一元二次方程与四边形重点复习

李想21．：关于的一元二次方程．〔1〕求证：无论为何值，此方程总有两个实数根；〔2〕假设为此方程的一个根，且满足，求整数的值．〔1〕证明：20．：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．〔1〕求证：△ABE≌△FCE；〔2〕假设AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．证明：〔1〕12.如图，△ABC中，BC＝18，假设BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，假设ED＝10，那么FG的长为 A. B.9 C.10 D.无法确定20.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，那么PM＋PN的最小值为__________。26.〔6分〕如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。〔1〕求证：∠APB＝∠BPH；〔2〕求证：AP＋HC＝PH；〔3〕当AP＝1时，求PH的长。27.〔6分〕如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，假设∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明。20．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且BE=DF连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕假设AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．22．：关于x的方程〔〕．〔1〕求证：方程总有两个实数根；〔2〕如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．〔1〕证明：21．关于x的方程．〔1〕求证：方程总有两个不相等的实数根；〔2〕如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一根．〔1〕证明：8．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，那么△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是19.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.〔1〕求的取值范围；〔2〕假设为正整数，且该方程的根都是整数，求的值.22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF=BO，且AE=6，AD=8.〔1〕求BF的长；〔2〕求四边形OFCD的面积.24．把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．〔1〕如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接写出结论；〔2〕如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在〔1〕中得到的两个结论还成立吗？假设成立，请加以证明；假设不成立，请说明理由．

图1图227．：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动〔点A，D都不与原点重合〕，顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．〔1〕当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；〔2〕当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；〔3〕设点P到y轴的距离为，那么在点A，D运动的过程中，的取值范围是________________．〔2〕证明：〔3〕答：在点A，D运动的过程中，的取值范围是__________________________．27．解：〔1〕()，；------------------------2分阅卷说明：每空1分．图3证明：〔2〕过点P作PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N．图3〔如图3〕∵四边形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．∵PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．----------3分在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．-----4分∴OP平分∠DOA．---------5分≤．-----------6分22.解：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝180°—∠BAD＝90°.在Rt△EAD中，∵AE＝6，AD＝8，∴.-------1分∵DE∥AC，AB∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形.∴AC＝DE＝10.-------2分在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵OA＝OC，∴.-------3分∵BF＝BO，∴BF＝5.-------4分〔2〕过点O作OG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.∴OG∥CD.∵OB＝OD，∴BG＝CG，∴OG是△BCD的中位线.-------5分由〔1〕知，四边形ACDE是平行四边形，AE＝6，∴CD＝AE＝6.∴.∵AD＝8，∴BC＝AD＝8.∴,.∴.-------6分其他证法相应给分.24．解：〔1〕MA＝MN且MA⊥MN．-------2分〔2〕〔1〕中结论仍然成立．-------3分证明：联结DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.在Rt△ADF中，∵M是DF的中点，∴.∴∠1＝∠3.∵N是EF的中点，∴MN是△DEF的中位线.∴，MN∥DE.-------4分∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE＝BF，∠EBF＝90°.∵点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，∴,即AF＝CE.∴△ADF≌△CDE.-------5分∴DF＝DE，∠1＝∠2.∴MA＝MN，∠2＝∠3.-------6分∵∠2+∠4＝∠ABC＝90°，∠4＝∠5，∴∠3+∠5＝90°，∴∠6＝180°—〔∠3+∠5〕＝90°.∴∠7＝∠6＝90°，MA⊥MN.-------7分其他证法相应给分.26.〔1〕证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。〔2分〕〔2〕证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由〔1〕知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。〔4分〕〔3〕由〔2〕知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。设QH＝HC＝，那么DH＝。 在Rt△PDH中，， 即， 解得，∴PH＝3.4〔6分〕27.判断：△AGD是直角三角形。证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE， 1分∵F是AD的中点，， 2分∴∠1＝∠3。