又精确到整数)；

(II)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社

区的个数.

(HI)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中

按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重

点监控社区中至少有1个垃圾量为［16,18］的社区的概率.

19.(2021.山西省太原市.模拟题)如图，在几何体

ABCQEF中，四边形A8C。是边长为2的菱形，且

Z.BAD=60°,CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平

面CDE，平面ABCD.

(I)求证：平面BCFJL平面ABCD；

(II)若直线BE与平面ABCD所成的角为45。，求三棱锥4-CEF的体积.

20.(2021•山西省太原市•模拟题)已知函数/'(x)=ax+l(aWR),g(x)-sinx+cosx.

(1)当。=1时，证明：不等式/(%)2g(x)在［0,+8)上恒成立；

(11)若不等式/0)29(为在［-%+8)上恒成立，求实数。取值的集合.

第4页，共20页

21.（2021•山西省太原市•模拟题）已知椭圆C：搐+《=l（a>b>0）的左、右顶点分别

是点A,B,直线/：x=|与椭圆C相交于。，E两个不同点，直线D4与直线

的斜率之积为-；，AABD的面积为延.

43

（I）求椭圆c的标准方程；

（口）若点「是直线/：X=|的一个动点（不在X轴上），直线AP与椭圆C的另一个

交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M,在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为

定值，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（2021.山西省太原市.模拟题）在平面直角坐标系xO），中，曲线C的参数方程为

_2低

{“一把（t为参数），以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直

线/的极坐标方程为pcos（。+彳）=

（I）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（口）已知点A在曲线C上，且点A到直线/的距离为孝，求点A的直角坐标.

23.(2021・全国•模拟题)已知函数/'(x)=|x+m2|+\2x-m\(m>0).

(I)当机=1时，求不等式/'(x)<6的解集；

(11)若/。)的最小值为|,月.a+b=m(a>0,b>0),求证：Va+2VF<V5.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】A

【知识点】共飘复数、复数的四则运算

【解析】

【分析】

本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考

题型.

复数分子、分母同乘分母的共拆复数，化简为。+加(。,匕6/?)的形式，即可得到选项.

【解答】

解：复数2=a=需言=1+。

所以它的共朝复数为1-i,

故选A.

2.【答案】D

【知识点】交集及其运算

【解析】解：A={X|X(X-1)=0}={0,1},F={X||X|=1}={1,-1},

则4CB={1}.

故选：D.

分别求出4,B,然后结合集合交集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

3.【答案】3

【知识点】众数、中位数、平均数

【解析】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有

效评分.

5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，

故选：A.

根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，分析可得答案.

本题考查数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【知识点】弧长公式与扇形面积公式

【解析】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和,

根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13,

对应的弧长］=2〃x13x：=等，

故选：C.

根据题意，分析要求所对应的扇形的弧，所在圆的半径，由弧长公式可得答案.

本题主要考查了斐波那契数的规律，扇形的弧长公式，属于基础题.

5.【答案】B

【知识点】等比数列的通项公式

【解析】解：根据题意，等比数列｛即｝中，有a2a4=说，

则有a2a4=al=2a3-1，解可得=1，

又由则=送，解可得。5=4，

故选：B.

根据题意，由等比数列的性质可得a2a4=说=2。3-1，解可得的值，结合等比中项

的性质可得。逆5=说，变形可得答案.

本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的通项公式，属于基础题.

6.【答案】B

【知识点】抛物线的性质及几何意义

【解析】解：•••点尸到该抛物线焦点的距离为3,

•••^+m=3,点P(m,ani)(m*0)是抛物线/=2Px(p>0)上一点，

可得27n2=2pm,

解得p=2.

故选：B.

点P到该抛物线焦点的距离为3,把点尸代入抛物线方程，解出p即可.

