2024年高考数学复习：12 正余弦定理与解三角形小题归类1（原卷版）

12正余弦定理与解三角形小题1【题型一】解三角形基础：角与对边【典例分析】的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2−sin2A． B． C． D．4【提分秘籍】基本规律1.角与角所对应的边长已知2.一般情况下，对称型多用余弦定理。3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”【变式演练】1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为A． B． C． D．3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【题型二】判断三角形形状【典例分析】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【提分秘籍】基本规律1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角2.判断边或者角的大小。【变式演练】1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形但一定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对【题型三】最值与范围1：先判断角【典例分析】锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。【变式演练】1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A． B． C． D．2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是A．−1,3 B．1,3C．(2,33.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC+A．(12,2) B．(33,【题型四】最值与范围2：余弦定理【典例分析】在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+A．2 B．4 C．25 D．【提分秘籍】基本规律1.余弦定理两种基本形式：（1）；（2）2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件【变式演练】1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sinA=2sinBsinC，则cb+bc取得最大值时，内角A． B．π4 C． D．2.满足条件的三角形的面积的最大值是A． B． C． D．3.,则的最大面积为A．3 B． C．2 D．无法确定【题型五】最值与范围3：辅助角【典例分析】在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.正余弦齐次式（同角一次式）2.引入变量，构造辅助角，借助正余弦有界性求解【变式演练】1.若面积为1的满足，则边的最小值为（）A．1 B． C． D．22.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为A． B． C． D．【题型六】最值与范围4：均值不等式【典例分析】锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【提分秘籍】基本规律1.余弦定理形式可以用均值。一般式对称构造2.其他形式中边的关系可以用均值【变式演练】1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（）A． B．2 C． D．42.在锐角中，角，，的对边分别为，，(a>b>c)，已知不等式1a−b+1b−c≥ta−c恒成立，则当实数t取得最大值T时，TcosA．0,125 B．2,125 C．3.已知的面积为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【题型七】最值与范围5：周长最值【典例分析】已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.角与对边型：正弦定理2.对称边，可以余弦定理+均值不等式【变式演练】1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（）A． B． C． D．2.在中，角所对的边分别为，若sinA+cos(A+π6)=32，b+c=4A．[6,8) B．[6,8] C．[4,6) D．(4,6]3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（）A． B． C． D．【题型八】面积1:消角【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.已知或者求出一角，则可以利用另外俩角和定值来消角2.广义消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函数值，可以利用两角和的正余弦来“消角”【变式演练】1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）A． B． C． D．2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．【题型九】面积2：正切代换【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）．A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.正余弦齐次式，可以正切代换2.万能公式形式也可以正切代换【变式演练】1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）A． B． C． D．2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【题型十】最值与范围6：建系设点【典例分析】已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点2.利用正余弦平方形式可以建系设点3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等。可以适当的建系设点【变式演练】1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）A．4 B． C．6 D．2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点,分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠BAC=90°,AB=AC=4,那么,两点间距离的A．最大值是42,最小值是4 B．最大值是8,最小值是C．最大值是42,最小值是 D．最大值是8,最小值是【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围【典例分析】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：1.切化弦2.在三角形中，有【变式演练】1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcos3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【题型十二】图形1：中线【典例分析】以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（）A． B．C． D．前三个答案都不对【提分秘籍】基本规律1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理2.中线可延伸补形得平行四边形【变式演练】1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是A． B． C．[ D．2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（）A． B． C． D．3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（）A． B． C． D．【题型十三】图形2：角平分线【典例分析】在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系2.角平分线也是两边的“对称轴”3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用【变式演练】1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为（）A．4 B． C．6 D．2.如图所示，在，已知∠A:∠B=1:2，角的平分线把三角形面积分为3:2两部分，则cosA等于A．13 B． C．34 D．3.在中，，M为边上的一点，且BM=2，若BM为的角平分线，则2AM−1CM的取值范围为A．−32,C．−12,【题型十四】图形3：高【典例分析】.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.一般给高，基本就与求面积联系起来2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值【变式演练】1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（）A． B．C． D．【题型十五】图形4：四边形【典例分析】在平面四边形中，，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律1.四边形可以“劈成”俩三角形。2.四边形可以“补成”三角形【变式演练】1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（）A．27 B．16 C．10 D．252.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（）A． B． C． D．3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3 B．4 C． D．模拟题1.锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.(河南省开封市五县2021-2022学年上学期期中联考数学试题)已知的三个内角所对的边分别为，满足cos2A−cos2B+cos2C=1+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为150∘的等腰三角形 D．顶角为1203.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于()A． B． C． D．5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（）A． B．C． D．6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（）A． B． C． D．7.(安徽省六安市第二中学2022届高三上学期第三次月考数学试题)在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（）A． B．2 C．1 D．9.(甘肃省兰州第一中学2021-2022学年上学期数学试题)在中,B=30∘,BC=3,AB=23,点在边上,点B,C关于直线的对称点分别为B',C'A．9−332 B．637 C．10..在中，分别是角的对边，若，则的值为（