2021年教师资格证考试《高中数学专业面试》真题及答案解析

2021年教师资格证考试《高中数学专业面试》真题及答案解析

2021年上半年教师资格证考试《高中数学专业面试》真题及答案解

析

1［简答题］(江南博哥)

1、题目：弧度与角度的转化

2、内容

用角度制和弧度制来度量:零角.单位不同，但量数相同(都是

0)；用角度制和弧度制度依任一非零角,单位不同,代数也不同.

因为周角的弧度数是2",而在用度制卜一的度数是360,所以

360°=2”rad,

180°=7trad.

rad会R.01745rad.

180

反过来有:

1rad=(噌)°=57.3O°=57T8'.

一般地,我们只需根据

1。=y^rad=0.01745rad：

18()o=xrad•

1rad=(30°

就可以进行弧度与角度的换算r.

：(1)要有板书；

(2)条理清晰，重点突出；

(3)教学过程注意启发引导；

(4)学生掌握弧度与角度的转化方法。

参考解析：(一)导入新课

问题1：我们已经知道角的度量单位是度、分、秒，它们的进率是60,

角是否可以用其他单位度量呢?是否可以采用10进制？

问题2：角的弧度制是如何引入的?为什么要引入弧度制，好处是什

么？角度制与弧度制的区别与联系？

问题3：应用公式a=-求圆心角时，a是弧度，如果给出角度时怎么换算成邨度呢？

r

<Z）合作探究，生成新知

L学生动手画图探究平角、圆周角的孤度数，结合图形和公式找到平角，圆周角与弧度之间的关系。

圆周角：a=-=’-=2乃；36O=2;zrad;平角：a=-=—=万；180=加ad。

rrrr

2.根据特殊角以及孤度的定义，推导出任意的角度转化成邨度：—,a=—rad；

na180

推导出任意的弧度转化成角度：V=—,n=a—

7171

3.利用角度与弧度的转化完成特殊角的角度与邨度的对应表

角度30。45°60°90°180°360°

71717171

弧度71271

432

4.分组讨论教的集合与实数集R的对应关系。在这两种单位制下都是以一一对应的关系么？

由于每一个角都有唯一的一个实数（角度或者弧度）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的

一个角与之对应，因此，无论角度制还是弧度制都能与实数建立一一对应的关系。

（E）应用举例，肌固提高

1把115.30',?化成弧度

（四）小结归纳,布置作业

小结：本节课你有哪些收获

作业：同桌互相给出角度或者弧度，另一个人进行转化。

板书设计略

2［简答题］

1.题目：必修四《求三角函数的值》片段教学

2.内容：

3.基本要求：

(1)试讲约10分钟；

⑵体现数形结合的数学思想；

⑶结合教学内容，适当板书。

参考解析：一、创设情境，引入新课

开门见山，对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数及

其求值，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧

度制，这节课我们一起来研究一下求任意三角函数的值。我们在初中

通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦，余弦和正切。请回

想一下:这三个三角函数分别是怎样规定的呢？

二、合作探究，学习新知

1.在单位圆中定义任意角的三角函数

锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标表示，同样的，我们也可以

用单位圆定义任意角的三角函数。

教师认可学生的回答，并给予肯定性评价。

1.例题讲解，求任意三角函数的值

三、巩固运用，实践创新

课件出示与本节课相关的2个练习题，对刚学过的知识进行巩固提高。

四、总结体会，反思提升

通过本节课的学习，你收获了什么？

五、课后作业，拓展延伸

完成课后练习第1题和第3题

六、板书设计:略。

3［简答题］

1.题目：新人教A版第二册《向量的减法运算》片段教学

2.内容：

阮代I]/宅.导向■•佐理如辱.方向强法的冏■・W

■•第・*■■・比作•-南F。*&IflllR仍脚巾I，。好方向.帅Jt*•一•鼠为机

反向■・ra

等内■的相反力・仍■《向・・

由一个附AIIB的定义■!>

•+<•»(-«)♦•一••

俄的施■零附■.达脾・■1・•・▲学力相&X■・■4

・i，・*>0.

ML•的他m的H・叫“独的・・・

•一♦，・♦<一”.

