专题1.27 全等三角形作辅助线方法（截长补短）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.27全等三角形作辅助线方法（截长补短）（综合练）【知识与方法】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.一、填空题1．如图，已知在中，平分，，则.（用含的代数式表示）.2．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为．3．如图，为等边三角形，若，则（用含的式子表示）．二、解答题4．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O.（1）请求出的度数;（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由;5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

6．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．

7．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．(1)求的度数；(2)若，，求的长．8．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．(1)求∠APC的度数；(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．9．如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．12．如图在中，，、分别是、的平分线，、相交于点．（1）请你判断并写出与之间的数量关系；（2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．13．如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，．求证：．14．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形状，并说明理由.（2）求证：15．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．(1)请完成下题的证明过程：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC．证明：在AC上截取AE=AB，连接DE．(2)如图，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．16．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．17．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.18．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；(2)求证：AB＝DG+FC．19．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．21．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．参考答案1．a-b【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.解：在CB上截取CA′=CA，连接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案为：a-b.【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2．/【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．/【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解．解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案为：【点拨】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（1）；（2）BE+CP=BC，理由见分析．【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论；（2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论；解：（1）∵，，∴为等边三角形，∴∠ACD=，∵，∴∠BAC=∠ACD=；（2）BE+CP=BC，理由如下：在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示：∵BP、CE是△ABC的两条角平分线，∴∠OBE=∠OBM=∠ABC，在△BEO和△BMO中，，∴△BEO△BMO(SAS)，∴∠BOE=∠BOM=60，∵BP、CE是△ABC的两条角平分线，∴∠OBC+∠OCB=在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180，∵∠BAC=60，∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120，∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120，∴∠BOE=60，∴∠COP=∠BOE=60∵△BEO≌△BMO，∴∠BOE=∠BOM=60，∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60，∴∠COM=∠COP=60，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠OCM=∠OCP，在△OCM和△OCP中，∴△OCM≌△OCP（ASA），∴CM=CP，∴BC=CM+BM=CP+BE，∴BE+CP=BC．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键．5．证明见分析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．解：证明：，，、分别平分、，，，，，，如图，在上截取，连接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．6．见分析【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．解：在上取点F，使

∵，分别是，的平分线∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．7．(1)；(2)10【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；（2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题．解：、分别为的角平分线，，，，；（2）解：在上截取，连接．、分别为的角平分线，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．8．(1)120°；(2)8【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．解：∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°，∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°；（2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，AF=AE，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA）∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．【点拨】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键．9．（1）120°；（2）见分析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD=AB．解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．10．证明见分析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．解：延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．11．见分析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．解：证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．12．（1）；（2），见分析【分析】（1）在上截取，利用SAS证出，从而得出，，然后利用ASA证出，从而得出，即可得出结论；（2）根据（1）中两个全等三角形可得，，从而证出结论．解：（1）与的关系是，在上截取，

、分别是、的平分线，，在△AEF和△AHF中，，∵∠B=60°∴∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120°∵、分别是、的平分线，∴∠FAC＋∠FCA=＋==60°∴180°－（∠FAC＋∠FCA）=120°，=∠FAC＋∠FCA=60°，，，在△CFH和△CFD中，，（2）理由：由（1）知：，，，即【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．13．详见分析【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关系即可得答案．解：在AC上截取AE=AB，连接PE，∵AD平分，∴．在和中，∴．在中，，∵，AE=AB，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．14．（1）△AEB为直角三角形，理由见分析；（2）见分析.【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；（2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证解：△AEB为直角三角形，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC，∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，∴∠AEB=180°−90°=90°,∴△AEB为直角三角形；(2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠DAE，在△ADE和△AFE中,，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠AED=∠AEF，∵AE⊥BE，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF，又∵在△BFE与△BCE中,∴△BFE≌△BCE(AAS)，∴BF=BC，∵AB=AF+BF，∴AB=AD+BC.【点拨】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键.15．(1)证明见分析；(2)证明见分析；【分析】（1）在AC上截取AE=AB，连接DE，证明，得到，再证明ED=EC即可；（2）先过E作，交于，则，，因为EA、EB分别平分和，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD在△AED和△ABD中，∴△AED△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，∵∠B=2∠C∴∠AED=2∠C，又∵∠AED为△CED的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED∴EC=BD，∴AC=AE+EC=AB+BD．（2）在AB上截取AF=AD，连接EF∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠FAE又∵AE=AE，AF=AD∴△DAE△FAE（SAS）∴∠D=∠AFE∵∴∠C+∠D=180º∵∠AFE+∠BFE=180º∴∠BFE=∠C又∵∠FBE=∠CBE，BE=BE∴（AAS）∴BF=BC∴AB=AF+BF=AD+BC．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，此题利用了全等三角形常见的辅助线中的截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题的最常见解法，注意熟悉掌握．16．(1)见分析；(2)；(3)，理由见分析【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．解：（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，∴，∵E是边的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∵正方形外角的平分线为，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵点，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，由（1）得，∴，∴，∴，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，延长至点，使得，连接，由正方形基本性质得：，，∴，∴，，由（1）知，，且，∴，∴，∴，即：，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．17．(1)；(2)，证明见分析【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解；（2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解．解：．理由为：在上截取，连接，如图②所示，∵为的平分线，∴，在和中，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，则；（2）解：．理由为：在上截取，连接，如图③所示，∵为的平分线，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，则．【点拨】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．(1)；(2)见分析【分析】（1）先由，在中，求得，由平分，则，由，则，从而有，得出，再根据即可求得；（2）延长至，使，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，，结合（1）中结论及利用外角的性质得出，根据等角对等边得出，由此即可证明．（1）解：在中，，，，∴，∴，在中，，．，∵，平分，，，，；（2）证明：如图所示：延长至，连接，使，在和中，，，，由（1）可得：，，即，，即．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键．19．(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见分析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．20．（1）见分析；（2）3【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出M