第1章 反比例函数（单元测试·培优卷）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

第1章反比例函数（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·黑龙江·七年级校考期末）下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（

）A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y2．（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）两个反比例函数和，且，交点个数为（

）A．0 B．2 C．4 D．无数个3．（2023春·江苏·八年级期末）已知三个点都在一个反比例函数的图象上，其中，则a的取值范围是（）A． B．或 C． D．或4．（2023春·浙江温州·八年级校考期末）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（）A．B．C． D．5．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（

）

A． B． C． D．6．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．47．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（

）

A． B． C． D．8．（2021·山东临沂·统考二模）对于反比例函数（为任意实数），下列说法正确的是（

）A．随的增大而增大 B．图像是轴对称图形，对称轴只有一条是直线C．当时， D．当时，9．（2022秋·九年级单元测试）已知函数y＝（m＜0），以下结论中正确的有（）个．①图象位于一，三象限；②若点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，则a＜b；③对于不同的m值，反比例函数的图象可能会相交；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．A．4 B．3 C．2 D．110．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图1，这是一个电子体重秤，可变电阻可随着人的质量的变化而变化；在图2的电路图中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，则（伏）关于（欧）的函数解析式为（

）

A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）如图，把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线（实线部分），新的双曲线与y轴的交点为．12．（2022·浙江温州·统考一模）若A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例图像上的两点，则线段AB的长为．13．（2022·山东青岛·统考二模）写出一个具有性质①②的函数．①当时，；②当时，的值随值的增大而在增大．14．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则．

15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，（1）若点B（0，2），则；（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则．16．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知反比例函数的图象经过二、四象限．（1）点在第象限．（2）若点，是反比例函数图象上两点，则的大小关系是．（用符号“”连结）17．（2022秋·山东东营·九年级校联考期中）如图，，，，，，在轴上，纵坐标分别是1，2，3，4，，，分别过，，，，，作轴的平行线，交函数的图象于，，，，，以，，，，，为边向下作平行四边形，其中，在轴上，，在直线上，，在直线上，，在直线上，，，，在直线上，每个平行四边形的锐角都是，则的面积是．（用n表示）

18．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，矩形的两边与分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上．反比例函数与分别交于，两点．点为上一点，P到直线的距离不大于3，则点P的横坐标m的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023秋·九年级课时练习）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．20．（8分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．

(1)求反比例函数的解析式．(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．21．（10分）（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围；(3)求得面积．22．（10分）（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形且点，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点A，在反比例函数的图像上．

(1)证明：是等边三角形，并求的值；(2)设，，，是双曲线上的四点，，，试判断，的大小，说明理由．23．（10分）（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．

(1)求图中点A的坐标；(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．24．（12分）（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．(1)使用“描点法”作出函数的图象．列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．x…0234……0432…描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图，请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来：

(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y随x的增大而．（填写“增大”或“减小”）②函数的图象关于点中心对称．（填写点的坐标）③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：．(3)若直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n，则．(4)我们将第（2）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标．参考答案1．D【分析】根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系．【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；C、，即，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；D、，即，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意；故选D．【点拨】本题主要考查了反比例关系，比例的性质，熟知反比例函数的关系的定义是解题的关键．2．A【分析】分m、n符号相反和m、m符号相同两种情况讨论，即可求解．【详解】解：两个反比例函数y=和y=，且，当m、n符号相反时，双曲线不在同一象限，故没有交点；当m、m符号相同时，∵m≠m≠0，∴≠，故没有交点；综上，两个反比例函数y=和y=，且，交点个数为0，故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数的意义，解题时，要注意“分类讨论”数学思想的应用．3．D【分析】根据三个点在一个反比例函数上，可知，再根据，可知，进而得出反比例函数的比例系数，然后根据反比例函数的性质，分和，两种情况进行讨论即可得解．【详解】解：设三个点都在一个反比例函数的图象上，则：，∴的符号相反，又∵，∴，∴，∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，∴当时，；当时，；综上：或．故选：D．【点拨】本题考查比较反比例函数的函数值大小，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．4．A【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论．【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，∴，∵当时，，∴，∴，∴，∴电流I与电阻R成反比例函数关系，故答案A符合题意，答案B是一次函数，故不符合题意，答案C是正比例函数，故不符合题意，答案D是二次函数，故不符合题意，故选：A．【点拨】本题考查实际问题与函数图象．解题的关键是确定电流I与电阻R成反比例函数关系．5．A【分析】连接，根据即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：