求■仆白■龄的工。“■华・K・9L

ftfitn.M・rm优可口力化为网■的"H.JUttn个育・秋勺r旭匕礴个

闻■的相以网■

3.基本要求；

(1)试讲约10分钟；

(2)引导学生进行小组讨论；

⑶结合教学内容，适当板书。

参考解析：一、复习旧知，引入新课

同学们还记得，在数的运算中，减法是如何规定的吗?是的，减法是

加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。

类比数的减法,这节课，我们将研究向量的减法与加法有什么关系，

如何定义向量的减法法则。(板书课题)

二、合作探究，学习新知

1.教师讲解

(1)规定:与向量•长度相等，方向相反的向量，叫做•的相反向量，

记作。

抛出问题:如果方向反转两次，你会发现什么?-Qa)=a

零向量的相反向量仍是零向量。

(2)结合两个向量和的定义知，"+(-a)=(-a)+a=0,即任意向量与其

相反向量的和是零向量。

师:如果。互为相反向量，那么a=-b,b=-u,a出b=•,向量''加上b

的相反向量，叫做“与h的差，即〃-b=a+(-b),求两个向量差的运

算叫做向量的减法。

引导学生发现：向量的减法可以从加法的角度理解;减去一个向量相

当于加上这个向量的相反向量。

2.教师通过多媒体动画讲解，a-b的作图方法

3.动手操作，小组探究

动手画图，探究向量加法的几何意义是什么？

多媒体呈现小组的图示，小组代表回答，减法的几何意义:a-b可以

表示为从向量b的终点指向向量“的终点的向量。

进一步提问，若@〃1),则如何作出a-b?

同学思考回答。

4.平需向量晶法的应用师生共同完成例题，

三、巩固运用，实践创新

四、总结体会，反思提升

通过本节课的学习，你有哪些收获？

五、课后作业，拓展延伸

习题册的A组基础题上3题作为必做题，B组能力拓展第1题作为选

做题。

六、板书设计:略。

4［简答题］

1.题目：三角函数的周期性

2.内容：

由单位陷中的：角函数线“1知.小弦.余弦函数份的火化小现出

冏期现象.%用年增抑(或减少>2x.所和角的绕边与原未用的终边相

向.故两角的正弦.余弦函数值也分别相W.即ff

tint2it•-sinr>CT»(2W+r)-cooi.

正发南数和余弦函数所■在的过即件质称为周期性,

若记/《，》•喇对于任点「8K・都有，。42幻—

这乂启发我俏思号：

・如何用数学诅J制做雨歌的周期性

一般地•对F函数八X).如果存在一个非零的常畋丁，使阳

定义域内的每一个1伊.鄱倩足

/1才+丁)=f1.r)・

屡么函数/(工)就叫做周期亚依(PEMichmciion).集零写效T

叫做这个函数的周峭ipsod，

林知2/是iE弦雨数和余弦雨数的冏期・"——…以及2讨.

”•一都足正弦南数国余弦南故的周期♦叩布个儒教—工

H.AWG都此这两个湘敛的冏胡.

一个同用晶盘的网即有多多午？网剧部段的图9A才什么转征？

注：图片节选自江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学必

修4第24页

3.基本要求：

⑴试讲时间10分钟以内；

⑵讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；

(3)根据讲解的需要适当板书与作图；

(4)列举实例帮助学生理解函数的周期性。

参考解析：(一)导入新课

组织学生思考，三角函出是刻画圆周运动的数学模型，员周运动周而

复始,那么三角函数是否也存在类似的性质？引入课题。

(二)讲解新知

组织学生回顾单位中的三角函数线.结合三角函数的诱导公式，学生可发现正弦、余弦函|数值

的变化呈现周典现氯

师生共同得出结论，即当角增加或减少2彳I时,所得角的终边与原来角隹缁边相同，故两角的正

弦、余弦星数值也分别相同，即有smg+xAWnr,a»(2z+x)=8sx。

教师点明，这种也瞬为周期性。

提问:如何用符号语言表示正弦函数的J周闻期引性？

可结合学生作答，明确I己人月7nx则对于任意XWR,都有八x+追问:怎样用数学

语言刻画TS函数f(X)的周其性？

组织学生列举实例，探索共性，教IJ褥含学生结论，给出周期承图定义，即F地，对于函数

f(x),如果存在一个三港的常数T,使得定义域内的每fx值都漏足f(x+T9(x),那么函数f(x)

叫做周期函数，非零常数T叫散这个函数的周期。

清学生说出正弦承数、余弦函数的周期，并思考f周期丞数的周期有多少个?可预设学生得

出4r等2H(teZd.O)；都是这两个函数的周期，因此猜想在定义域R内，f周期函数会

有很多个周期。

师生可得出结论为周期函数的图象也是周期性簸出现。

(三)课堂练习

判断我是否是7Mm和g(X)=8S21的周期，说理由。

(四M绍业

4有:带领学生回顾本节内容，强调判断周期函艘的要点一定义域内的—个值；

作业:查阅资料判断狄^克雷函数是否是周期函数。

【板书阿】略

2021年下半年教师资格证考试《高中数学专业面试》真题及答案解

析1

1［简答题］

L题目：《三角函数诱导公式》

2.内容：

公式二

如,g..

