河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第四章模型特训4中点问题模型

模型特训四中点问题模型eq\a\vs4\al(倍长中线模型)【模型点拨】当已知条件中出现三角形中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题．如图，在△ABC中，D为BC的中点，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，则有△ADC≌△EDB.1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为(B)A．30B．24C．20D．48eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是4．3．【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．(1)求证：△ADC≌△EDB.证明：延长AD到点E，使DE＝AD.在△ADC和△EDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝ED（已作），,∠ADC＝∠EDB（），,CD＝BD（中点定义），))∴△ADC≌△EDB(SAS)；(2)探究得出AD的取值范围是________；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．解：(1)对顶角相等；(2)1＜AD＜7；[∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6.∴8－6＜AE＜8＋6，即1＜AD＜7.](3)延长AD交EC的延长线于点F.∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD＝90°.在△ABD和△FCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠FCD，,BD＝CD，,∠ADB＝∠FDC，))∴△ABD≌△FCD(ASA).∴CF＝AB＝2，AD＝DF.∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF＝CE＋CF＝4＋2＝6.eq\a\vs4\al(中位线模型)【模型点拨】当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则有DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.4．(2021·唐山丰南区二模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3eq\r(2)，AD＝eq\r(7)，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为(B)A．eq\r(7)B．2.5C．5D．3.5eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5题图）))5．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝147°，则∠PFE的度数是16.5°．6．已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)如图2，点G是边BC上任意一点(点G不与点B，C重合)，连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K.求证：HC＝2AK.图1图2证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠FBE.又AE＝BE，∴△ADE≌△BFE(AAS)；(2)如图2，过点B作BN∥HC交EF于点N.∵△ADE≌△BFE，∴BF＝AD＝BC.∴BN是△HCF的中位线，即BN＝eq\f(1,2)HC.∵AK∥HC，∴BN∥AK.同(1)可证△AEK≌△BEN.∴AK＝BN.∴HC＝2AK.7．如图，E，A，C三点在同一条直线上，△ABC和△CDE是顶角相等的等腰三角形，其中BC和CD为等腰三角形的底边，F是AE边的中点，P是BC边的中点，Q是CD边的中点．(1)求证：FP＝FQ；(2)求证：∠PFQ＝∠A.证明：(1)延长FA至点M，使AM＝EC，连接BM，MD.∵F是AE边的中点，AM＝EC，∴F是CM边的中点．∵P是BC边的中点，Q是CD边的中点，∴PF∥BM，FQ∥MD，BM＝2PF，MD＝2FQ.∵∠BAC＝∠CED，∴∠BAM＝∠MED.∵AB＝AC＝AE＋EC，AM＝EC，EC＝ED，EM＝AE＋AM，∴AB＝EM，AM＝ED.∴△ABM≌△EMD(SAS).∴BM＝MD.∴FP＝FQ；(2)∵△ABM≌△EMD，∴∠ABM＝∠EMD.∵∠BAC＝∠ABM＋∠BMA，∴∠BAC＝∠EMD＋∠BMA.∵PF∥BM，FQ∥MD，∴∠BMA＝∠PFC，∠EMD＝∠CFQ.∴∠PFQ＝∠PFC＋∠CFQ＝∠BAC，即∠PFQ＝∠A.eq\a\vs4\al(等腰三角形“三线合一”模型)【模型点拨】当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可利用“三线合一”的性质．如图，在△ABC中，①AC＝BC；②CD平分∠ACB；③AD＝BD；④CD⊥AB.“知二得二”：比如由②③可得出①④，也就是说，以上四条语句，任意选择两条作为条件，就可以推出剩下的两条．8．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为(C)A．32B．16C．8D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9题图）))9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PA2＋PB2＝2PC2．10．(2021·河北一模)如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A，B，连接AB，AB与OP交于点E.(1)求证：△OPA≌△OPB；(2)若AB＝6，求AE的长．(1)证明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB.又∵OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)；(2)解：∵△OPA≌△OPB，∴OA＝OB.又∵OE平分∠AOB，∴AE＝BE.∴AE＝eq\f(1,2)AB＝3.eq\a\vs4\al(直角三角形斜边中线模型)【模型点拨】当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后利用直角三角形斜边的中线性质解决问题．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，则有CD＝AD＝BD＝eq\f(1,2)AB.11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，则下列结论不一定正确的是(C)A．CD＝BDB．∠A＝∠DCAC．BD＝ACD．∠B＋∠ACD＝90°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第11题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第12题图）))12．(2021·唐山遵化市一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于(B)A．120°B．108°C．72°D．36°13．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm，8cm，则它的面积是40cm2.eq\a\vs4\al(三角形边的垂直平分线模型)【模型点拨】当三角形某一边的垂线过这边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BE＝CE，进而证明线段间的数量关系．14．如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，若点B的坐标为(2，－1)，则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为(D)A.(0，1)B．(3，1)C．(1，－1)D．(0，0)15．(2021·眉山中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于eq\f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为eq\f(7,8)．16．(2021·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝eq\f(1,3)BD，求tan∠ABC的值．解：(1)作图如图所示，连接BD，设BC的垂直平分线交BC于点F，则BD＝CD.∴C△ABD＝AB＋AD＋BD