2021年河南省中考数学试卷及答案解析

2021年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共3。分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1.（3分）（）

A.2B.-2C.iD.

22

2.（3分）河南省人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到

2.94亿元.数据“2.94亿“用科学记数法表示为（）

A.2.94xi（）7B.2.94x108C.0.294X108D.0.294x109

3.（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

D.120°

6.（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

第1页（共36页）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

7.（3分）者方程/-2;#m=0没有实数根，则m的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.G

8.（3分）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背

面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的

概率是（）

9.（3分）如图，Q048U的顶点0（0,0）,A（1,2）,点U在*轴的正**上，延长

加交P轴子点ZZ将工绕点。顺时针旋转得到-"4,当点。的对应点〃落在

04上时，。4的延长线怆好经过点C则点U的坐标为（）

A.（2G,0）B.（20,0）C.（2V3+1,0）D.（2百+1,0）

10.（3分）如图1,矩形中，点E为员:的中点，点?沿8U从点8运动到点G

设8,"两点间的距离为*,PA-PE=y,图2是点夕运动时，随*变化的关系图彖，则

8c的长为（）

第2页（共36页）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）若代数式*W意义，则实数*的取值范围是.

12.（3分）请写出一个图象经过原点的函数的解析式.

13.（3分）某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货

源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测

得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂

205

204

203

202

201

200

199

198

197

196

14.（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4B.。均在小正方形的

顶点上，目点氏U在油上，N84G22.5°,则%的长为.

15.（3分）小华用一5KM三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在中，N/a?=90°,

第3页（共36页）

N8=30°,AC=1.第一步，在28边上找一点。将纸片沿。折叠，点Z落在4处,

如图2；第二方，将纸片沿or折叠，点。落在〃处，如图3.当点a合好落在原直角

三角形纸片的边上时，线段V的长为

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（1）计算：3-1-J|+（3-V3）0;

化简：（1一1）+，

17.（9分）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,

明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，

从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，井将调查结果用统计图描述如下.

调查问卷

1.近两周你平均每天睡眠时间大约是<JWL

如果你平均每天睡眠时间不足9<J时，请回答第2个问题

2.影响你睡眠时间的主要原因是（单选）.

A.校内^lk负西

B.校外学习任务重

C.学习效率低

D.其他

第4页（共36页）

平均每天睡眠时间统计图

人数影响学生睡眠时间的主要原因统计图

2

100物

1180

1

140130

120

8585

00煞

40

20

5678910睡眠时

间x（时）

平均每天睡眠时间*(时)分为5组：①5三*<6;②6s*<7;(3>7<x<8;④8*<9;

⑤10.

根据以上信息，解答下列问题:

(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第_____(填序号)组，达到9〃对

的学生人数占被

调查人数的百分比为

(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

18.(9分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原，点。重合，边分别与

坐标轴平行，反比例函数片纳图象与大正方形的一边交于点2(1,2),且经过小正

方形的顶点B.

(1)求反比例函数的癣析式；

(2)求图中阻膨部分的面积.

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19.（9分）开凿于1图孝文帝年间的龙门石JS是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中

最大的佛像.某教学活动小组到龙门石窟景区测量这尊傀像的高度.如图，他们选取的

测量点力与佛像8。的底部。在同一水平线上.已知佛像头部8c为4m,在］处测得

佛像头顶部8的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像即的高度（结果精确到

0.1m.参考融：sin37.5°皿61,cos37.5°«0.79,tan37.5°«0.77）.

20.（9分）在古代，誉蕙的劳动人民已经会使用“石唐"，其原理为在唐盘的边缘连接一个

固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动唐盘转动，将粮食会碎，物理学上称这种动力传

输工具为“曲柄连杆机构

小明受此启发设计了一个“双连杆机构，设计图如图1,两个固定长度的“连杆"AP.

8『的连接点『在上，当点?在上转动时，行动点48分别在射线ON,ON

上滑动，OM'ON.当2P与OO相切时，点8恰好落在0。上，如图2.

清仅就图2的情形解答下列问题.

(1)求证：上PAO=24PBQ,

21.(9分)旃猴媾戏是王屋山景区的一大特色，赊猴玩幽E篱物销.小李在某网店选中4

8两款奇猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表:

却！J2款玩偶夕款玩偶

价格

进货价(元/个)4030

销售价(元/个)5645

(1)第一次小李用1100元购进了4夕两款玩得共30个，求两款玩偶各购进多少个.