Ml*—•)——COB••

um(害—«)-Un«•

如IK&J3.作人关于二■的财务口『9・«»

OFj为健口总册为一•・井H/

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公式19

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•--・下，

2

c…号…加-第

〈3〉《i•(一手)*"«i»导

・一加5||+!)

9

3.基本要求

(1)试讲约10分钟；

⑵引导学生进行小组讨论；

⑶讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；

(4)结合教学内容，适当板书。

4.答辩题目

(1)这道题目在教材中的作用和地位；

(2)学生如何想到方法二的。

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征，

会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简。

过程与方法目标：通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归

纳能力，领会数学的化归思想方法，学生体验和理解从特殊到一般的数

学归纳推理思维方式。

情感态度与价值观目标：通过公式二、三、四的探求，培养学生思维

的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个

性品质。

【教学重难点】

教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归

为已知问题的思想方法。

教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中,

发现问题，提出研究方法。

教学过程：

一.温故知新，提出问题

1.任意角；的正弦.余弦.正切是怎样定义的9

3n।-yc<is17-r<1<<in

2.二“•,,/与是什么关系？他们的三角函数之间又是

什么关系？

角度间的关系：终边相同

函数值间的关系：公式一sni：.+2Zn：sin

cosi.j+2履）=

Ian*.；♦MixI=（an«

3.你能求、心。。和、m”（尸的伍丽

、心底=川即,.柏吁涧"=；

sin570°=sin（2l（）c+360°）=sin210。=?

产生问题：如何快速准确的求解叫"。'的值？

二、教师引导，探究新知

带着疑问，思考以下几个问题一

思考1：21。。角与3（广角在数量上有何关系？

210。=1X0。+30°

思考2：，（尸角与30,角的终边在直角坐标系中的图象有何关

系？

3。"角的终边号〜（尸角的终边关于原点对称，易知3（尸角终

边与单位圆交点为"['；；；,由对称性可得21。。角的终边与单位圆

交点为“jA；，所以，-sin"；…|"一：'…、”；

t;m2IO'=二Km30

3•

产生问题：由特殊角到任意角，若角。为任意角，这个关系

还存在吗？

思考3：根据三角函数定义，MILK+,cos（^♦a',tan：n*u的

值分别是什么？

角。为任意角,则角兀+。与。终边关于原点对称.

设终边与单位圆的交点为/'、」!，由对称性，兀+,］的终边与单

位圆交点为，'二门也根据三角函数定义，即。+—一-\

cos*X+。）=­、＞tan'a•..=1

•t

思考4：兀+a的三角函数与。的三角函数有什么关系？

公式二sin(na)：sina

C(>S；7t+a；--U»MJ

tan(7t+a)=tana

自主探究,大胆表述,除了兀+门的三角函数与。的三角函

数有关系.一。.兀。的三角函数与0的三角函数也存在关系.

请学生以小组为单位,自行探究它们之间的关系，然后每组派个

代表进行表述.

根据三角函数定义.一Q的三角函数与。的三角函数得到

公式式三：

TAiii-rtI-n：i•?

根据三角函数定义，兀一。的三角函数与。的三角函数得到

公式四：

三.巩固运用，实践创新

sin»l44u-•cosin-10X0^

1,化筒：|川”，」、而,|玳广

2.请学生归纳一下利用诱导公式把任意角的三角函数转化为

锐角三角函数的步骤？

四、总结体会，反思提升

师生共同总结：通过这节课的学习,你获得了哪些知识？

通过本节课的教学，我们获得了诱导公式.值得注意的是公

式右端符号的确定.在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简

中，我们又一次使用了转化的数学思想。通过进行角的适当配凑.

使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性.