本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

第8页，共20页

7.【答案】A

【知识点】函数的解析式

【解析】解：根据题意，由函数y=〃x)的图象，其定义域为{x|xH0},/(%)为奇函数，

依次分析选项：

对于A,/。)=总大有靖一er。。，即XO0,其定义域为{x|x羊0},

且八一吗=一片7=一/。)，函数〃%)为奇函数，符合题意，

对于B,〃>)=普充有eX-er#0,即x00,其定义域为{x|x力0},

有/'(一%)=卷黑=/(为，函数f。)为偶函数，不符合题意，

对于C,等j,恒成立，其定义域为凡不符合题意，

对于。，/(X)=ex+e—w。恒成立，其定义域为K,不符合题意，

故选：A.

根据题意，由函数y=/(x)的图象，分析f(x)的定义域以及奇偶性，据此分析选项中函

数的奇偶性和定义域，即可得答案.

本题考查函数图象的分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，

8.【答案】D

【知识点】导数的几何意义

【解析】解：函数/(x)=a2x3—x的导数为尸(x)=3a2x2-1,

可得在点(l,f(l))处的切线的斜率为k=3a2-1,

由切线经过点(2,6),可得3a2-1=今沪，

解得a=+V2.

故选：D.

求得“X)的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得a的值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两点的斜率公式,考查方程思想和运算能力，

属于基础题.

9.【答案】C

【知识点】圆方程的综合应用

【解析】解：圆A/的圆心M(a,b),半径r=V5，则△MAB为边长为国的等边三角形,

①：•••利•丽=|两|•|丽|•cos60。=V3xV3x1=|..--A正确，

(2)：•••OA=OB=1,AB=V3.△04B的高/i=$

c1、/1、/■遮cV3,B、23V3

A^LABO=2X2X=7，IS^MAB=丁X(v3)=，

S四边形OAMB=f+学=后，8正确，

③：由②知S板/04MB=；xOMx4B,r.0M=等=2，

即迎2+12=2，a2+b2=4,V2(a2+b2)>(a+b)2,(a+b)2<8,

-2V2<a+b<2V2,当且仅当a=b时取等号，二a4-b的最小值为一2a,：C错误，

④：由③得，a2+62=4>2ab,•-ab<2,

当且仅当a=b时取等号，.：ab的最大值为2,.•.£)正确.

故选：C.

利用AMAB为边长为次的等边三角形判断A,利用三角形的面积公式判断B,利用相交

两圆的性质和基本不等式判断C,D.

本题考查圆与圆的位置关系，三角形的面积公式，基本不等式定理的应用，属于中档题

10.【答案】B

【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用

【解析】解：建立平面直角坐标系,

设BC=m,BA=n,且m>0,n>0,

由G是心△ABC的重心，得

所以前=©,»加=(表一算

因为AG1BG,所以布.蔗=联等=0,

解得?n=V2n,

第10页，共20页

又4C=(m,—ri)，

所以coszTlCB=7Tw2=噜=当，

V7n2+n2v2?P+n263

故选：B.

根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求角的余弦值.

本题考查了三角形的重心性质与应用问题，也考查了直角三角形的边角关系应用问题,

是基础题.

11.【答案】C

【知识点】球的表面积和体积

【解析】解：BCLCD,BC=CD,BD=2V3.

■1•BC=CD-=V6>

又AB=AD=2V5，

二要使三棱锥A-BCD的体积最大，则AC，平面BCD或平面ABO_L平面BCD,

当4c1平面BCD时，三棱锥4-BCD的高为「加一BC?=^12-6=瓜,

当平面4BD，平面BCD时，三棱锥4-BCD的高为J(2V3)2-(V3)2=3.

故当平面/BD，平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大，

如图,

设AABO的外心为0,则。到8、C、。的距离相等，即。为三棱锥力一BCD的外接球

的球心，

可得外接球半径R=0A=|J(2V3)2-(V3)2=2.

;其外接球的表面积为47rx22=167r.

故选：C.

由已知可得要使三棱锥A-BCD的体积最大,则4C1平面BCD或平面4BD，平面BCD,

进一步分析可得，当平面4B0J■平面8CD时，三棱锥4-BC0的体积最大，求解三角

形可得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能

力，是中档题.

