河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第一章第2节实数的运算及大小比较

第二节实数的运算及大小比较【课标要求】☆能比较有理数的大小．☆理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算．☆理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题．☆了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求绝对值在百以内的整数的立方根，会用计算器求平方根和立方根．【教材对接】人教：七上第一章P16～51，七下第六章P40～52；冀教：七上第一章P15～60，八上第十四章P59～68，P76～78，P82～88；北师：七上第二章P34～76，P26～37.有理数的运算1．加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同0相加，仍得这个数．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0.4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数.5．乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方．eq\x\to(a·a·…·a)n个a＝an.6．运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)乘法交换律：ab＝ba；(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.7．有理数混合运算的顺序：有括号的先算括号里面的，无括号则先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算则按从左到右顺序依次计算．【温馨提示】混合运算的四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．【基础练1】计算：(－6)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＝6．实数的运算8．平方根、算术平方根、立方根eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a的平方根为\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(±\r(a)（a≥0），其中\r(a)为a的算术平方根,无意义（a<0）)),a的立方根为\r(3,a)（a为任意实数）))9．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．10．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同．eq\r(3,a3)＝a，(eq\r(3,a))3＝a，eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a)．11．实数的混合运算实数的加、减、乘、除、乘方、非负数开平方、实数开立方运算具有与有理数相同的运算法则和运算律．(1)常见的运算(2)运算步骤①先将用运算符号隔开的每个小项的值计算出来；②再根据“先算乘方、开方，再算乘除(除法变乘法)，最后算加减，有括号的先计算括号里面的，同级运算按从左到右计算”的顺序进行；③最后得出最终结果．①0次幂a0＝1(a≠0)(遇“0次幂”就得1)②负整数指数幂a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n为正整数)，特别地，a－1＝eq\f(1,a)(a≠0)③－1的奇偶次幂(－1)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n为偶数），,－1（n为奇数）))(遇“偶”为1，遇“奇”为－1)④去绝对值符号|a－b|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b（a>b），,0（a＝b），,b－a（a<b）))(先比较a，b的大小，再去绝对值符号)⑤常见开方eq\r(4)＝2，eq\r(9)＝3，eq\r(16)＝4，eq\r(25)＝5，eq\r(8)＝2eq\r(2)，eq\r(12)＝2eq\r(3)，eq\r(18)＝3eq\r(2)，eq\r(3,8)＝2，eq\r(3,27)＝3，eq\r(3,－64)＝－4⑥特殊角的三角函数值(详见本书第98页考点2的表格内容)【易错警示】(1)避免出现以下类似的错误：①3－2＝－eq\f(1,9)；②2a－2＝eq\f(1,2a2)；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1；(3)遇到绝对值一般要先去绝对值符号，去绝对值符号时先添小括号，再进行计算；(4)括号前为负号，去括号时，括号内每一项都要变号．【基础练2】(1)(2021·恩施州中考)从eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\r(2)这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有(C)A．0个B．1个C．2个D．3个(2)(2021·河北模拟)计算：－22－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)－|1－4sin60°|＋(eq\r(2)－1.41)0.解：原式＝－4－3－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－4×\f(\r(3),2)))＋1＝－7－(2eq\r(3)－1)＋1＝－7－2eq\r(3)＋1＋1＝－5－2eq\r(3).实数的大小比较与非负数的性质12．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.(4)平方比较法：a＞b＞0⇔eq\r(a)＞eq\r(b)(主要应用于无理数估算及含有无理数的式子的大小比较).(5)立方比较法：a＞b⇔eq\r(3,a)＞eq\r(3,b).(6)求商比较法：若b＞0，则eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；eq\f(a,b)＜1⇔a＜b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b.【基础练3】(1)(2021·邯郸模拟)在实数eq\f(1,3)，0，－1，－eq\r(2)中，最小的实数是(A)A．－eq\r(2)B．－1C．0D．eq\f(1,3)(2)已知a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，c＝eq\f(7,2)，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是(A)A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜a＜b13．非负数：常见的非负数有a2，|a|，eq\r(a)(a≥0)，最小的非负数是0.