专题05 切线的性质与判定+切线长定理（知识串讲+8大考点）解析版

专题05切线的性质与判定+切线长定理考点类型知识串讲（一）切线的判定与性质（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直（二）切线长定理（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（三）三角形的内切圆（1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，（2）普通三角形与内切圆的关系：r为内切圆的半径S△ABC=12×r×（AB+BC+AC（3）直角三角形的三边与内切圆的关系考点训练考点1：切线的判定——连半径证垂直典例1：（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形ABCD的边AD为直径作⊙O交AB于点E，连接DB交⊙O于点M，F是BC上的一点，且BF=BE，连接DF．

(1)求证：DM=BM；(2)求证：DF是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AM，根据AD是直径，得出∠AMD=90°，根据菱形性质得出AD=AB，根据等腰三角形性质得出DM=BM即可；（2）连接DE，根据AD是直径，得出∠AED=90°，求出∠DEB=180°-90°=90°，根据菱形的性质得出∠DBE=∠DBF，AD∥BC，证明△DBE≌△DBFSAS，得出∠DFB=∠DEB=90°，根据平行线的性质得出∠ADF=∠DFB=90°【详解】（1）证明：连接AM，如图所示：

∵AD是直径，∴∠AMD=90°，∴AM⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，∴DM=BM；（2）证明：连接DE，如图所示：

∵AD是直径，∴∠AED=90°，∴∠DEB=180°-90°=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠DBE=∠DBF，AD∥∵BE=BF，DB=DB，∴△DBE≌△DBFSAS∴∠DFB=∠DEB=90°，∵AD∥∴∠ADF=∠DFB=90°，∴AD⊥DF，∵AD为直径，∴DF是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．【变式1】（2023·福建福州·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D为边

(1)尺规作图：在边AB上作一点O，使得∠AOD=2∠BDO；（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点E，且∠AOD=∠DOE．求证：AC与⊙O相切．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作线段BD的垂直平分线与AB的交点即为所求；（2）先说明OD为半径，再证明OD⊥AC即可．【详解】（1）如图所示，点O即为所求．

（2）如图，连接OD,OE．

∵∠AOD是△BOD的外角，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB．∵∠AOD=2∠BDO，∴∠OBD=∠ODB．∴OB=OD即OD为半径．∵∠AOE是△BOE的外角，∴∠AOE=∠OBE+∠OEB=∠AOD+∠DOE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵∠AOD=∠DOE，∴∠AOD=∠OBE．∴OD∥BC．∴∠ADO=∠C=90∘即∵OD为半径，∴AC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定和基本作图的综合应用．掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．(1)求证：点E是BD的中点；(2)求证：CD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AB是直径推出AD⊥BD，再由AD∥OC得到OC⊥BD，再由垂径定理可得DE=BE，即点E是（2）先证明△OCD≌△OCBSAS，从而∠ODC=∠OBC，由BC与⊙O相切于点B可知∠ODC=90°【详解】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴DE=BE，即点E是BD的中点；（2）连接OD，由（1）知DE=∴∠1=∠2，∵OD=OB，∠1=∠2，OC=OC，∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和垂径定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等或互补．【变式3】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，E在CA的延长线上．给出以下三个条件：①AC是⊙O的直径，②EB是⊙O的切线，③∠ABE=∠C．

