泰勒公式的推广与应用

PAGE1泰勒公式的推广与应用摘要：泰勒公式是高等数学中非常重要的一部分内容，它在分析和研究一些数学问题中，有着广泛地应用，浅谈泰勒公式在研究方程根的存在性和唯一性、求极限、近似计算以及证明等式或不等式等问题中的方法和技巧。通过对泰勒公式的简单介绍和总结，拓宽泰勒公式在数学问题上的广泛应用，探究泰勒公式在具体数学问题上的应用，使泰勒公式成为被大家广泛接受的数学学习工具。进而讨论泰勒公式在其他领域的应用，使泰勒公式真正成为能够解决实际问题的重要工具和理论基础。在数学学习的过程中我们可以发现很多函数都能用泰勒公式表示，特别在求函数的近似值，求函数的极值和判断级数收敛性的问题中泰勒公式都有着重要作用。正因为泰勒公式是数学学习和解决实际问题的重要理论工具，这就要求我们要掌握泰勒公式的基本思想和在各个领域中的具体应用，以便在今后的学习生活中更方便和灵活的研究一些运算复杂和函数问题，更好的利用泰勒公式解决各领域的实际问题本文主要针对泰勒公式的推广与应用进行了相关的阐述分析，希望为泰勒公式的发展和应用提供一定的帮助。关键词：泰勒公式；导数；极限；近似计算ThegeneralizationandApplicationofTaylorFormulaAbstract:Taylorformulaisaveryimportantpartofhighermathematics.Itiswidelyusedintheanalysisandstudyofsomemathematicalproblems.Methodsandtechniquesinapproximatecalculationandproofofequalityorinequality.ThroughabriefintroductionandsummaryofTaylor'sformula,theextensiveapplicationofTaylor'sformulainmathematicalproblemsisexpanded,andtheapplicationofTaylor'sformulatospecificmathematicalproblemsisexplored.TheapplicationofTaylorformulainotherfieldsisdiscussed,sothatTaylorformulacanreallybeusedtosolvetheproblem.Inthecourseofmathematicallearning,wecanfindthatmanyfunctionscanbeexpressedbyTaylorformula,especiallyinfindingtheapproximatevalueoffunction.Taylor'sformulaplaysanimportantroleinfindingtheextremumoffunctionandjudgingtheconvergenceofseries,preciselybecauseTaylor'sformulaisanimportanttheoreticaltoolformathematicallearningandpracticalproblemsolving.ThisrequiresustomasterthebasicideaofTaylor'sformulaanditsspecificapplicationinvariousfields,sothatwecanstudysomecomplexandfunctionalproblemsmoreconvenientlyandflexiblyinourfuturestudyandlife.BetteruseofTaylorformulatosolvepracticalproblemsinvariousfieldsthispapermainlyaimsatTaylorTheextensionandapplicationoftheformulaarediscussedandanalyzedinordertoprovidesomehelpforthedevelopmentandapplicationofTaylorformula.Keyword:Taylorformula;derivative;limit;approximatecalculation泰勒公式及其应用1绪论1.1研究背景十七世纪以来，数学界人才辈出，近代微积分高速发展，极限作为数学研究的重要概念也被明确的提了出来。最初极限没有形成严谨完善的定义。可想而知，极限并没有被认可。最先给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克数学家贝尔纳·波尔查诺，但在很长一段时间中极限没有受到应有的重视。直至18世纪，数学家们才开始了对极限的深度研究柯，1820年法国数学家柯西创造性地使用极限理论将微积分学中的定理加以严格全面的证明。之后德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，最终解决了之前存在的问题。经过长达近百年的研究和论证，极限在数学界中的地位不断提高，近代大量数学家都从事了相关问题的研究。泰勒、笛卡尔、费马等人都贡献了重要理论知识和实践研究。