四边形与四边形都是正方形，，，，，．故选：A．【点拨】本题考查了正方形的性质、反比例函数k的几何意义，证明是解决问题的关键．6．C【分析】根据双曲线和直线的中心对称性质和平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，结合图形即可得到答案．【详解】∵双曲线和双曲线是关于原点O对称的中心对称图形，直线和直线是关于原点O的中心对称图形，∴∴四边形为平行四边形，故①正确，符合题意；∵如图双曲线在双曲线的内侧，∴以为圆心，为半径作圆，交双曲线于两点，∴，∵四边形为平行四边形，∴,∴，∴四边形为矩形，故②正确，符合题意；∵A，B两点都在第一象限，∴,∵四边形要想成为菱形和正方形，对角线都需要互相垂直即，∴四边形不可能是菱形和正方形，故③不正确，不符合题意，④正确，符合题意．故选：C

【点拨】本题考查了双曲线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定和正方形的的判定等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．7．D【分析】设点A的坐标为，根据平行四边形边的性质可表示出点D的坐标为，从而表示出，，因此可判断各选项．【详解】∵点A是一次函数图象上一动点∴设点A的坐标为∵在中，，即可以看做由平移得到∵，∴点D的坐标为∵反比例函数和的图象分别经过点，∴，∴A选项：，不是定值；B选项：，不是定值；C选项：，不是定值；D选项：由于，，，是定值．故选：D【点拨】本题考查求反比例函数的比例系数k，二次根式的化简，设点A的坐标，表示出点D的坐标是解题的关键．8．D【分析】根据反比例函数的增减性和对称性确定A、B错误，把x=-1代入函数解析式判定C错误，根据反比例函数的增减性判定D正确.【详解】解：∵t2≥0，∴t2+1＞0，即-t2-1＜0，故图象在每个象限内y随x的增大而增大，A错误；当y=-t2-1时，x=，当y=时，x=，根据图象在每个象限内y随x的增大而增大知1≤x≤2，D正确；反比例函数图象的对称轴有2条y=x或y=-x，故B错误；当x=-1时，y=≥1，故C错误，故选：D.【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，注意函数图象增减性的变化的前提条件是在每个象限内，这个是学生的易错点.9．D【分析】根据m的符号则可判断①；根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断②，根据反比例函数的性质即可判断③，根据反比例函数的系数m＝xy即可判断④．【详解】解：∵函数y＝中，m＜0，∵图象位于二，四象限，故①错误；∵点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，∴点A（﹣1，a）在第二象限，点B（1，b）在第四象限，∴a＞b，故②错误；对于不同的m值，反比例函数的图象不会相交，故③错误；若点P（x，y）在图象上，则m＝xy，∵﹣x•（﹣y）＝m，∴点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．故④正确；故选：D．【点拨】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．10．D【分析】由可变电阻两端的电压=电源电压电表电压，可得可变电阻电压，结合，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，可得，再整理代入数据即可．【详解】解：由题意得：可变电阻两端的电压=电源电压电表电压，即：可变电阻电压，∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴．化简得：，∵，∴．故选D【点拨】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．11．【分析】先根据平移的性质得出双曲线的解析式，再把代入求得y的值，即可求得新的双曲线与y轴的交点．【详解】解：把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线：，令，则，∴新的双曲线与y轴的交点为；故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟知左加右减的平移规律是解答此题的关键．12．【分析】根据反比例函数图像上点的特征得到a(a+5)=b(b-5)，推出a-b=-5，再利用两点之间的距离公式即可求得线段AB的长．【详解】解：∵A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例图像上的两点，∴a(a+5)=b(b-5)，整理得：b2-a2=5(a+b)，∵ab，∴a-b=-5，∵AB2=(a-b)2+(a+5-b+5)2=2(a-b)2+20(a-b)+102=2×25-100+100=2×25．∴AB=5(负值已舍)．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的特征，两点之间的距离公式，根据反比例函数图像上点的特征求得a-b=-5是解题的关键．13．（答案不唯一）【分析】根据条件直接写一个满足条件的函数解析式即可．【详解】解；若此函数是反比例函数时，当x=-3，y=3，则k=-9，则y=-，且满足当时，的值随值的增大而在增大．故函数-．故答案为：－（答案不唯一）．【点拨】本题属开放性题目，考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14．10【分析】过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果．【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，∵轴，轴，∴，又∵F为的中点，，∴，∵轴，，∴，∴，∴，∴，即，∴．