(1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；(2)在（1）的条件下，若AB=AE，求∠C的度数．【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论；选择①③作为条件，②作为结论；证明见解析(2)30°【分析】（1）选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接OB，根据切线的性质和圆周角定理得到∠ABC=∠OBE=90°，则可得∠OBC=∠ABE，再由等边对等角得到∠C=∠OBC，由此可得∠ABE=∠C；选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接OB，由圆周角定理得到∠OBC+∠OBA=90°，由等边对等角得到∠C=∠OBC，由此即可得到∠OBC=∠ABE，进一步得到∠OBE=90°，则EB是⊙O的切线；（2）证明∠ABE=∠C=∠E，再由∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°进行求解即可．【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接OB，∵AC是⊙O的直径，EB是⊙O的切线，∴∠ABC=∠OBE=90°，∴∠OBC=∠ABE，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠ABE=∠C；选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90，∴∠OBC+∠OBA=90°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠ABE=∠C；∴∠OBC=∠ABE，∴∠ABE+∠OBA=90°，即∠OBE=90°，∵OB是⊙O的半径，∴EB是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，又∵∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠E，∵∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°，∴3∠C+90°=180°，∴∠C=30°．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键．考点2：切线的判定——作垂直证半径典例2：（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）直线AC是⊙O的切线，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）过点O作OD⊥AC与点D，利用角平分线的性质可得OB=OD，（2）延长BA，CD相交于点E，作∠BEC的平分线交BC于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可．【详解】解：（1）直线AC是⊙O的切线，理由：过点O作OD⊥AC与点D，

，∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC，∴OB=OD，∴直线AC是⊙O的切线；（2）如图所示，⊙O即为所求．

．【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，OD⊥AB于D，以O为圆心、OD为半径作⊙O．求证：AC与⊙O相切．【答案】见详解【分析】过点O作OE⊥AC于点E，由题意易得∠BDO=∠CEO=90°，OB=OC，∠B=∠C，则可证△BDO≌△CEO，进而可得OD=OE，最后问题可求解．【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，如图所示：∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴∠B=∠C，OB=OC，∵OD⊥AB，∴∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO≌△CEOAAS∴OD=OE，即OE为⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=1【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD=FD即可证明：⊙D与AC相切；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB-x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．【详解】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD=DF，∴⊙D与AC相切；（2）解：设圆的半径为x，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB= A∵AC，BC是圆的切线，∴BC=CF=3，∴AF=AB-CF=2，∵AB=4，∴AD=AB-BD=4-x，在Rt△AFD中，(4-x)2解得：x=3∴AE=4-3=1．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，在△AOB中，OA=25,OB=45,OA⊥OB，O为圆心，【答案】见解析【分析】过点O作OC⊥AB于C，勾股定理求得AB=10，等面积法得出OC=4，根据题意可得OC为半径，即可得证．【详解】证明：如图，过点O作OC⊥AB于C∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，在Rt△OAB中，OA=25,OB=4∵S△AOB∴OC=AO⋅BO∵⊙O的半径为4，∴OC为⊙O的半径，∵OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．考点3：切线的性质——求线段典例3：（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【答案】A【分析】利用切线的性质得出∠ADO=∠ODC，进而得出∠ADO=∠AOD，即可得出OA=6，即：OB=4，同理：BC=OB即可得出结论.【详解】解：连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO=∠ODC，∵CD∥∴∠ODC=∠AOD，∴∠ADO=∠AOD∴AD=OA∵AD=6，∴OA=6，∵AB=10，∴OB=4，同理可得OB=BC=4，故选：A.【点睛】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA=6.【变式1】（2023·福建·九年级专题练习）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，如果∠APB＝60°，PA＝6，那么弦AB的长是（

）A．3 B．6 C．63 D．103【答案】B【分析】由从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，根据切线长定理，可得PA=PB，又由∠APB=60°，可证得△PAB是等边三角形即可得解．【详解】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=6．故选B．【点睛】本题考查的是圆的切线性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）

A．3 B．23 C．5 D．【答案】B【分析】由题意可得OP⊥AB，AP=BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．【详解】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP=PB=12AB在Rt△APO中，AP=AO2-O∴AB=23，故选：B．

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．【变式3】（2023·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（