五、课后作业，拓展延伸

1.基础作业：完成课后练习题；

2.开放性思考题：（1）尝试由公式二、三、四中的任意两组

公式推导到另外一组公式？（2）角。和角户的终边还有哪些特

殊的位置关系,你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？

2［简答题］

1.题目：《同角三角函数的基本关系》

2.内容：

公探究

公式一•，角城■同，角，〉一务为■■鱼，等,S4.件角”三个三

na<t-土网受¥4****■六？

图为三个二角向匕信・星由角的弊边斗•仪・幺0斯・-9之的.篇目集坳相口的2

伪=个二角-欧m定。内上公式W加，我m不惊二怆犬■个编第三个二q・

取值之所的央桑,

to®5.27>俊庆ra-»)*角•■终边叮一位■的交点,tiPf^TMKfltS.交了

UHM・M6OMP圣0翕三角电.前艮M-I白勾取由

CM>*MP;-L

皿/♦/一1・9

:“h+Z・TI

a».3•愀*边耳小£»***•K+公丈U配

O品一俗童义，*・■4・！；3£Z）时.W

这4支.n-tM«K2*.：.

in0+禽・»正应

3.基本要求

(1)试讲约10分钟；

⑵讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；

⑶引导学生掌握在公式中必须是同角才成立；

⑷结合教学内容，适当板书。

【参考解析】

【教学目标】

知识与技能目标：掌握同角三角函数的基本关系。

过程与方法目标：通过练习及两种方法的比较，培养学生的运算能力,

提高学生的分析问题，解决问题的能力。渗透方程思想分类讨论的思

想方法。

情感态度与价值观目标：通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的

三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能

力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法，让学生

体会用联系的观点看问题。

【教学重难点】

教学重点：同角三角函数的基本关系的掌握以及运用。

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的

变式应用。

【教学过程】

一、复习旧知，引入新课

1.讲解任意角的三角函数定义引出课题。

二、合作探究，学习新矢口

探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能利用任意角的

三角函数定义，探究同一个角的不同三角函数之间的关系吗？

提出问题：

1.当角a为象限角时，正弦、余弦之间的关系是？

2.利用三角函数的定义解题

1.sin'a+co、・a=?

2g?

指出这两个等式即为今天要讲的同甬三角函数的基本关系

式.

思考1：如图.设0是一个任意角.它的终边与单位圆交于

点,观察角的正弦线'〃'，余弦线和半径'有什么内在

联系？

思考2：当角。是轴线角时,关系式是否还成立？

思考3：观察任意角a的三角函数的定义=；

co、t?tan；；一;可以发现

______________（平方关系）

思考4：任意角a的三角函数的定义（商

的关系）

探究：在公式中是否必须是同角才成立。如：、m；+、”、6•

成立吗？

学生小组之间进行交流讨论。

根据老师提示的方法进行探究：

Mild,V

・......=-=j=(4in

COS□Ax

强调：在公式中必须是同角才成立。如：、m•"户I是错

误的，

三、巩固运用，实践创新

1.判断(正确的打错误的打“X”)

(1)sin2a+cos20=1.()

(2)对任意角。；向"()

(3)利用平方关系求““a或co、。时，会得到正负两个值.

()

(4)若、则―()

四、总结体会，反思提升

师生共同总结：通过这节课的学习，你获得了哪些知识？

鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从知识、方

法、情感等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。

五、课后作业，拓展延伸

1.基础作业：课后习题厂2；

2.开放性思考题：寻找同角三角函数的基本关系式的变形式。

板书设计：

同角三角函数的基本关系

a-1

cosa

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：掌握同角三角函数的基本关系。

过程与方法目标：通过练习及两种方法的比较，培养学生的运算能力,

提高学生的分析问题，解决问题的能力。渗透方程思想分类讨论的思

想方法。

情感态度与价值观目标：通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的

三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能

力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法，让学生

体会用联系的观点看问题。

【教学重难点】

教学重点：同角三角函数的基本关系的掌握以及运用。

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的

变式应用。

【教学过程】

一、复习旧知，引入新课

1.讲解任意角的三角函数定义引出课题。

二、合作探究，学习新知

探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能利用任意角的

三角函数定义，探究同一个角的不同三角函数之间的关系吗？

提出问题：

1.当角a为象限角时，正弦、余弦之间的关系是？

2.利用三角函数的定义解题

1,sin-a+czu=?

2・cose?

指出这两个等式即为今天要讲的同角三角函数的基本关系

式.

