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PAGE【文库独家】相似三角形的性质同步练习【典型例题】例1.如图,ABBC,CDBC,B,C是垂足,AC,BD交于P。过P作PQBC于Q。求证:AQP=PQD分析:由已知ABBC,CDBC,PQBC,则AB‖PQ‖DC AQP=QAB,PQD=QDC又已知RtABQ和RtDCQ只须证明RtABQ∽RtDCQ即可证明:AB‖PQ‖DC==,=∴PQ·BC=AB·CQ=CD·BQ∴AB·CQ=CD·BQ即又ΔABQ,ΔDCQ均为直角三角形∴RtΔABQ∽RtΔDCQ∴∠BAQ=∠CDQ∴∠AQP=∠PQD例2.如图,ΔACB中,∠ACB=90º,D在BC边上,连AD,过B作BE⊥AB,∠BAE=∠CAD,过E作EF⊥CB于F求证:BF=CD分析:∠C=∠EBA=90º,∠BAE=∠CAD∴RtΔACD∽RtΔABE又易知∠ABC与∠FBE互余,且∠C=∠F=90º∴RtΔACB∽RtΔBEF∴只须寻找与线段AB,BE“相关”的比例式即可证明:RtΔACD与RtΔABE中,∵∠CAD=∠BAE∴RtΔACD∽RtΔABE∴∴CD=…①又BE⊥AB,BF⊥AC∵∠FBE=∠CAB∴RtΔACB∽RtΔBFE∴∴BF=…②∴由①②知:BF=CD例3.如图,梯形ABCD中,AD//CB对角线AC,BD相交于点O,设梯形ABCD的面积为S,ΔAOD,ΔBOC,ΔAOB的面积分别为S,S和S证明:,是方程X-X+S=0的两实数根分析:本题实质上是证明+=且=S,即已知S,S,求S和S,由相似三角形和同底上三角形的面积比的性质,将面积比转换为线段之比即可证明:∵=,∴∵AD//BC∴ΔAOD∽ΔCOB∴∴=1∴SS=,即=S…①又S=S+S+2S=S+2+S=(+)∴+=…②∴由①②可知,,是方程X-X+S=0的两个实数根【模拟试题】1.ΔABC中,D、E分别为AB、AC的中点,连DE则ΔADE与ΔABC的周长之比为________;它们的面积之比为________2.两个相似三角形的面积之比为9:4,若较大三角形的一个内角的平分线长6cm,则另一个三角形对应角的平分线长为_________3.如图,平行四边形ABCD中,E在CD上,DE:CE=2:3连AE、BE、BD且AE、BD相交于点F,则SΔDEF:SΔEBF:SΔABF为()A.4∶10∶25 B.4∶9∶25 C.2∶3∶5 D.2∶5∶254.正方形ABCD中,E为CD的中点,F在BC上,且CF∶BC=1∶4,求证:5.如图平行四边形ABCD中,过A作直线交BD于P,交BC于Q,交DC的延长线于R,求证:AP=PQ·PR6.如图AB、CD表示垂直于地面L的两根标杆,AD、BC为两根绳索,P为绳索的交点,现在若沿地面L任意平行移动标杆AB或CD,则点P的高度会否发生变化?说明你的理由
【试题答案】1.1:2,1:42.4cm3.A4.由,∠C=∠D可知ΔCEF∽ΔDAE∴5.提示:由ΔAPB∽ΔDPR,得…①由ΔBPQ∽ΔDAP,得…②∴由①②知,,即AP=PQ·
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