）A．4 B．1 C．22 D．【答案】D【分析】如图，连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC=60°，由切线的性质可得∠OAP=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP的长，利用勾股定理即可求出AP的长．【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA为切线，∴∠OAP=90°，∴∠P=30°，∵OA=OC=2，∴OP=2OA=4，∴PA=OP2-OA故选D．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握切线的性质是解题关键．考点4：切线的性质——求半径典例4：（2023春·福建厦门·九年级厦门海沧实验中学校考开学考试）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，若以点C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB相切，则r的值为（A．2.4 B．3 C．4.8 D．5【答案】C【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的r．【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得：AB=AC2+BC∵S△ABC=12BC•AC=12AB•∴12×6×8=12×10×解得：CD=4.8，则r=4.8（cm）．故选：C．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=4，则线段OP的长为（）A．6 B．43 C．4 D．8【答案】D【分析】连接OA，通过直角三角形的性质求解即可．【详解】连接OA，∴OA=OB=4，∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，∴OP=2OA=8，故选D．【点睛】此题考查了圆的切线的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆切线的有关性质．【变式2】（2023·福建·一模）如图，已知AB是半圆O的直径，PE是半圆O的切线，切半圆O于点D,BD是半圆O的弦，∠BDE=60°,BD=3，则PAA．3 B．3 C．1 D．3【答案】A【分析】连接DO，AD，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于PE，由∠BDE=60°，得到∠ODB=∠OBD=30°；又因为直径所对的圆周角是直角，得【详解】解：如解图，连接DO，AD，∵PE是半圆O的切线，DO为半圆O的半径，∴DO⊥PE.∵∠BDE=60°,∴∠ODB=∠OBD=∴∠ADB=90°,∠DAB=∴AD=BD⋅tan30°∴∠PDA=∠DPA=30故选：A.【点睛】本题考查切线的性质，突破此类问题的关键是熟练掌握切线的性质与判定及与切线有关的证明及计算.错因分析：1、对圆切线的性质掌握不熟练，不能灵活的运用切线性质解题；2、看到切线，不能灵活地连接切点和圆心构造直角三角形解题，属于容易题.【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级厦门大学附属科技中学校考阶段练习）如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为（）A．43 B．54 C．52【答案】B【分析】作OM⊥AB于点M，连接OB，在直角△OBM中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．【详解】解：作OM⊥AB于点M，连接OB，设圆的半径是x，则在直角△OBM中，OM＝2﹣x，BM＝1，∵OB2＝OM2+BM2，∴x2＝（2﹣x）2+1，解得x＝54故选B．【点睛】本题考查了圆的切线性质，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键．考点5：切线的性质——求角度典例5：（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是AB上一点，若∠APB＝

A．110° B．100° C．140° D．80°【答案】A【分析】连接OA、OB，作AB所对的圆周角∠ADB，如图，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB=140°，接着根据圆周角定理得到∠ADB=70°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，作AB所对的圆周角∠ADB，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°-∠APB=180°-40°=140°，∴∠ADB=1∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-70°=110°．故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．【变式1】（2023·福建·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上，过点C的切线与AB的延长线交于E．∠D与∠E的关系是（

）A．∠D+∠E=90°B．12∠D+∠E=90°C．2∠D-∠E=90° D【答案】C【分析】连接BC,OC，根据圆周角定理及等边对等角得出∠D=∠ABC=∠OCB，再由等量代换及各角之间的关系计算即可．【详解】解：连接BC,OC，如图所示：则CE⊥OC，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB∴∠D=∠ABC=∠OCB．∴2∠ABC+∠BOC=180°，∠BOC+∠E=90°．∴2∠D-∠E=90°，故选：C．【点睛】题目主要考查切线的性质及圆周角定理，等边对等角，作出辅助线，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．【变式2】（2023·福建福州·统考二模）如图，△ABC中，O是BC上一点，以O为圆心，OC长为半径作半圆与AB相切于点D．若∠BCD=20°，∠ACD=30°，则∠A的度数是（

