河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第六章第2节与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系【课标要求】☆理解点与圆、直线与圆的位置关系．☆掌握切线的概念，探索切线与切点的半径关系．☆掌握切线的性质和判定方法．【教材对接】人教：九上第二十四章P92～99；冀教：九下第二十九章P1～15；北师：九下第三章P66，P89～96.点与圆的位置关系1．如图，设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP＝d，则(1)点P1在圆外⇔d1>r；(2)点P2在圆上⇔d2＝r；(3)点P3在圆内⇔d3<r.直线与圆的位置关系2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为OP＝d，则直线l和圆的位置关系如下表．位置关系相离相切相交图示d与r的关系d>rd＝rd<r公共点个数没有公共点1个公共点2个公共点【基础练1】在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为(C)A.与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C.与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切切线及其性质与判定3．切线：当直线与圆有唯一一个公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线．4．切线的性质：(1)切线与圆只有一个公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．5．切线的判定方法：(1)利用切线的定义，即与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【方法点拨】(1)判断直线与圆相切的两种常见模型：①直线与圆的公共点已知时，连接过公共点的半径，证这条半径与直线垂直，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线，证垂线段等于半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．(2)利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．(3)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R＝eq\f(c,2)；②直角三角形的内切圆半径r＝eq\f(a＋b－c,2).【基础练2】(2021·长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为(C)A.35°B．45°C.55°D．65°切线长定理6．切线长：切线上一点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．7．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等，这一点与圆心的连线平分过这点的两条切线所形成的夹角．【基础练3】如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为(B)A.32B．34C.36D．38【知识拓展】与圆有关的七大模型图示模型点拨相交弦模型若AB，CD相交于点P，则△ACP∽△DBP，PA·PB＝PC·PD垂径定理模型若AB是直径，AB⊥CD于点P，则CP＝DP，eq\x\to(BC)＝eq\x\to(BD)，eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AD)等腰三角形模型若AB＝BC，连接OB，则△ABC∽△AOB弦切角模型若AB与⊙O相切于点P，则∠APC＝∠PDC，∠BPD＝∠PCD双切线模型若PA，PB是⊙O的两条切线，则PA＝PB，PO平分∠APB续表图示模型点拨角平分线模型若CD平分∠ACB，则OD∥BC，△ABC∽△ADO直角三角形模型若∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连接BD，则△ABC∽△ADB【基础练4】(1)如图，若弦BC经过⊙O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则⊙O的直径为(B)A．7B．8C．9D．10[第(1)题图][第(2)题图](2)如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B＝55°.eq\a\vs4\al(切线的判定与性质)【例1】(2021·石家庄模拟)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．【解题思路】(1)连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．(2)过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线；(2)解：过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝eq\r(AO2－AF2)＝eq\r(52－32)＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.1．(2021·山西中考)如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(B)A．15°B．20°C．25°D．30°2．(2021·河北模拟)如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝eq\f(1,3)，BC＝6.(1)求证：∠COD＝∠BAC；(2)求⊙O的半径OC；(3)求证：CF是⊙O的切线．(1)证明：∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°.∵AG∥BC，∴AE⊥BC.∴CE＝BE.∴∠BAC＝2∠EAC.∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；(2)解：∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝eq\f(OE,OC)＝eq\f(1,3).∴设OE＝x，OC＝3x.∵BC＝6，∴CE＝3.∵CE⊥AD，∴OE2＋CE2＝OC2.∴x2＋32＝9x2.∴x＝eq\f(3\r(2),4)(负值已舍去).∴OC＝3x＝eq\f(9\r(2),4).∴⊙O的半径OC为eq\f(9\r(2),4)；(3)证明：∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC.∴eq\f(OE,OC)＝eq\f(OC,OF)＝eq\f(1,3).∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOC.∴∠OCF＝∠OEC＝90°.∴CF是⊙O的切线．eq\a\vs4\al(切线长定理)【例2】如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为(C)A.4B．5C．8D．10【解题思路】连接OA.根据切线的性质，得Rt△OAP，利用勾股定理可得PA＝eq\r(PO2－OA2)＝4，由切线长定理，得AC＝CE，DE＝BD，PA＝PB，进而推出△PCD的周长．3．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺的交点，点B为光盘与直尺的唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是(A)A．6eq\r(3)B．3eq\r(3)C．6D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以点O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是(D)A．DC＝DTB．AD＝eq\r(2)DTC．BD＝BOD．2OC＝5AC盲目套用“d＝r⇔直线与圆相切”而错解【例】如果直线l上一点M与⊙O的圆心的距离等于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．以上都不正确【错解分析】在判断直线与圆的位置关系时，不要一看到距离，就把这个距离误认为是d，因为直线上一点与一个圆的圆心的距离不一定是圆心到直线的距离，圆心到直线的距离应小于或等于这个距离．【正确解答】C1．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为(B)A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝eq\f(4,5)，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是(B)A.相离B．相切C．相交D．无法确定切线的性质及判定(5年2考)1．(2019·河北中考)如图，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝eq\f(4,3).点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x.(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧eq\x\to(PQ)长度的大小；(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．图1图2备用图解：(1)∵⊙O切CP于点P，∴OP⊥PC，即∠CPB＝90°.由▱ABCD得AD∥BC.∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝eq\f(4,3).设PC＝4k，BP＝3k，则BC＝eq\r(PC2＋BP2)＝5k.∴5k＝15，即k＝3.∴PC＝12，BP＝9.∴当x＝9时，圆心O落在AP上．此时PE与BC的位置关系为PE⊥BC；(2)连接OP，OQ，过点C作CK⊥AP于点K，过点O作OH⊥AP于点H，与(1)同理，得CK＝12，BK＝9.∵AK＝AB＋BK＝12，∴CK＝AK.∴∠CAP＝∠ACK＝45°.∵AP＝AB＋BP＝7，∴HP＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(7,2).又∵PK＝BK－BP＝5，∴PC＝eq\r(PK2＋CK2)＝13.∵∠HOP＝90°－∠OPH＝∠CPK，∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴eq\f(OP,PC)＝eq\f(PH,CK)，即eq\f(OP,13)＝eq\f(\f(7,2),12).∴OP＝eq\f(91,24).∵∠POQ＝2∠PAQ＝90°，∴leq\x\to(PQ)＝eq\f(90π×\f(91,24),180)＝eq\f(91π,48).∵eq\f(91π,48)<7，∴AP>leq\x\to(PQ)；(3)x≥18.2．(2018·河北中考)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧eq\x\to(AB)，使点B在点O右下方，且tan∠AOB＝eq\f(4,3).在优弧eq\x\to(AB)上任取一点P，且能过点P作直线l∥OB交数轴于点Q，设点Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧eq\x\to(AB)上一段eq\x\to(AP)的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；(2)求x的最小值，并指出此时直线l与eq\x\to(AB)所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．解：(1)设∠AOP＝n°，则eq\f(nπ×26,180)＝13π.解得n＝90.∴∠AOP＝90°.∵l∥OB，∴∠PQO＝∠AOB.∴tan∠PQO＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(26,x)＝eq\f(4,3).∴x＝19.5；(2)要使x变小，则l向左平移．当l平移到与eq\x\to(AB)所在圆相切位置l1时，如图，O与