思考1：如图.设Q是一个任意角.它的终边与单位圆交于

点，观察京的正弦线余弦线和半径。，有什么内在

联系？

思考2：当角0是轴线角时,关系式是否还成立？

思考3：观察任意角0的三角函数的定义=；

cusa=；tana-；可以发现

______________（平方关系）

思考4：任意角。的三角函数的定义（商

的关系）

探究：在公式中是否必须是同角才成立。如：、m；+、”、6•

成立吗？

学生小组之间进行交流讨论。

根据老师提示的方法进行探究：

Mild,V

・......=-=j=(4in

COS□Ax

强调：在公式中必须是同角才成立。如：、m•"户I是错

误的，

三、巩固运用，实践创新

1.判断(正确的打错误的打“X”)

(1)sin2a+cos20=1.()

(2)对任意角。；向"()

(3)利用平方关系求““a或co、。时，会得到正负两个值.

()

(4)若、则―()

四、总结体会，反思提升

师生共同总结：通过这节课的学习，你获得了哪些知识？

鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从知识、方

法、情感等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。

五、课后作业，拓展延伸

1.基础作业：课后习题厂2；

2.开放性思考题：寻找同角三角函数的基本关系式的变形式。

板书设计：

同用三角函数的基本关系

sina

-------=tana

cosor

3［简答题］

L题目：《嘉函数》

2、内容

3-33雷・

04BMKU«MHIMr

aev•»«•0.

am."at.

9

“，i>・graatMc.—

23

我们先n几个H体向也，

（n如果张红购龙r克।儿的趣菜卬不克.那么他

雷要支付P-w元.这里.，是“，的函»h

（2）如果正力心的边长为那么正方形的而根，-“：・

这帆S是“的函数，

（3）如事立方体的边区为。・那么立方体的体根V=a・

这里丫站&的函数，

（4>如果一个正方影场地的m根为二那么这个正方形

的边K”«・这里“Jfts的函数।

（5）恤果K人^内达下行进/Ikm・那么他骑车的平

均速慢1，km5,这里”是，的陶It

以上问JI中的由数具有什么共同卿住？

匕述问卷中涉及的函故,都是花如,、,丁的函数.

般地.函数y—1叫做：：（照即・rfunction）.J（

中，蟹门变M・"是笳散.

M于事而故.ftilRititaI.2.3.；.I时的情

取

在同一平面在用也怀系内作出*南数.V-r.，,/.

y-r*.、•=/..v=*，的图象<l«2.3-l）.

II

剜二・"期粉5r第二套

«B2.3k将你发现的婚论写在下哀内，

a

尸*kJ，・川―工川I•

定义■1:

假*I

<«FT,L4^I：

・.件_____________________I:

：I—____________________________________________________；:

通过图M3I与上&•我#］鼎到，

I.函数》>l・.yo/2.y~r*.丁「上’和、,一了，的图象

都通过京（1.1>4

2.娥般y=八产」.y-i1是奇函数.函注»。，

是朗丽Sb

3.在翻象限内.函tfc.V：1・N-V.v.rJ加y二，

是墙箫数.函数尸=，足微雨数，

—象眼内.函数F=J।的图敛向上》,、施心双

接近,向右与J忡无取接近.

■■I91■.

3.基本要求

⑴试讲约10分钟；

⑵教学过程突出重难点；

⑶结合教学内容，适当板书。

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：了解幕函数概念，理解解幕函数图象的变化情况和

性质。

过程与方法目标：通过观察、体会、发现，引出塞函数的概念，认清

幕函数的特点；通过学生画图和计算机演示，研究事函数的图象和性

质，让学生自己体验，观察归纳，自主探究，合作学习，培养学生的

概括能力和识图能力。

态度情感与价值观目标：通过生活实例引出幕函数的概念，使学生体

会到生活处处有数学，激发学生的学习兴趣。过学生自己画图，观察

图象，总结性质，亲身感受知识的形成过程，从而激发学生的学习欲

望，欣赏并体会数形和谐的对称美。

【教学重难点】

教学重点：幕函数的概念、图象和性质。

教学难点：塞函数的图象随指数变化的规律。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

下面我们一起看我们生活中经常遇到的几个数学模型：

1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要支付的钱数

p=;

2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=—；

3.如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积R=―；

4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=—；

5.如果某人t秒内行进了1米，那么他骑车的速度V=；

问题1:以上函数关系式有什么共同特点？你能否抽象出一

个具有一般性的函数模型？

二、合作探究，学习新知

1.定义：幕函数一'（，”R）中，。为常数，系数为1.底

数为单一的这是判断一个函数是否为幕函数的重要依据和唯

一标准.幕函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要

分清，以防出错。

2.问题1:我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？又通

常如何去研究？

学生回答，教师总结：定义域、值域、单调性、奇偶性等.