）

A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】B【分析】由切线的性质得到∠ODB=90°，由等腰三角形的性质，得到∠ODC=∠OCD=20°，由三角形外角的性质得到∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，由直角三角形的性质得到∠B=50°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【详解】解：连接OD，

∵AB与⊙O相切于D，∴半径OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=20°，∴∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，∴∠B=90°-∠BOD=50°，∵∠BCD=20°，∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=80°．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．【变式3】（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C是⊙O上一点，连接BC、OC，延长OC交过点A的切线于点P，若∠P=40°，则∠ABC的度数是（）A．35° B．20° C．30° D．25°【答案】D【分析】根据PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径得∠PAO=90°，∠P=40°，即可得∠AOC=50°，根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOC=180°-∠P-∠PAO=180°-40°-90°=50°，∴∠ABC=1故选：D．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理，切线的性质．考点6：切线长定理——求周长典例6：（2022秋·九年级单元测试）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，则△BMN

A．20cm B．22cm C．24cm【答案】D【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到△BMN的周长．【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆,AB、AC、BC是⊙O的切线，又∵MN切⊙O于点K，

∴AF=MK、AE=AF、CE=CD、ND=NK、BF=BD，∴△BMN的周长为：BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD设AE=AF=a，BF=BD=b，CE=CD=c，则AB=18=b+a、BC=20=b+c、AC=12=a+c，解得a=5b=13∴△BMN的周长为：BF+BD=2b=26cm．故选D．【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．【变式1】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，若AC=10，∠BAC=30°，则△PAB的周长为（A．8 B．103 C．20 D．【答案】D【分析】如图所示，连接OB，先根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC=90°，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB=53，再根据切线的性质和切线长定理得到PA=PB，∠PAB=60°，进而证明△PAB【详解】解：如图所示，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠BAC=30°，∴BC=1∴AB=A∵PA、PB分别切⊙O于点A、∴PA=PB，∴∠PAB=∠OAP-∠BAC=60°，∴△PAB是等边三角形，∴PA=PB=AB=53∴△PAB的周长为PA+PB+AB=153故选D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB，AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，根据切线的性质得到DM=DN，EM=EH，BN=BG，【详解】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，∵⊙I为△ABC的内切圆，∴DM=DN∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，∴AB+AC+BC-AD+DE+AE即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC-AD+DM+EM+AE∴2BC=12，∴BC=6；故选：D．【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，正确理解切线长定理是解题的关键．【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（

）

A．7 B．8 C．9 D．16【答案】A【分析】根据切线长定理，进行线段的等量转换即可解答．【详解】

解：如图，将三角形三边以及DE与圆的切点，分别标为G、∵⊙O是△ABC的内切圆，且DE为⊙O的切线，∴DF=DG，EF=EH，BG=BI，CH=CI，∴△ADE的周长=AD+AE+FD+FE=AD+AE+DG+EH=AG+AH=AB+AC-BG-CH=AB+AC-BC∵△ABC的周长为25，BC的长是9，∴△ADE的周长=△ABC的周长-2BC=25-2×9=7．故选：A．【点睛】本题考查了切线长定理，熟练进行线段的等量转化是解题的关键．考点7：直角三角形与内切圆典例7：（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r是（

A．2 B．3 C．4 D．无法判断【答案】A【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6如图：设△ABC的内切圆与各边的切点分别为点D,E,F，连接OD,OE,OF，则：OD=OE=OF=r,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB，