【点拨】本题考查三角形的中位线的性质、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．28【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；（2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2），则：，，过点作轴，交轴于点，则：为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；故答案为：2；（2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5），则：，，过点作，则：，∴，∴，∴，整理，得：，解得：或（不合题意，舍掉），把代入，得：，∵，∴，∴，∴；故答案为：8．【点拨】本题考查反比例函数，以及旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，确定点的坐标，是解题的关键．16．四b>c>a【分析】（1）根据反比例函数的图象经过二、四象限可知k＜0，再根据反比例函数的性质进行判断即可；（2）根据反比例函数的图象在二四象限可得点A、B在第二象限，再根据反比例函数的性质可得a-b与a-c的大小，即可求解．【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴-k＞0，∴点P（-k，k）在第四象限，故答案为：四；（2）∵k＜0，点A（a-b，3），B（a-c，5），∴反比例函数，y随x的增大而增大，点A、B在第二象限，∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，∴a＜b，a＜c，b＞c，∴b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象判断出k的取值范围是解答此题的关键．17．【分析】根据点，，，，，的纵坐标和反比例函数，可以求出、、、的坐标，进而可以求出每个平行四边形的底和高，求出各个平行四边形的面积，通过找规律得出答案；由题意可知，每个平行四边形的高都是1，只要求出底就可以了，即求出、、、的长度即可．【详解】解：把、2、3、4、分别代入得：、、、，、、、、、，、、、、、，又因为这些平行四边形的高都是1，所以：这些平行四边形的面积为：4、2、、、、．故答案为：．【点拨】主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识；运用数形结合、反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质求出平行四边形的底和高，进而求出面积，得出答案．18．【分析】先求出反比例函数解析式，再根据图象确点P的横坐标m的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数与分别交于，两点，∴，解得，，点的坐标为，点的坐标为，∴反比例函数解析式为当时，，此时，P到直线的距离等于3，当点P和点重合时，P到直线的距离等于3，所以，点P的横坐标m的取值范围是，故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是求出反比例函数解析式及点坐标．19．(1)；(2)(3)或【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；（2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可；（3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可．【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，

把代入得：；（2）解：当时，；当时，，根据图象得：当时，y的取值范围为；（3）解：当时，；当时，，根据题意得：当且时，x的取值范围为或．【点拨】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．20．(1)(2)【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到，推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可；（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，进而得出，即得，即可求解．【详解】（1）作轴于点G，如图，

∵轴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴矩形是正方形，

∴，∵，，∴，设，则，解得：，∴，∴点C的坐标为，代入，得；∴反比例函数的解析式为；（2）∵，，∴，∵，，∴，∵轴，∴，∵平分，∴，

∴，∴，∵，∴，∴点F的坐标是．【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．21．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据反比例函数的图象过，，可求得点，的坐标，将点，的坐标代入，即可求得答案．（2）表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，据此即可求得答案．（3）设直线与轴，轴分别交于点，点，根据，即可求得答案．【详解】（1）因为反比例函数的图像过点，得．解得：．所以，点的坐标为．同理可得，点的坐标为．因为一次函数的图象过点，，得：．解得：．所以，一次函数解析式为．（2）根据题意可知，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，此时或．（3）如图所示，设直线与轴，轴分别交于点，点，可求得点的坐标为，点的坐标为．

．【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．22．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由旋转性质可得，即可证明是等边三角形，从而求出，即可求出的值；（2）先求出，代入，，即可求出．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，由旋转可知：，，∴，即，∵，∴，∴是等边三角形．由题可知，∵经过点，点A，在反比例函数的图像上，由反比例函数中心对称性，可得，过点A作轴重线，垂足为，∵是等边三角形