我们通常是利用图象来研究函数性质的，

学生活动：研究几个常见的早函数图象及性质

作出下列函数：''1'、।tr',、的图象。

将学生分成4组作图：

第1组：।

第2组：

第3组：»=V：..=Y：；

第4组：—-v'\I-A-；

学生分组作图，并根据图象写出相应函数的性质。教师利用

实物投影展示学生的作品，再用多媒体展示图象

3.总结归纳五个常见幕函数的性质:

•••,•.41!••'•-••••1.

i

1•

三、巩固运用，实践创新

1.下列函数是靠函数的是()，

A.「5B.y=vf

C..»,=5vD.v-i.v+l),

四、总结体会，反思提升

(-)知识方面

】•黑函数的概念及早函数的特点：

2.常见幕函数的图象和幕函数的性质

(-)数学思想方面：

1.数形结合；

2.分类讨论；

3.从特殊到一般、由具体到抽象。

(三)数学核心素养：

数学抽象、逻辑推理、数学建模

五、课后作业、拓展延伸

讨论幕函数的定义域、值域、奇偶性.并作出其图象.

再根据图象讨论单调性。

板书设计：

4［简答题］

1.题目：《两条平行直线之间的距离》

2.内容：

.2M•平行・馒之•匹・1

我的如・・“晶1FHIl之同的奥<,等于JC中条内馒I任意一点到力

一条色蝶的物m・IM<.叫rifiai以邪道线的外腐氽■，平“Hit之川的

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3.基本要求；

(1)试讲约10分钟；

(2)教学过程体现探究过程；

⑶结合教学内容，适当板书。

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：理解将两平行线间的距离转化为点到直线的距离的

思路；会求两平行直线间的距离。

过程与方法目标：在问题探究的过程中，体会用代数的表达式来研究

几何的思想方法，加深对距离的理解，培养学生分析问题和解决问题

的能力。

情感态度与价值观目标：利用具有现实教育意义的实例，激发学生的

学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想；培养学生掌握

“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。

【教学重难点】

教学重点：两平行直线间距离公式的求法。

教学难点：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离时，如何选取

恰当的点，以方便计算。

【教学过程】

一、复习导入新课

1.点到直线的距离公式是什么？

2.两平行线间的距离有什么性质？

引导学生回顾旧知，引出课题一一“两条直线之间的距离

二、合作探究，学习新知

1.什么是两平行线间的距离?请给出定义。

学生独立思考，抽学生回答，尽量表述的准确。

教师针对学生的表述，引导出定义：两条平行直线间的距离是指夹在

两条平行直线间公垂线段的长。

2.探究问题1：什么是两条平行直线间的公垂线段?是两条直线上各

自任意取一点连线的线段么？

教师引导学生准确画出公垂线段，并说出画法，说明只有公垂线段的

长能刻画出两条平行的直线间的距离。

3.探究问题2：两条平行直线间距离的特征:夹在两条平行直线间公

垂线段的长处处相等。

教师引导学生发现并证明，两条平行直线间的公垂线段处处相等。让

学生到黑板前给大家展示说明。

4.深入探究：如何求两条平行直线间的距离？

教师在PPT上呈现例题。

例如：何求平行线2x+3y-8=0与2x+3y=0间的距离？

(1)两条平行线间的距离指的是什么？

⑵如何将两平行线间的距离转化为点到直线的距离？

(3)如何取点，可以使计算更简单些？

学生自主探究，然后小组内探讨，教师巡回指导。请小组代表汇报结

甲.