泰勒公式的提出和发展也经历了相当漫长的过程。1715年泰勒出版《增量法及其逆》首次提出了泰勒公式，泰勒根据牛顿提出的有限差分法，推导出了格里戈里-牛顿插值公式,进而设初始变量为零,项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式。泰勒的理论在当时并没有引起关注和认可。直到1755年，瑞士数学家欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”，世人才开始渐渐认识并接受泰勒公式，后来拉格朗日另辟蹊径，采用带余项的级数作为其函数理论的基础，引起了数学家的广泛关注，一举确认了泰勒级数在数学研究以及应用中的重要地位。

泰勒公式作为分析和研究函数极限的重要理论工具，可以将复杂的问题简单化，并且能够满足较高的精确度和准确率，可以应用多个数学领域。为近代微积分的高速展提供了强有力的支持。

虽然泰勒公式应用于多个数学领域，但有些学者或学派不认同或很少提及泰勒公式，他们普遍认为泰勒公式不够严谨，不能完全适用于解题以及计算当中。因此在泰勒公式的应用方面还有很大的提升空间值得我们研究。1.2研究意义1715年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒公式：当时变称作麦克劳林公式。1772年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，进而从一元推广到多元，多元泰勒公式又进一步推广到多维与无限维空间上的算子情形，即巴拿赫空间上的泰勒公式，从而进一步确认了泰勒公式的重要地位。泰勒公式是分析学中非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明等方面都有着重要的应用，而且在其它数学分支如微分方程、计算方法、泛函分析、概率论与数理统计、代数学等分支中同样具有重要意义。同时，泰勒公式在其它学科中也有着广泛而重要的应用。例如，在风险评估中、金融学中期望效用函数和均值－方差分析的关系、时间序列分析中的平稳化过程、弹性力学中的广义Hooke定律等都需要借助泰勒公式才能获得重要结果。因此，我们有必要对泰勒公式进行深入、系统的回顾，从而更好地利用这一有力工具。2泰勒公式理论介绍2.1泰勒公式的定义我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点处可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数。为此，我们考察任一次多项式逐次求它在点处的各阶导数，得到即由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数。由这些导数构造一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数。2.2泰勒公式的类型1带有佩亚诺余项型的泰勒公式：若函数在点存在直到阶导数，则有2带有拉格朗日型余项的泰勒公式泰勒定理若函数在上有阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意的，必存在一点，使得（1）其中称为拉格朗日型余项。3带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式在（1）式中设，有下面是5个常用的麦克劳林公式（2）3泰勒公式的应用泰勒公式及其几个常见函数的展开式，阐述了泰勒公式在判断级数敛散性，求行列式的值，求近似计算，证明不等式，求函数极限等方面的应用。下面从讨论级数敛散性、计算极限、证明不等式、研究函数性质、证明不等式等几个方而来探讨泰勒公式的应用。在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，同时泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差估计．从变换的角度看，泰勒公式具有将复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的功能，更进一步从本质上展示了泰勒公式的核心与灵魂，这种化繁为简的性质使它在分析和研究数学问题等各个方面发挥了巨大的作用．3.1利用泰勒公式判断级数的敛散性判断级数的敛散性，最主要的问题是求出级数的极值，且希望极值，利用泰勒公式就可以较容易的解决。