专题5 函数的图像与性质问题（原卷版）

专题5函数的图像与性质问题目录一、热点题型归纳【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【题型二】反比例函数中k的几何意义【题型三】二次函数图像的变换【题型四】二次函数图像与系数的关系【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【题型六】待定系数法求函数解析式二、最新模考题组练【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【典例分析】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【提分秘籍】基本规律（1）联立一次函数和反比例函数，构建方程；（2）解方程，求出x的值即为一次函数与反比例函数图像交点的横坐标。（3）将x的值代入函数解析式，求出函数值或范围。【变式演练】1．一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，，，两点，则当时，的取值的范围是（）A．或 B．或C．或 D．或2．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（

）A． B． C． D．【题型二】反比例函数中k的几何意义【典例分析】（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【提分秘籍】基本规律1.过反比例函数图像上任意一点向其中任意一坐标轴做垂线，函数图像的该点、垂足与坐标原点三点构成的三角形面积。2.过反比例函数图像上任意一点分别向两坐标轴做垂线，函数图像的该点、两垂足与坐标原点四点构成的矩形面积。【变式演练】1．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（）A． B． C． D．大小关系不能确定2．如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【题型三】二次函数图像的变换【典例分析】（2023年江苏省徐州市九年级联盟中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。2.沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）。3.沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）。【变式演练】1．将抛物线向右平移（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．2．通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（

）A．向左移动2个单位，向上移动3个单位 B．向右移动2个单位，向上移动3个单位C．向左移动2个单位，向下移动3个单位 D．向右移动2个单位，向下移动3个单位【题型四】二次函数图像与系数的关系【典例分析】如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【提分秘籍】基本规律1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下。2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧。3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点。4.当x＝1时，函数y＝a+b+c；5.当x＝-1时，函数y＝a-b+c；6.当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；7.当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方。【变式演练】1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【典例分析】如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随的增大而增大C．点的坐标为 D．【提分秘籍】基本规律函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。

【变式演练】1．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（）A．和 B．和C．和 D．和【题型六】待定系数法求函数解析式【典例分析】已知，二次函数的图像过点，顶点是，则此二次函数的表达式是（

）．A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.先设出函数解析式：一次函数：；反比例函数：；二次函数顶点式：；二次函数一般式：。2.然后从函数图像上找已知点代入所设解析式，一次函数找两个点，构建二元一次方程组求解；反比例函数找一个点，代入即可；二次函数，顶点式找两个点，一般式找三个点。【变式演练】1．已知抛物线过点，，且它与x轴只有一个交点，则d的值是（）A． B． C．4 D．162．若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值（）A． B．2 C． D．6一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．42．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（

）A． B． C．3 D．43．（2023·江苏常州·统考一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（

）A．6 B． C． D．44．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏苏州·校考一模）将抛物线先向左平移2个单位、再向下平移1个单位后，得到（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知关于的方程，若为正实数，则下列判断正确的是（

）A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根C．有一个实数根 D．无实数根7．如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江苏扬州·校考一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（

）x…0123…y…30m3…A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2二、填空题9．（2023·江苏无锡·统考一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：______．10．（2023·江苏宿迁·统考一模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，则的值为_______．11．（2023·江苏苏州·校联考一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．已知二次函数的图象上有两个“等值点”，则的取值范围为___________．12．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）将抛物线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值是__________.13．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为H，连接，已知的面积是6，则k的值是__________．14．（2023·江苏无锡·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．三、解答题15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．16．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．17．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，过B作轴，交反比例函数的图象于点D，连接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面积．19．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．20．（2023·江苏徐州·一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点，一次函数图象分别交轴，轴于两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)求的面积；(3)请直接写出当时自变量的取值范围．21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．(3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．22．（2023·江苏泰州·一模）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．(1)求，的值：(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请