o

方法归纳：

(1)取直线2x+3y-8=0与坐标轴的交点A(4,0)或B(0,8/3),然后

求点A或B到直线2x+3y=0的距离;；

⑵取直线2x+3y-8=0,上坐标为整数的点，如P(l,2),然后求点

P到直线2x+3y=0的距离。

5.任意两条平行线间的距离是多少呢？

教师引导学生将导学案上的作法投影到屏幕上，给大家讲解针对一般

式选用的方法，师生互补共同总结最优方法。

三、巩固运用，实践创新

1.求两条平行直线2x+3y-8与ax+8y+ll=0间的距离。

四、总结体会，反思提升

师生共同总结：通过这节课的学习，你获得了哪些知识？

鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从知识、方

法、情感等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。

五、课后作业，拓展延伸

1.基础作业：课本P110习题3.3:A组第10题，B组第4,9题。

5［简答题］

1.题目：《对数函数的概念》

2.内容：

3.基本要求

⑴试讲约10分钟；

⑵引导学生进行小组讨论；

⑶对比指数函数掌握对数函数的概念；

⑷结合教学内容，适当板书。

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：掌握对数函数的概念。

过程与方法目标：让学生通过观察对数函数的图象，掌握对数函数的

特点。

情版态度与价值观目标：培养学生数形结合的思想以及分析推理的能

力。

【教学重难点】

教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的特点。

教学难点：底数对图象的影响及其取值范围。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？对数

的定义及其对底数的限制是什么？

2.应用例子

处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表:

G乂2r,7<>><1I<1|U0|0<MI|

然后引导学生观察上表，体会•对每一个旗14的含量的取

值,通过对应关系一收L生物死亡年数都有唯一的值与之对

应.从而是的函数•.(进而引入对数函数的概念)

二.合作探究,学习新知

(-),对数函数的概念

一般地.如果"…匕那么数、.叫做以"为底'的对

数.记作：、小、,其中"一底数.\一其数，■'一对数

式.

说明：1.注意底数的限制且"7；

2.u'oh*\'；

3.注意对数的书写格式.

思考：1.为什么对数的定义中要求底数“且；

2.是否是所有的实数都有对数呢。

两个重要对数：1,常用对数：以10为底的对数一；

2.自然对数：以无理数一心为底的对数।八.

(二).对数式与指数式的互化

皿VV-.1,X\

对数式指数式

对数底数，4•鬲底数

对数♦工r指数

真数一\-葬

(1)负数和零没有对数I

(2)1的对数是零：值'-»；

(3)底数的对数是3…；

(4)对数恒等式：，，――V.

(5)卜¥“"・

(三).判断一个函数是对数函数的方法

「°n.।I..in*r咳物

.三、巩固运用，实践创新

1.判断下列函数中，哪些是对数函数？

（1）r-kigVAu>0

（2）,»*I

⑶…

四、总结体会，反思提升

师生共同总结：通过这节课的学习，你获得了哪些知识？

鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从识、方法、

情感等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。

五、课后作业，拓展延伸。

1.基础作业:完成课后练习题；

2.开放性思考题:将指数函数与对数函数内容进行对照，并完成表格。

【板书设计】

对数函数的概念

（一）对数函数的概念

（二）对数式与指数式的互化

（三）判断一个函数是对数函数的方法

6［简答题］

L题目：《集合的含义与表示》

2.内容：

我打工情兜“像愫/»«*e•"A★第e体叫itaa

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参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：能描述一个集合的基本构成会运用适当的方法表示