∵S△ABC∴12AC⋅BC=1∴r=2；故选A．【点睛】本题考查求三角形内切圆的半径．熟练掌握等积法求内切圆的半径，是解题的关键．【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图，在ΔABC中，AB+AC=52BC,AD⊥BC于D，⊙O为ΔABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则RA．12 B．27 C．13【答案】B【分析】⊙O分别与ΔABC的三边切于P，Q，T，连接OA,OB,OC,OP,OQ,OT，利用SΔABC=S【详解】如图，令⊙O分别与ΔABC的三边切于P，Q，T，连接OA,OB,OC,OP,OQ,OT∴OP⊥AB,OQ⊥AC,OT⊥BC∴SΔABC=1=1=又∵AB+AC=∴S又∵AD⊥BC,AD=h∴S∴7∴7∴R故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．【变式2】（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=8，BC=17，CA=15，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形OFAE是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∵AB=8，BC=17，CA=15，∴AB∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，∵⊙O与AB，AC分别相切于点F、∴OF⊥AB，OE⊥AC，OF=OE，∴四边形OFAE是正方形，设OE=r，则AE=AF=r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD=BF=8-r，CD=CE=15-r，∴8-r+15-r=17，∴r=8+15-17∴阴影部分的面积是：32故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．【变式3】（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，⊙O与∠A=90°的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、FA．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】连接OD，OF，首先根据切线长定理得到BD=BE=10，CE=CF=3，然后证明出四边形ADOF是正方形，然后设【详解】如图，连接OD，∵AC、AB、∴BD=BE=10，CE=CF=3，AD=AF，OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO=∠AFO=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形ADOF是矩形，∴矩形ADOF是正方形，∴AD=OD，设AD=AF=x，Rt△ABC中，AB=BD+AD=x+10，AC=CF+AF=x=3，BC=BE+CE=13由勾股定理得，AB∴10+x2∴x1∴OD=2，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．考点8：一般三角形与内切圆典例8：（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．2【答案】A【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC=【详解】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE,OF,OG,OA,OB,OC，设⊙O的半径为r，则OE⊥AB,OF⊥AC,OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∵S==1又△ABC的周长为18，面积为9，∴9=1∴r=1，故选：A.

【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.【变式1】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则RA．38 B．27 C．13【答案】A【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．【详解】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线交AB、AC、BC于点E、G、F，S△ABC∵AB+AC=5∴S∵AD的长为h，∴S∴1∴h=8∴R故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键．【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm【答案】A【分析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：连接OA、OB．∵点O是△ABC的内心，∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．∵EF//BA，∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．∴EO＝EA，OF＝FB．∴EF＝AE＋BF，∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，故选：A．【点睛】本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．【变式3】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式S=14c2a2-c2+a2-b2A．54 B．52 C．102【答案】B【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为45，然后设这个三角形内切圆的半径为r，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出S=12【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，∴S======45如图，设这个三角形内切圆的半径为r，则S=1即12∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，∴12解得：r=5∴这个三角形内切圆的半径为52故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解本题的关键在正确求出代数式的值．同步过关一、单选题1．（2022春·重庆·九年级校联考阶段练习）△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若∠B=20°，则∠C的大小等于（

）A．50° B．25° C．40° D．20°【答案】A【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA，∵∠B=20°，∴∠AOC=2∠B=40°，∵AC与圆相切于点A，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°-40°=50°，故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠A＝12∠BOC＝25°∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，已知PA与⊙O相切于点A，∠P=22°，则∠POA=（

）A．55° B．58° C．68° D．88°【答案】C【分析】根据切线的性质求出∠OAP=90°，结合∠P=22°可得结果．【详解】解：∵PA与⊙O相切，∴∠OAP=90°，∵∠P=22°，∴∠POA=90°-22°=68°，故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握切线与过切点的半径垂直．4．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（