12.【答案】C

【知识点】双曲线的性质及几何意义

【解析】解：由题意，双曲线胃―，=1(&>0/>0)的两条渐近线方程为丫=±5%,

联立片(?b

解得做湛,言),

1%—2y+n=0

联立(片一产b

解得B(—T),

lx-2y+n=0%+2ba+2/

AB的中点坐标为E(3，卷),

-2b2n

•••|P*=|PB|,PE与直线％—2、+71=0垂直，即节谑

a^-n

整理得2a2=3从，又炉=c2-a2,解得e=工=小.

a3

故选：c.

分别联立双曲线的两条渐近线方程与已知直线方程求得A、B的坐标，再由中点坐标公

式求得AB中点E的坐标，结合|P*=|P8|,由PE所在直线斜率与已知直线斜率的关

系列式求解.

本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】1

【知识点】向量的数量积

【解析】解：|方|=|石|=1，|a+K|=V31

•••(a+b)2=l+l+2a-h=3>

•••2a-b=1>

/.|a-K|=J(a-b)2=VI+1-1=1-

故答案为：1.

根据条件对|方+石|=旧两边平方即可求出2五=1，然后根据|日_方|=J(a-b)2

即可求出答案.

本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力,

属于基础题.

第12页，共20页

14.【答案】%

9

【知识点】二倍角公式及其应用

【解析】解：,•*sina+cosa=%二平方可得14-2sinacosa=14-sin2a=费，

.c7

**•SITL2.CC=—，

9

故答案为：g.

由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦公式，计算求得结果.

本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦公式，属于基础题.

15.【答案】-2

【知识点】向量的数量积

【解析】解：•.•丽・西2成・布恒成立，

二2%4-my>2,""(％)/)在'—=，nx上，

:2%+m仇x-220恒成立，设f(x)=2x+m/nx-2,(x>0),

①当mN0时，/(x)单调递增，/(I)=0,.,.当0cx<1时，/(%)<0,不合题意，

②当m<0时，f(x)=2+^=

当x>―三时，f(x)>0,当0<m<一£时，/(%)<0,

•1•f(.x)min=/(-y)=-2-m+m/n(-y)>0,

即-1-A+In(-1)<0,

令=.1一+ln(-y),则丁⑺)=煮+'=鬻，

当—2<m<0时，g'(jn)>0,当m>—2时，g'(m)<0,

•••g(m)>5(-2)=0.Xvg(jrC)<0,•1.g(m)—0.m=-2.

故答案为：-2.

先把丽•丽2瓦？・丽恒成立，转化为2x+m)％-2之0恒成立，再分类讨论〃?的值

即可.

考查向量坐标的数量积运算，考查恒成立问题，分类讨论方法的应用为解题的关键，属

于中档题.

16.【答案】击3)

4

【知识点】面面垂直的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离

【解析】解：设4G=x,DE=y,

因为E为8上的动点，平面P4BJ•平面ABC,

因为PG_LAB,PGu平面PAB,A8为平面PA8与平面

的交线，

所以PG1平面A8CD,

所以PG14G,在△PAG中，PA=3,AG=X,

所以PG?=2/一心=9-7,①

因为EG?=9+(y—％)2,PE=y,

△PGE中，PG2=PE2-EG2=y2-9-(y-x)2,②

联立①②可得9-x2=y2-9-(y-x)2,

即x=

y

因为3<yW4,所以：Wx<3.

故AG的范围是日,3).

故答案为：巳3).

设AG=x,DE=y,推得3<y<4,由面面垂直的性质定理，可得PG_L平面A8C。,

运用勾股定理，求得x,)，的关系式，即可得到所求范围.

本题考查面面垂直的性质定理和勾股定理的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档

题.

17.【答案】解：(I)在AABO中，△4B0的面积S=警=148•AD3也4⑶?1。，

所以4。=1+75，

由正弦定理可得B£>2=AB2+AD2-2AB-AD-cos^BAD=3,

所以8。=V3.