(2)第二次小李进货时，网店规定工款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一

半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方冠才说得最大利润，最大利润

是多少？

(3)小李第二^货时采取了(2)中设计的方靠，并且两次购进的玩偶全部售出，请

从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

利润

(注：利润率=上\100%)

就

22.(10分)如图，抛物线卜与直线卜=相交于点工(2,0)和点反

(1)求m和Z?的值；

(2)求点8的坐标，并结合图象写出式岸+〃7*>-*+6的解集；

(3)点例是直线26上的一个动点，将点例向左平移3个单位长度得到点N,若线段

例/V与抛物线只有一公共点，直接写出点例的横坐标xM的取值怠围.

第7页(共36页)

23.(10分)下面是某数学兴趣小组操究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，清仔

细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,(1)分别在射线04,09上截取0c=。。，(9£=OFC,£不

重合)；(2)分别作线段G。尸的垂直平分姓4,b,交点为月垂足分别为点G,

H：(3)作射找OP,射线。即为/ZO8的平分线.

简述理由如下：

由作图知，4PGO=KPHO=900,06=OH,OP=OP,所以Rt二PG6RHZWO,

典)々POG=4POH,即射线。夕是NZO8的平端.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,⑴

分别在射线04,08上截取OC=OD,OE=OF(点C*£不重合)；(2)连接。£

CF,交点为P：(3)作射线射浅即为N/O8的平分线.

g：

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(1)小明得出Rt工。的依据是______(填序号).

①SS兔)外卷A4卷工必⑤“Z

(2)小军作图得到的射线8是NZO8的平分线吗？清判断并说明理由.

(3)如图3,已知〃08=60。，点E,尸分别在射线OA,OB上,且OE=OF=V3+1.点

C,。分别为射线04,08上的动点，aOC=OD,连接。£CF.交点为「，3/CPE

=30阳，直接写出线段OC的长.

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2021年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共3。分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1.（3分）・2的绝对值是（）

A.2B.-2C.-D.-I

22

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.

【解答】解：-2的绝对值是2,

即|-2|=2.

A.

【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反

数；

2.（3分）河南省人民济困最“给力”！据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到

2.94亿元.数据“2.94亿“用科学记数法^示为（）

A.2.94X107B.2.94x108C.0.294X108D.0.294x109

【分析】科学记数法的表示形式为3x10〃的形式，其中1引目＜10,n为僦^确定〃

的值时，要看把原数变成d时，小数点移动了多少位，/7的绝对值与〃、数点移动的位数

相同.

【解答】解：2.94亿=294000000=2.94x108,

550^:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定3的值以及〃的值.

3.（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

第10页（共36页）

/正面

有三个正方形，且左边是对齐的.

【癣答】解：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，

最下面有三个正方形，且左侧是对齐的，

巡：A.

【点评】本题主要考查三视图的定义.，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象

能力.

4.(3分)下列运算正确的是()

A.(-a)2=-/B.24-/=2

C.输a=/D.(3・1)2=y-1

【分析】A.根据幕的乘方运算法则判断；

B.根据合并同类项法则判断；

C.根据同底数写的乘法法则判断；

D.根据完全平方公式判断.

【解答】解：A.(-a)2=/,选题意；

8.2/-

C.九二/，5^幽?

第11页(共36页)

D.（a-1）2="・2S+1,故本选项不符合题S;

c.

【点评】本题考有了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及易的乘方，掌握相关

公式与运算法则是解答本题的关键.

5.（3分）如图，awb,z1=60°,则N2的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】先根据图得出N2的补角，再由3H6得出结论即可.

【解答】解：由图得N2的补角和N1是同位角，

•.z1=600且awb,

/.z1的同位角也是60°,

z2=180°-60°=120°,

趣：D.

【点评】本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的

三个性质一定要牢记.

6.（3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A.四条边相等B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答哀.

【解答】解：）.菱形的四条边相等，正确，不符合题意，

B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，

第12页（共36页）

C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，

D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，

B.

【点评】本题考查菱形的性质，拿形的基本性质并能正确分析推理是蟀题的关

犍.

7.（3分）者方程f-"6=0没有实数根，则6的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.V3

［分析］根据根的判另U式和已知条件得出"（-2）2-4X1X/77=4-4/77<0,求出不

等式的解集，再得出答冥即可.

【解答】解：•.关于*的方程f-2jr+m=o没有实数根，

/.△=（-2）2-4x1x/n=4-4/77<0,

解得：/77>1,

..6只能为V3,

D.

【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次和式,注意：已知一元二次方程a>+bx+c

=0（凤b、c为常数，左0）,①当△="-4%>0时，方程有两个不相等的实数根，

②当a="-4"=0时，7^有两实^m,③当3=凡4"<0时，75®殳有

实数根.

8.（3分）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背

面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图索恰好是“天问"和“九章"的

概率是（）

第13页（共36页）

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图靠恰好是“天问”和“九

章”的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把4张卡片分别记为：4B、CD,

画树状图如图：

开始

木木久为

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，两张卡片正面图索恰好是“天问"和"九章"的结果有2种，

.•・两张卡片正面图案恰好是“天间“和“九章”的概率器=

A.