例1：讨论级数的敛散性解：由泰勒展开式（2）得：选取比较级数因为而级数收敛，所以由级数敛散性判别定理1知级数收敛。3.2利用泰勒公式求极限有时候利用洛必达法则求极限会遇到比较复杂的运算，步骤也多，而利用泰勒公式来求极限，则会简单得多。例2：假设，并且，证明：证：按题设有其中又因为存在，故所以从而有注意到上式两边去极限可得3.3利用泰勒公式求近似值当要求的算式不能得出它的准确值，只能求得靠近似值，这时候，泰勒公式是解决这种问题的好方法。例3：当充分小时，推导近似公式，解：因为在邻域内任意阶可导，故由带佩亚诺余项的泰勒公式，可得另一方面，因为在邻域内任意阶可导，且在该邻域内。由带佩亚诺余项的泰勒公式的唯一性得对比上面两个式子，由泰勒公式的唯一性得所以即有可得，，，于是由此可见，当足够小时，有。3.4利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式的各种展开式，可以比较容易的证明不等式。例4：假设是可微分二次的函数，且，证明不等式证：由泰勒公式对任何都有（3）（4）其中位于与之间，位于与之间（3）式减去（4）式得到即所以即上式对任何都成立，故左边二次式的判别式必小于等于0，即即由的任意性有。3.5利用泰勒公式研究函数的性质在利用泰勒公式研究各种函数的性质时，往往都要用到泰勒展开式。例5：设为一次多项式，若皆为正值。证明在上无根。证：在题设条件下，假定，使得，注意多项式处处任意阶可导，故存在，使得，于是，由泰勒公式，在上，有注意，故中，所以任一项即，假定有误，由的任意性及知在上无根。3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式例6：将多项式表为的幂的多项式解：令，则，代入表达式中得故关于的幂的多项式为其实泰勒公式的应用远远不止这些，在这里只能说明一部分，也证明了泰勒公式的应用面之广。但是，在某些特定的情况下，使用泰勒公式才能做到方便和快捷，例如在证明不等式时，当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式时，作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明简单不少；还有就是利用泰勒公式求近似值时，当离越来越远，效果会越来越差，甚至产生完全错误的结果。所以，泰勒公式不是万能的，利用泰勒公式的时候要对具体的情况进行分析，否则可能会得到相反的结果。在对函数的某些形态进行理论分析时，泰勒公式大有用武之地，是最有力的数学工具之一，在数学的各个分支中等都有广泛的应用，包括求极限，级数的敛散性，近似值，不等式，函数的性质和初等函数的幂级数展开式等。从近似计算角度来说，泰勒公式对附近的有较高的精度，在求极限方面节省的很多步骤和时间。4泰勒公式在其他学科的应用泰勒公式不仅在数学学科有着广泛而深刻的应用，而且在其它学科的应用也非常广泛和普及．它除了在传统的力学、控制论、计算机、工程建筑等领域外，还在统计学、金融、保险与精算等新兴领域发挥着日益重要的作用．它们应用的共同点都是用到了泰勒公式的精髓：逼近思想。4.1泰勒公式在力学中的应用力学中的广义Hooke定律是解决有关材料力学问题的重要工具之一．它建立了微体上的应力与应变之间的关系，在工程应用方面也显示出它的重要性．然而，广义Hooke定律的建立就依赖于泰勒公式。应力与应变关系最一般的形式可表示是为4.2泰勒公式在风险评估中的应用风险无处不在，它可能对个人和社会造成巨大的损失，所以有效的风险管控变得尤为重要．风险管控的前提是对风险准确有效的预测．评估风险由各种风险因素组成，Taylor公式是一种非常有力的工具，可以用来研究风险评估中各参数值的改变对总风险的影响，从而提高评估的准确性。4.3泰勒公式在时间序列分析中的应用在当前大数据时代，随机数学中时间序列分析的研究变得越来越重要．但大多数实际数据都是非平稳序列，因而其平稳化就成为不可缺少的重要一步，泰勒公式在时间序列的平稳化过程中起到了关键性作用。结论泰勒公式也称为泰勒中值定理，是高等数学课程的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，应用也非常广泛。但在高等数学课程中没有深入广泛的展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的两方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解。参考文献[1]邱克娥,彭长文.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例[J].贵州师范学院学报,2017,33(06):76-79.[2]袁秀萍.灵活运用泰勒公式提高解题能力[J].高等数学研究,2017,20(03):39-41+47.[3]袁占斌,王俊刚,聂玉峰,孙浩.积分型余项的泰勒公式与分数阶导数[J].高等数学研究,