）A．2 B．12+3 C．2【答案】C【分析】延长AB到点D，使BD=BC，则AB+BC=AB+BD=AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB=45°，可得OC=CE=1，根据勾股定理可得OE的长，继而可得出结论．【详解】解：如图，延长AB到点D，使BD=BC，则AB+BC=AB+BD=AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，∵CB⊥l∴∠DBC=90°∵BD=BC∴∠CDB=45°∵⊙O与直线l相切于点A，∴OA⊥l∴∠OAD=90°∴∠AED=45°连接OC，则OC⊥DE在Rt△OCE中，OC=CE=1，由勾股定理得，OE=∴AD=AE=AO+OE=1+∴AB+BC的最大值是1+2故选：Ｃ．【点睛】本题考查切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．5．（2022·辽宁抚顺·一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，则∠P的度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，再由圆周角定理求出∠COB=60°，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC，∵CP是圆O的切线，∴∠OCP=90°，∵∠CDB=30°，∴∠BOC=2∠CDB=60°，∴∠P=90°-∠COP=30°，故选A．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学阶段练习）等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为()A．1：2 B．1：2 C．1：3 D【答案】B【分析】连接OD、OE，根据切线长定理和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．【详解】如图，连接OD、OE；∵AB、AC切圆O于E、D，所以OE⊥AB，OD⊥AC；且又∵△ABC∴∠BAC∴∠OAC∴OD：AO=1：故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，等边三角形的性质和判定，切线长定理以及直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．（2022秋·广东汕头·九年级林百欣中学校考阶段练习）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P=70°，则∠ABO=（

）A．30° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB∴∠PAB=∠PBA∵∠P=70°∴∠PBA=(180°-70°)÷2=55°∵OB⊥PB∴∠OBP=90°∴∠ABO=90°-55°=35°故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】B【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．【详解】解：连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=25°，∴∠BAC=∠CDB=25°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=25°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=50°，则∠E=40°．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．9．（2023·四川内江·威远中学校校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是EC的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接AC，EC．若∠ACE=32°，则∠ADB的度数为（

）A．48° B．52° C．58° D．68°【答案】C【分析】根据垂径定理得到BA⊥EC，求得∠BAC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据切线的性质得到BA⊥AD，进而得出答案．【详解】解：∵点A是EC的中点，∴BA⊥EC，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=90°-∠ACE=58°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=32°，∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∴∠ADB=90°-∠B=58°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．（2022秋·天津和平·九年级天津二十中校考期末）如图，AB、CD分别与半圆OO切于点A，D，BC切⊙O于点E，若AB=4，CD=9，则⊙O的半径为（）A．12 B．63 C．6 D．5【答案】C【分析】过B作CD的垂线，设垂足为F；由切线长定理知：BA=BE，CE=CD；即BC=AB+CD；在构建的Rt△BFC中，BC=AB+CD，CF=CD-AB，根据勾股定理即可求出BF即圆的直径，进而可求出⊙O的半径【详解】过B作BF⊥CD于F，∵AB、CD与半圆O切于A、D，∴∠BAD=∠CDA=∠BFD=90°，∴四边形ADFB为矩形，∴AB=DF，BF=AD，∵AB=BE=4，CD=CE=9；∴BC=BE+CE=13；∵AB、CD与半圆O相切，∴四边形ADFB为矩形；∴CF=CD-FD=9-4=5，在Rt△BFC中，BF=BC2-CF∴AD=BF=12，∴⊙O的半径为6．故选C．【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．二、填空题11．（2022秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期末）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，若PA＝3，∠APO＝45°，则⊙O的半径是．