若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.【基础练4】(2021·衡水模拟)如果eq\r(a＋2)＋|b－3|＝0，那么ab＝－8．eq\a\vs4\al(实数的运算)【例1】(1)4的平方根是±2；(2)eq\r(3,－27)的绝对值是3；(3)|－9|的平方根是±3．【解题思路】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．【例2】(2021·唐山丰润区模拟)计算：|－2|＋(π＋3)0＋2cos30°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＋eq\r(12).【解题思路】首先利用乘方、负整数指数幂和绝对值等知识进行计算，再计算加减法即可．注意运算顺序和合理使用运算律，把好符号关．【解答】解：原式＝2＋1＋2×eq\f(\r(3),2)－3＋2eq\r(3)＝3eq\r(3).1．下列运算中，正确的是(D)A．eq\r(9)＝±3B．eq\r(3,－8)＝2C．(－2)0＝0D．2－1＝eq\f(1,2)2．若4是数a的平方根，则a＝16.3．(2021·河北中考样题)若正数m的平方根为x＋1和x－3，则m＝4．4．计算：|eq\r(2)－1|＋2sin45°－eq\r(8)＋tan260°.解：原式＝eq\r(2)－1＋2×eq\f(\r(2),2)－2eq\r(2)＋(eq\r(3))2＝eq\r(2)－1＋eq\r(2)－2eq\r(2)＋3＝2.5．利用运算律有时能进行简便计算．例198×12＝(100－2)×12＝1200－24＝1176；例2－16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：(1)999×(－15)；(2)999×118eq\f(4,5)＋999×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－999×18eq\f(3,5).解：(1)原式＝(1000－1)×(－15)＝－15000＋15＝－14985；(2)原式＝999×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(118\f(4,5)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－18\f(3,5)))＝999×100＝99900.eq\a\vs4\al(实数的大小比较)【例3】(2021·唐山遵化市模拟)下列实数中最大的是(B)A．eq\f(3,2)B．|－5|C．eq\r(15)D．π【解题思路】根据实数比较大小的法则可得答案．6．(2021·石家庄一模)已知三个数－π，－3，－2eq\r(2)，它们的大小关系是(D)A．－π＜－2eq\r(2)＜－3B．－3＜－π＜－2eq\r(2)C．－2eq\r(2)＜－π＜－3D．－π＜－3＜－2eq\r(2)7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是(D)A．|a|＜1B．ab＞0C．a＋b＞0D．1－a＞18．下列三个结论中正确的是(C)A．2＜eq\r(6)＜eq\r(3,7)B．2＜eq\r(3,7)＜eq\r(6)C．eq\r(3,7)＜2＜eq\r(6)D．eq\r(3,7)＜eq\r(6)＜2eq\a\vs4\al(与数轴有关的运算)【例4】(2021·石家庄模拟)实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b＋d＝0，则下列结论正确的是(D)A．b＋c＞0B．eq\f(a,c)＞1C．ad＞bcD．|a|＞|b|【解题思路】根据数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据实数的运算，可得答案．9．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a＋3|＋(c－5)2＝0.(1)a＝________，b＝________，c＝________；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数________表示的点重合；(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设ts过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝________，BC＝________；(用含t的代数式表示)(4)请问：3BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：(1)－3；－1；5；(2)3；[a＋c－b＝－3＋5－(－1)＝3.](3)3t＋2；t＋6；[ts过后，点A表示的数为－t－3，点B表示的数为2t－1，点C表示的数为3t＋5，∴AB＝(2t－1)－(－t－3)＝3t＋2，BC＝(3t＋5)－(2t－1)＝t＋6.](4)不变．∵AB＝3t＋2，BC＝t＋6，∴3BC－AB＝3(t＋6)－(3t＋2)＝3t＋18－3t－2＝16.∴3BC－AB的值为定值16.混淆了平方根、算术平方根与立方根【例】下列说法正确的是()A．一个整数的平方根是它的算术平方根B．算术平方根等于它本身的数只有1个C．1是最小的算术平方根D．一个非负数的非负平方根是它的算术平方根【错解分析】注意区分平方根与算术平方根，正数a的平方根为±eq\r(a)，其中，eq\r(a)也称为正数a的算术平方根，是一个非负数．负整数没有平方根，算术平方根等于它本身的数有0和1两个，0是最小的算术平方根．【正确解答】D1．下列运算正确的是(A)A．eq\r(3,－8)＝－2B．eq\r(8)＝2C．eq\r(4)＝±2D．eq\r(3,9)＝32．－27的立方根与eq\r(81)的平方根的和是0或－6．实数的运算(5年6考)考向1纯运算1．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2017)D．2－32．(2021·河北中考)若eq\r(3,3)取1.442，计算eq\r(3,3)－3eq\r(3,3)－98eq\r(3,3)的结果是(B)A．－100B．－144.2C．144.2D．－0.014423．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D)A．4＋4－eq\r(4)＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋eq\r(3,4＋4)＝6D．4－1÷eq\r(4)＋4＝64．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1eq\x()2eq\x()6eq\x()9”中的每个eq\x()内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×6eq\x()9＝－6，请推算eq\x()内的符号；(3)在“1eq\x()2eq\x()6－9”的eq\x()内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴3eq\x()9＝－6.∴eq\x()内的符号是“－”；(3)－20.考向2与规律结合5．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