【点评】此邈考查的是列表法或树状图法求概率以及慨率公式.列表法可以不重要不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成

的事件.

9.（3分）如图，QC48U的顶点0（0,0）,A（1,2）,点U在*轴的正半轴上，延长

以交卜轴于点。.将二004绕点。顺时针旋转得到乙。，4,当点。的对应点〃落在

OA上时，的延长线怆好经过点C,则点C的坐标为（）

第14页（共36页）

A.(2V3,0)B.(275,0)C.(2V5+1,0)D.(2百+1,0)

【分析】延长4〃交y轴于点£延长〃4,由邈意。4的延长线经过京C利用点4

的坐标可求得线段2。OD,CM的长，由题总：^-OAD^OAD.可得对应部分相等；

利用”。4平分/4。£可得二4。£为等腰三角形，可得。£=。4'=隗，ED

=4〃=1;利J用LORSAWO,得到比例式可求线段OG则点U坐标可得.

【解答】解：延长4。交卜独于点E,延长DA,由题意的延长点C,如图，

.'.AD=1,OD=2,

:.OA=yJAD2+OD2=Vl2+22=VS.

由题意：△OAD^OAD,

:.AD=AD=y,OA=OA=Vs,0/7=09=2,N4〃O=N47O=90。，N4OZ7=N

DOD.

则OZ7J_4£平分N4O£

.14W为等腰三角形.

:.OE=OA=0ED=AD=3

:EO^OC.ODA.EC,

第15页(共36页)

:.3OED—CEO.

ED,EO

*',OD7=OC'

■=匹

**2-'OC'

.-.OC=2V5.

：.C(2V5,0).

B.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形

相似的判定与性质，利用点的坐标表示出日联段的长度和利用线段的长度表示相应点

的坐标是癣题的关键.

10.(3分)如图1,矩形28。中，点£为灰:的中点，点夕沿6c从点8运动到点c

设B.『两点间的距离为X.PA-PE=y,图2是点夕运动时卜随x变化的关系图象，则

为()

A.4B.5C.6D.7

【分析】当*=0,即/在8点时，BA-BE=1：利用两点之间线段最短，得到PA-PE

<AE,得y的最大值为Z£=5;在《二49£中，由勾股定理求出夕£的长，取触夕U=

2%求出8c的长.

【瞬答】解：由函数图象知：当*=0,即『在8点时，BA-BE=、.

利用两点之间线段最短，得到必-?代4£

的最大值为AE,

第16页(共36页)

:.AE-5.

在中，由勾股定理得：B4》BE=AE=2S,

设力的长度为t,

贝UBA=M,

.・.（41）2+Z2=25,

即：,+r-12=0,

・•.（a4）（f-3）=0,

由于t>0,

.,&4>0,

.*.t-3=0,

.\f=3.

:.BC=2BE=2t=2x3=6.

c.

【点评】本题考查了动点问翅的因数图象，根据勾股定理求出夕£的长是解题的关键.

二填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）言代数式占有意义，则实数*的取值范围是冲1.

【分析】分式有意义时，分母*-1户0,据此求得x的取值冠围.

【解答】癣：得：*-1肛

解得台1,

故答案为：K1.

【点评】本题考查了分式有意义的条件.（1）分式有意义的条件是分母不等于零.（2）

分式无意义的条件是分母等于零.

第17页（共36页）

12.（3分）请写出f图级经过原点的函数的解析式y=*（答靠不唯一）.

【分析】图象经过原点，要求解析式中，当*=0时，y=0,只要是正比例函数解即可.

【解答】解：依题意，正比例函数的图彖经过原点，

如歹=”（答案不唯一）.

故答案为：y=x（答宾不唯一）.

【点评】本题考查了正比例国数的性质和二次函数的性质，正比例国数的图啥过原点,

二次函数的图象也可哙过原点，写出一个即可.

13.（3分）某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货

源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测

得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂

205

204

203

202

201

200

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198

197

196

【分析】由于平均质量相同，根据图中所示两组捌g波动大小可得两组助g的方差，波

动越小，方整理h越稳定.

【解答】解：从图中圻线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，

所以乙的方差大于甲的方差，

因为方差越d',表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，

所以产品更符合规格要求的厂家是甲.

第18页（共36页）

故答泰为：甲.

【点评】本题考查了平均数与方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方

差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，

表明这组痢g分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越＜h,数据越稳定.

14.（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,京4B,。均在小正方形的

顶点上，且点8,C在油上，N34U=22.5°,则比的长为学.

-4-

【分析】如图，圆心为O,连接OA,03,OC,OD.利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，圆心为。连接OA,03,OC.OD.