集合。

过程与方法目标：通过思考、交流、观察、总结，掌握对二次根式进

行化简的方法，提高运算能力和语言表达能力。

情感态度与价值观目标：养成细心观察，认真分析的良好习惯。

【教学重难点】

教学重点：掌握集合的定义，集合的性质，集合的表示方法。

教学难点：运用合适的方法表示集合。

【教学过程】

一、导入新课

通过引导学生观看大屏幕中的实例，提出问题：“请同学来说一说我

们的前面三个例子的答案？”引导同学们自主思考，复习初中和小学

所学的关于集合的知识。

老师提问：“请同学们观察一下这些例子，我们该如何去定义集合呢？

集合有哪些特性呢？

以设疑的方式引出新知识一一《集合的含义与表示》。

二、探究新知

集合的定义

沿用导入中的提问：“我们该如何去定义集合呢？”引导同学们自主

探究，同桌讨论，并请学生回答问题的方式完成对集合的定义，注意

关键词研究对象，总体。

2.集合的特性

本环节分为三问,

问题：'我国的所有河流和我国的所有小河流这两句话中所有元素组

成的全体都是集合吗？

明确：引出师生互动，总结得出第一个特性，集合的确定性。

问题：集合除了确定性外，还有其他的性质吗？｛-1.3｝和｛3.7｝这两

个集合之间是什么关系呢？

明确：引出第二个特性，集合的无序性，同时得出集合相等的概念。

问题为什么我的的集合不写成｛T.T.3｝.｛3.3.3.T.-1｝呢？

引出第三个特性，集合的互异性。对于学生的想法给予鼓励。

3.集合与元素的关系

在第二步的基础上，再提出问题“集合和元素之间有什么关系呢?大

家来看大屏幕中的实例，｛T.3｝两个元素组成的集合。那么元素T

是集合的元素该如何用数学语言来表示呢？”引导学生思考，得出属

于关系，然后启发提出问题：“那么。不是这个集合的元素又该如何

表达呢？”引导学生思考，得出不属于关系。最后一问：“那么元素

与集合之间存在怎样的关系呢？"，引导学生总结元素和集合之间的两

种关系，属于和不属于。对于学生的回答表示赞扬。

4.特殊的数集

提出问题“该如何表示特殊的数集呢？”引导学生思考，得出属于关

系，然后启发提出问题：“那么0不是这个集合的元素又该如何表达

呢？”引导学生思考，得出自然数集，我们用N来表示，实数集用R,

有理数集用Q,整数集用Z,正整数可以用N*。对于学生的回答表示

目定。

5.集合的表示方式

提出问题“集合可以用特定的宇母表示，但是，我们的集合是无穷无

尽的，还有其他方法去表示集合吗？”引导学生思考，引出列举法表示

集合，然后，启发提出问题：“例举法可以表示所有的集合吗？”引

导学生得出描述法。提出问题“那么大家可以总结出列举法和描述法

表示集合的优劣势吗？引导学生小组讨论，总结得出，当集合的元素

比较少时，用列举法比描述法方便，当集合的比较多时，用描述法方

便。对于学生的回答点赞。

三、巩固提高

以抢答的形式完成PPT中的练习，巩固化简方法。

四、课堂小结

教师引导学生分享收获，进行总结梳理。

五、布置作业

完成习题―2题，学有余力的同学预习下节课内容。

板书设计：

集合的含义与表示

重乂：元率〈一些元学mwa

二.褰吉特GE：11）WTU<2）互步但<3>

・a与元，父*筝：atB

7［简答题］

1.题目：《随机事件》

2.内容：

«*•卜•一定公及1的$ft.■做

S的•传•体必《$.件,

F.邕不介我，的，传.叫做他条”s

的不可■■件<m»p<zihlrcet>.II*4：可催，忤।

名式/件、々w杆蝮林力和“r»ns的•塞，

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条件5的・••仲（rwxinmcvmO.帆

3ft和SIM1l忖除体力/件.较阳大。7。八.

B.<••••…供小.

3.基本要求：

⑴试讲约10分钟；

⑵讲解要目的明确，条理清楚、突出必然事件、不可能事件和随机

事件的意义；

⑶结合教学内容，适当板书。

参考解析：【教学目标】

知识与技能目标：理解确定性现象和随机现象的含义，掌握必然事件,

不可能事件和随机事件的意义，掌握必然事件、不可能事件和随机事

件的定义。

过程与方法目标：在学习随机现象的过程中，提高理解能力，学会举

一反三。

情感态度与价值观目标：激发学习数学的兴趣。

【教学重难点】

教学重点：掌握最简二次根式的特点，能正确进行判断。

教学难点：能灵活选用方法，把二次根式化简为最简二次根式。

【教学过程】

一、导入新课

同学们，下面我们一起观察下列六个现象：①在标准大气压下，把水

加热到100*C,沸腾；②导体通电，发热；③实心铁块丢入水中，铁

块浮起；④同性电荷，互相吸引；⑤买一张福利彩票，中奖；⑥掷一

枚硬币，正面向上；这些现象各有什么特点？如何对其进行分类，分

类的标准是什么呢？

引导学生思考，揭示课题一一随机事件。

二、探究新知

1.确定性现象与随机现象

以提问的形式启发学生思考，参与分类活动，通过分类的过程,揭示：

在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是

确定性现象。在一定条件下某种现象可能发生，也可能不发生，事先

不能断定出现哪种结果这种现象就是随机现象。

2.试验与事件

结合实例，以师生对话的形式，描述现象，在揭示现象中，引出试验

和事件：如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验，而试

验的每一种可能的结果，都是一个事件。

3.深入研究、认识内涵

(1)事件的分类与事件的符号表示：

小组讨论，探索概念内涵中，引出：这种在一定的条件下，必然会发

生的事件叫做必然事件；在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不

可能事件。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事

件。用A、B、C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。

⑵各概念的关系

必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下