(H)由(I)可得BD=百，设4BOC=a,(0<a<60°),

由4BC。=120°,利用正弦定理可得更=—^―==2,

sinasm(60o-a)sznl20。

所以BC+CD=2[sina+sin(60°—a)]=2sin(a+60°),

因为0<a<60°,所以曰<Sin(a+60°)<1，

第14页，共20页

所以百<BC+CO<2,

所以BC+CD的取值范围为(百,2］.

【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、余弦定理、正弦定理

【解析】(I)在AaBD中，由已知利用三角形的面积公式可求A。的值，由正弦定理即

可求解的值.

(II)设NBDC=a,(0<a<60°),由NBCO=120。，利用正弦定理，三角函数恒等变

换的应用可求BC+CD=2s讥(a+60。)，结合范围0<a<60。，利用正弦函数的性质

即可求解其取值范围.

本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质

在解三角形中的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(I)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：

［4,6),［6,8),［8,10),［10,12),［12,14),口4,16),口6,18)的频率分别为0.08,0.1,0.2,

0.24,0.18,0.12,0.08,

.•・估计当天这50个社区垃圾量的平均值为：

x=5x0.08+7x0.10+9x0.20+11x0.24+13x0.18+15x0.12+17x0.08=

11.04«11.

(II)由(I)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,

・•.这200个社区中“超标”社区的概率为0.2,

•••这200个“超标”社区的个数为200X0.2=40.

(五)由题意得样本中“超标”社区共有50X(0.12+0.08)=10个，

其中垃圾量为［14,16)的社区有50x0.12=6个，

垃圾量为［16,18)的社区有50x0.08=4个，

按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为［14,16)的社区有3个，分别记为a,

b,c,

按垃圾量为［16,18)的社区有2个，分别记为d,e,

从中选取2个基本事件为：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,

其中所求事件“至少有1个垃圾量为［16,18］的社区”为：

(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个，

重点监控社区中至少有1个垃圾量为［16,18］的社区的概率为：

7

p0.7.

10

【知识点】频率分布直方图、基本事件

【解析】（I）由频率分布直方图能估计当天这50个社区垃圾量的平均值.

（口）由频率分布直方图求出该样本中“超标”社区的频率，由此能求出这200个“超标”

社区的个数.

（皿）先求出样本中“超标”社区共有10个，其中垃圾量为口4,16）的社区有6个，垃圾

量为［16,18）的社区有4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为［14,16）的

社区有3个，分别记为小b,c,按垃圾量为［16,18）的社区有2个，分别记为d,e,从

中选取2个，利用列举法能求出重点监控社区中至少有1个垃圾量为［16,18］的社区的概

率.

本题考查平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列

举法等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题.

19.【答案】解：（I）证明：设点G、H分别是CC,

CB的中点，

连接EG,FH,GH,则GH〃。从S.DB=2GH,

因为EF〃08,5.DB=2EF,

所以EF//GH,且EF=GH,

所以EFGH是平行四边形，可得FH〃EG,

因为CE=DE,所以EG1CD,

因为平面CDE，平面ABCD,所以EG_L平面ABCD,

所以，平面ABQ）,

因为FHu平面BCF,

所以平面BCF_L平面ABCD；

（11）连接86,由（I）可得EG1平面ABC。，

因为直线8E与平面A8C。所成角为45。，

所以4EBG=45。，所以BG=EG,

设4CCBD=0,

连接OE,可得OEFB是平行四边形，所以OE〃BF,

因为四边形ABC。是边长为2的菱形，且NBAD=60。，

所以三角形4BO和三角形BC。都是边长为2的等边三角形,

所以BG=遮，

第16页，共20页

所以以-CEF=^F-ACE—^B-ACE~^E-ABC=5s△力BC,EG

=|SABCD-EG=|X^X4XV3=1.

