平面向量的正交分解及坐标表示讲课

平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算1.1、平面向量的根本定理:2、向量的基底:不共线的平面向量e1,e2

叫做这一平面内所有向量的一组基底.如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量

a

，有且只有一对实数λ1,λ2

使得a=λ1e1+λ2e2复习引入2.(1)基底不唯一；(2)要求这两个向量不共线；(3)如果基底选定，那么，唯一确定,可以为零.时,，与共线.时,，与共线.时,特别的：3.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？GF1F2新课引入4.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解5.思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数〔即它的坐标〕表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？6.Oxya任一向量a，用这组基底能不能表示?分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j能否作为平面向量的基底?ij思考：7.yOxji向量的坐标表示axiyj分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x

i+y

j探究一、平面向量的坐标表示:把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标8.向量的坐标表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)9.yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，那么点A的位置由唯一确定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。a设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；10.yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)11.jyxOiaA1AA2bcd例2:用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.解：12.

思考：已知你能得出的坐标吗？探究二：平面向量的坐标运算:

13.平面向量的坐标运算：两个向量和〔差〕的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和〔差〕实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标14.

例题:已知求的坐标。变式练习：15.例3.如图，已知求的坐标。xyOBA解：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！探究三：点的坐标与向量坐标的关系16.yxOB(x2,y2)A(x1,y1)P你能在图中标出坐标为的P点吗？17.ABCDxyO解法１：设点D的坐标为〔x,y〕解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为〔2，2〕例3.如图，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。18.ABCDxyO解法2：由平行四边形法那么可得而所以顶点D的坐标为〔2，2〕例4.如图，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。19.随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C20.BB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A21.课堂小结:2加、减法法那么.3实数与向量积的运算法那么：4向量坐标.1向量坐标定义