河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第五章第2节矩形、菱形、正方形

第二节矩形、菱形、正方形【课标要求】☆理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理以及判定定理．☆理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理以及判定定理．☆理解正方形的概念，探索并证明正方形的性质定理以及判定定理．知道正方形具有矩形和菱形的一切性质．☆理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．【教材对接】人教：八下第十八章P52～59；冀教：八下第二十二章P134～149；北师：九上第一章P2～25.矩形及其性质与判定定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形的对边平行且相等，四个内角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等且互相平分；(3)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形面积、周长S＝ab，C＝2(a＋b)(a，b分别表示矩形的长和宽)菱形及其性质与判定定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质(1)菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；(3)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积、周长S＝ah，C＝4a(a表示菱形的边长，h为该边上的高)；S＝eq\f(l1l2,2)(l1，l2分别表示菱形两条对角线的长)正方形及其性质与判定定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有4条对称轴判定(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(定义)；(2)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)的矩形是正方形；(3)有一个角是直角(或对角线相等)的菱形是正方形；(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积、周长S＝a2，C＝4a(a表示正方形的边长)；S＝eq\f(l2,2)(l表示正方形的对角线长)平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1．关系图2．从边、角的关系看3．从对角线的关系看4．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行、四条边都相等对边平行、四条边都相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角续表平行四边形矩形菱形正方形对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角对称性中心对称轴对称、中心对称轴对称、中心对称轴对称、中心对称【知识拓展】中点四边形(1)定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(2)中点四边形的形状由原四边形的对角线之间的关系决定．①原四边形是任意四边形，则中点四边形是平行四边形．②原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形．③原四边形的对角线垂直，则中点四边形是矩形．④原四边形的对角线垂直且相等，则中点四边形是正方形．【基础练】(1)(2021·北京中考)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AF＝AE(答案不唯一)(写出一个即可)．(2)(2021·石家庄长安区二模)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC,BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是(B)A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形B．添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形eq\a\vs4\al(矩形的性质与判定)【例1】如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE.(1)求证：AF＝CE；(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．【解题思路】(1)证明△DAF≌△BCE，即可得出结论；(2)由(1)可知，AF＝CE＝4，由AB∥CD可证∠CAB＝∠DCA，可得出∠FAC＝∠DCA，则CF＝AF＝4，由直角三角形的性质可得出结果．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°.∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE(ASA).∴AF＝CE；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠CAB＝∠FCA.∵AC平分∠FAE，∴∠FAC＝∠CAB.∴∠FAC＝∠FCA.∴CF＝AF＝4.在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)AF＝2.∴CD＝DF＋CF＝6.1．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为(C)A．10B．12C．16D．18eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．(2021·石家庄第四十中学二模)如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边BA－AD运动，AB＝3，AD＝4，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是(C)A．1B．eq\f(3,2)C．2D．eq\f(5,2)3．(2021·武威中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝6cm.eq\a\vs4\al(菱形的性质与判定)【例2】(2021·十堰中考)如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【解题思路】(1)证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；(2)过点A作AG⊥BC，解直角三角形即可求解．【解答】(1)证明：在△ABC中，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED.∴△AFD≌△CED(AAS).∴AF＝CE.∴四边形AECF是平行四边形．又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC.∴四边形AECF是菱形；(2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G.由(1)知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°.∴∠AEB＝∠FAE＝60°.∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°.∴∠GAE＝30°.∴GE＝eq\f(1,2)AE＝1，AG＝eq\r(3)GE＝eq\r(3).∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°.∴BG＝AG＝eq\r(3).∴AB＝eq\r(2)BG＝eq\r(6).4．(2021·保定顺平县二模)在学习菱形时，几名同学对同一问题给出了如下几种解题思路，其中正确的是(A)已知：如图，四边形ABCD是菱形，E，F是直线AC上两点，AF＝CE.求证：四边形FBED是菱形．甲：利用三角形全等，证明四边形FBED的四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A．甲、乙对，丙错B．乙、丙对，甲错C．三个人都对D．甲、丙对，乙错eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5题图）))5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为2.8.eq\a\vs4\al(正方形的性质与判定)【例3】(2021·包头中考)如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为22.5°．【解题思路】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定等，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．连接AE.设AB，FE交于点G.由题可知，DE＝DC＝AD，∴△DEC，△AED，△FEC是等腰三角形，由正方形的性质得∠EBC，∠ADE，∠EDC度数，进而求出∠EAD，∠AED，∠DCE，∠DEC的度数，即可得出∠ECB，∠EFC，∠FEC，∠BEC，∠FEB，∠AEF的度数，再证△DEC≌△DAE，则AE＝EC＝EF，即可判断△AEF的形状，从而得出∠FAE的度数，减去∠BAE即可．6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD，交EF于点Q，求证：DQ·BC＝CE·DF.证明：(1)过点E作EM⊥BC于点M.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴EM∥AB.∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°.∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC.∴∠BAC＝∠ACB＝45°.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形；(2)∵∠BEF＋∠BCF＋∠EFC＋∠EBC＝360°，∴∠EBC＋∠EFC＝180°.又∵∠EFC＋∠QFD＝180°，∴∠QFD＝∠EBC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＝∠FDQ＝45°.∴△BCE∽△FDQ.∴eq\f(BC,FD)＝eq\f(CE,DQ).∴DQ·BC＝CE·DF.eq\a\vs4\al(未把握好正方形的对称性)【例1】如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为()A.2eq\r(3)B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(6)【错解分析】本题考查利用轴对称性质求最值问题，由正方形的对称性可知B和D关于AC成轴对称，则PD＋PE的和的最小值为BE的长，根据正方形面积与△ABE是等边三角形即可求出这个最小值．【正确解答】A1．(2021·青海中考)如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是10．不能熟练地运用折叠、翻折、平移、旋转、剪拼等操作的性质【例2】如图，把菱形ABCD向右平移至菱形DCEF的位置，过点E作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：DG＝DE；②∠DHE＝eq\f(1,2)∠BAD；③EF＋FH＝2KC；④∠B＝∠EDH.其中所有成立的结论是()A.①②③④B．①②④C．②③④D．①③【错解分析】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识．解题时因不能正确寻找出相应的全等三角形而出错．【正确解答】A2．(2021·唐山迁西县一模)如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为24cm2.【例3】(2021·台州中考)如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)面积为()A.(36－6eq\r(3))cm2B．(36－12eq\r(3))cm2C．24cm2D．36cm2【错解分析】本题主要考查矩形以及折叠的性质等，解题时容易因搞不清楚折叠的哪些角或线段相等而出现错误．如图，过点C作CF⊥MN，过点B作BE⊥MN.∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，∴∠PAC＝α＝60°.∴∠EAB＝∠PAB＝30°.∴∠BAC＝90°，AB＝eq\f(BE,sin∠EAB)＝6cm，AC＝eq\f(CF,sinα)＝2eq\r(3)cm.∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3)(cm2).∴S阴＝S矩形－S△ABC＝12×3－6eq\r(3)＝(36－6eq\r(3))cm2.【正确解答】A3．(2021·邢台模拟)如图1，有一个足够长的矩形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，∠DEF＝24°.(1)将纸片含CD的部分沿EF折叠，称为第1次操作；如图2，则∠CFG＝132°；(2)继续将纸片含CD的部分沿BF折叠，称为第2次操作；如图3，则∠CFE＝108°；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第n次操作，则n的最大值为6．【例4】如图，将正方形沿图中虚线(其中x＜y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).(1)画出拼成的矩形的简图；(2)求eq\f(x,y)的值．【错解分析】本题主要考查正方形、矩形的性质，解一元二次方程、分式的基本性质等．正确思考出本题中的①②③④四块图形到底怎样拼成一个矩形(非正方形)是解题的关键．再利用拼图前后面积相等的关系，列方程即可求出eq\f(x,y)的值．解题时易因找不出拼成的矩形而出错．【正确解答】解：(1)如图所示；(2)由拼图前后的面积相等，得[(x＋y)＋y]y＝(x＋y)2.∵y≠0