【答案】3．【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，问题得解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APO＝45°，∴OA＝PA＝3，故答案为：3．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图PA切⊙O于点A，∠PAB=30°，则∠AOB=度，∠ACB【答案】6030【分析】根据圆周角定理和弦切角定理求解即可．【详解】由圆周角定理知，∠AOB=由弦切角定理知，∠C=故答案为：60°；30°．【点睛】本题利用了圆周角定理和弦切角定理求解．13．（2022·新疆昌吉·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为．【答案】6【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度．【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，则BH=CH，∴BC=2HB，∵⊙M与x轴相切于点A，∴MA⊥OA，∵圆心M的坐标是(4，5)，∴MA=5，MH=4，∴MB=MA=5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=M∴BC=2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理的知识．解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．14．（2022·福建泉州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A2,0，点B是直线y=-x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y=-x相切时，点B的坐标为【答案】1,-1【分析】根据切线的性质证明AB⊥OB，根据直线为y=-x可判断∠AOB=45°，则可利用三角函数求出OB的长，继而求出点B坐标．【详解】当⊙A与直线y=-x相切时，AB⊥OB，∵点B是直线y=-x上的一个动点，∴设点B的坐标为(m，-m)，点B到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴∠AOB=45°，∵点A坐标为2,0，∴OA=2，∴OB=OA⋅cos∴m=OB⋅cos∴点B的坐标为(1，-1)，故答案为：(1，-1)．【点睛】本题考查了圆、一次函数和三角函数，解题关键在于根据切线性质证明AB⊥OB从而求出相关线段长．15．（2022秋·全国·九年级期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP，垂足为点N．若⊙O的半径R=3，PA=9，则OM的长是．【答案】5【分析】首先证明四边形OANM是矩形，然后证明Rt△OBM≌Rt△MNP，得出OM=MP，最后在Rt△MNP中利用勾股定理即可解题．【详解】如图，连接OA，OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥AP，OB⊥BP∵MN⊥AP，∴OA//MN∵OM//AP，∴四边形OANM是矩形，∴OA=MN=3．∵OA=MN,OA=OB，∴OB=MN．∵OM//AP，∴∠BMO=∠NPM，∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM=MP．设OM=x，则NP=9-x，∵MP2∴x2解得x=5，即OM=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握全等三角形的判定及性质，切线的性质及勾股定理是解题的关键．16．（2022秋·九年级单元测试）边长为6，8，10的三角形，其内心和外心间的距离为．【答案】5【分析】根据题意作图．利用在Rt△ABC，可求得AB=10cm，根据内切圆的性质可判定四边形OECD是正方形，所以用r分别表示：CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，利用AB作为相等关系求出r=2cm，则可得AN=4cm，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在Rt△OMN中，先求得MN=AM-AN=1cm，由勾股定理可求得OM=5cm．【详解】解：如图：在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm．设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD=OE=r，∵∠C=90°，∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，∴8-r+6-r=10，解得r=2cm，∴AN=4cm，在Rt△OMN中，MN=AM-AN=1cm，∴OM=5cm.故答案是：5cm.【点睛】考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．三、解答题17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA=OB，∴AC=BC．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．18．（2023·山东济宁·九年级统考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．【答案】证明见解析．【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．【详解】连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A．19．（2023·广东·九年级专题练习）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.【答案】证明见解析【分析】连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线．【详解】证明：连接OD,∵BC是和⊙O相切于点B的切线∴∠CBO=90°.∵AD平行于OC，∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；∵∠ODA=∠A，∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，∴△OCD≌△OCB，∴∠CDO=∠CBO=90°．∴DC是⊙O的切线．20．（2023·江苏盐城·统考二模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上不同于A、B的两点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．(1)若AD＝BC，证明：△ABC≌△BAD；(2)若BE＝BF，∠DAC＝29°，求∠EAB的度数．【答案】(1)见解析(2)29°【分析】（1）根据圆周角定理得∠ADB＝∠ACB＝90°，根据HL进行证明即可；（2）根据切线的性质，得∠ABE＝90°，再由等角的余角相等，等边对等角，得∠EAB＝∠DAC，即可得出结论.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC与Rt△BAD中，AD=BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）解：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠EAB＝∠DAC，∵∠DAC＝29°，∴∠EAB＝29°．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解决问题的关键.21．（2022秋·江苏·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC与点D，过点D作⊙O的切线EF，交AC于点E，交AB的延长线于点F．求证：（1）BD＝CD；（2）∠BAC＝2∠EDC．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)连接AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则AD⊥BC，因为AB=AC，所以BD=CD;(2)连接OD.由AB是⊙O的切线，得到∠ODE=90°，则AD⊥BC，根据三角形内角和定理得到OD=OA，由（1）得BD