O

•.04=08=0/?=5,N8QC=2N84c=45°,

457rx5Sn

.•.BC的长=

-7-.

4

［点评］本邈考查弧长公式，解邂的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考堂考蚪型.

15.（3分）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在Rtd/18c中，〃C8=90。,

N8=30°,AC=1.第一步，在28边上找一点。将纸片沿。折叠，点力落在4处,

如图2;第二步，将纸片沿0r折叠，点。落在〃处，如图3.当点〃恰好落在原直角

第19页（共36页）

三角形纸片的边上时，线段4〃的长为3或2二O.

图1图2图3

【分析】分两种情形解答：①点。恰好落在直角三角形纸片的48边上时，由题意：△

ADG&^ADG^^ADC,则N〃4C=N3U=N2=60°,AC=AC=1;4c垂直平*

段DD;利用S^sc=*"•BC=暴8•CE,可求得G贝U4£=4C-G解直角三

角形4。硝求线段O;②点。恰好落在直角三角形纸片的女;边上时，由题意：△

AD（k-AD^ADC,则/〃4U=NZ?4U=〃=60。，4U=/U=1,ZACD=^ACD

=^AC£7=J^AC3=30°;在RH4Z7U中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可

仑.

【解答】解：①点£7恰好落在直角三角形纸片的49边上时，设4U交Z5边于点£

如图，

由题意：'AD&AD6ADC,4U垂直平分线段由.

则N〃/'U=ND4U=N4=60°,AC=AC=y.

\^ACB=9Q°,N8=30°,AC=1t

:.BC=AGXanA=1xtan600=\[3.

AB=2AC=2,

第20页（共36页）

•；SAABC=jAC-BC=-AB•CE,

：.CE=^.

.'.AE^AC-GF=1一容

在Rt"l"£中，

*.,coszDA£=*言;,

AE1

.'A'D'=2*

.-.A£7=Z4£=2-V3.

②点〃恰好落在直角三角形纸片的吕U边上时，如图,

B

A

由4AD9ADaADC,^ACD=^ACD=^.ACD=^AC3=30";

贝!UZ7/'U=NOTC=N/=60。，AC=AC=1.

•.N〃4U=60°,ZA6Z7=30\

:MDC=90°,

.•.AZ7=14*（^=ixl=1.

综上，线段的长为：•或2-0.

故答取J：3或2-V5.

【点评】本邈主要考查了翻折问题，含30。角的直角三角形，直角三角形的边角关系，

特殊角的三角函数值，全等三角形的性质.翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解

题的关键，当点。恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

第21页（共36页）

16.CIO分)(1)计算：3-1_《+(3-V3)°;

1Zr—2

(2)化筒：(1一6十安.

【分析】(1)直接利用负速骑数幕的性质以及算术平方根、零指数幕的性质分别化简

得出答案；

(2)将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则化简得出答案.

【解答】嘛(1)原式=；-寺+1

x-l_/

(2)~2(x-l)

x

=!­

【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握分式的混合运算法则

是解题关键.

17.(9分)2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的则》,

明确要求初中生每天睡眠时间应达到9〃例.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，

从本校学生中随机抽取500名进行问卷洞查，并将调叁结果用统计图描述如下.

调查问卷

1.近两周你平均每天睡眠时间大约是___小时.

如果你平均每天睡眠时间不足9，」往L请回答第2个问题

2.影响你睡眠时间的主要原因是(单选).

A.校内课业负担重

B.校外学习任务重

C.学习效率低

第22页(共36页)

D.其他

平均每天睡眠时间统计图

间工（时）

平均每天睡眠时间X（时）分为5组：①5«*<6;②6«*<7;③7*<8;④8"<9;

（5）9<x<10.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次堀查中，平均每天睡眠时间的中位^酒在第③（填序号）组，达到9小

时的学生人数占被

调查人数的百分比为17%;

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；

（2）求出每天睡眠时间达到9小时的学生人数，计算即可.

【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第

250个和第251个数据的平均数，

故落在第③组；

睡眠达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为：爵x100%=17%,

故答案为：③，17%.

（2）答案不唯一，言之有理即可.

例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简

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家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班,

校夕陶I导机构严禁布置课后作业.

【点评】本题考查的是献分布直方图和扇形统计图的知识，读房顷数分布直方图和利

用统计图获取信息是弊题的关键.

18.(9分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原，点。重合，边分别与

坐标轴平行，反比例函数片钿图象与大正方形的一边交于点/(1,2),且经过小正

方形的顶点B.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求图中阻影部分的面积.

【分析】(1)根据待定系数法求出攵即可得到反比例函数的解析式；

(2)先根据反比例函数系数攵的几何意义求出小正方形的面积为4疗=8,再求出大正

方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4x22=