【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、面面垂直的判定

【解析】(I)设点G、H分别是CD,CB的中点，运用三角形的中位线定理和平行四边

形的判断和性质，推得FH〃EG,由面面垂直的性质和判定定理，即可得证；

(II)连接BG,由线面角的定义，推得4EBG=45。，再由等积法，结合三棱锥的体积公

式，即可得到所求值.

本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及直线和平面所成角的求法，考查转

化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

20.【答案】(I)证明：当a=1时，令h(x)=/(x)-g(x)=%+1-sinx-cosx,xER,

则h'(x)=1—cosx+sinx,

当0<%<g时，h'(x')=1-cosx+sinx>0,

所以/i(x)在［0,J)上单调递增，所以h(x)2八(0)=0,所以f(x)2g(x)，

当x2即寸，h(x)=x+1-V2sin(x+^)>^+l-V2>0,所以/'(x)2g(x).

综上所述，当a=l时，不等式/(x)Zg(x)在［0,+8)上恒成立.

(U)令t(x)=/(%)-g(x)=ax+1—sinx—cosx,x>

贝！］t'(x)=a-cosx+sinx,

(1)当x>。时，由题意得t(x)>0在［0,+8)上恒成立，

因为t(0)=0,所以t'(0)=a-120,所以a21,

当a>1时，由(I)得土。)=ax+1—sinx-cosx>x+1-sinx-cosx>0,

所以当t>0在［0,+8)上恒成立时a>1；

(2)当一?Wx<0时，由题意得t(x)>0在［一90)上恒成立，

因为t(0)=0,所以F(0)=a—l40,所以a〈l,

当a<1时，t(x)=ax+1—sinx—cosx>x+1—sinx—cosx,

由(I)得〃(%)=1—cosx+sinx=1+V2sin(x—^)<0,

所以/i(x)在［一50)上单调递减，所以八(x)2/i(0)=0,所以t(x)20,

所以当t(x)>0在［一90)上恒成立时a<1.

综上所述，实数。的取值集合为{1}.

【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值

【解析】(I)令九。)=f(x)-9(£)，对Mx)求导，利用导数求出h(x)>0,即可得证;

(11)令/:(刀)=/(%)-9(乂)，对t(x)求导，分x20,和一：Wx<0两种情况求出a的取

值范围，最后取交集即可求得实数〃取值的集合.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算

求解能力，属于难题.

,yo_i

岫8=,2——~~

+a-a4

33

21.【答案】解：(1)设。(|,丫0),由题意得，|x2ax=4V2

3

上+窈=1

19a2丁施工

...[b23*=1

口?=4’

椭圆C的方程为彳+y2=1-

(n)假设存在这样的点M设直线PM与x轴相交于点7(a,0)，由题意得7P_LBQ,

设直线AP的方程为：x=my-2,点Q(%,yi),

x=my—2

{M+y2_］得：(M?+4)y2—4my=0,

•••yi=艰£或为=。(舍去),

_2m2-8

J=~^9

.c,2m2.84m、

,〃(m2+4，源+4卜

28

,**一=mt—o2,«*•At=—,

33m

38

飞哥)

x

•・•TP_LBQ,­­TP•BQ=(|—x0)(i-2)+ty1=0,

2八

2,ty12,84mm+4

・•・x0=-+=一+-----；2------=0,

u3xx-233mm+4-16

二直线PM过定点7(0,0),

取OB的中点N(l,0),由OM1BM可知△MOB为直角三角形,

\MN\=1\OB\=1,

第18页，共20页

.•・存在定点N(1,O),使得|MN|=1.

【知识点】直线与椭圆的位置关系

【解析】（I）设。（|,%），根据题意列出关于“，h,c的方程组，解出a,b,c的值，得

到椭圆C的方程.

（口）假设存在这样的点N,设直线PM与x轴相交于点7（均,0），由题意得TP1BQ,设

直线4尸的方程为：x=my-2,与椭圆方程联立，求出点。的坐标，联立直线x=