人教版九年级数学下册《导学案》全套

人教版九年级数学下册《导学案》全套第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.1反比例函数学习目标：1.理解并掌握反比例函数的概念.(重点)2.从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S(km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.合作探究合作探究要点探究探究点1：反比例函数的概念问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？【要点归纳】一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.思考1：反比例函数(k≠0)的自变量x的取值范围是什么？思考2：反比例函数除了可以用(k≠0)的形式表示，还有没有其他表达方式？【要点归纳】反比例函数有三种表达方式：①(k≠0)；②(k≠0)；③xy=k(k≠0).【针对训练】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值.①y=3x-1；②；③；④；⑤.【典例精析】例1已知函数是反比例函数，求m的值.【方法总结】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的x的次数为－1，且系数不等于0.【针对训练】1.当m=时，是反比例函数.2.已知函数是反比例函数，则k必须满足.探究点2：确定反比例函数的解析式例2已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.写出y关于x的函数解析式；(2)当x=4时，求y的值.【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出反比例函数解析式.【针对训练】已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y=4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当x=7时，求y的值．探究点3：建立简单的反比例函数模型例3人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80度，如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时,视野的度数.例4如图，已知菱形ABCD的面积为180平方厘米，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.下列函数中，y是x的反比例函数的是()A.B.C.D.2.下列实例中，x和y成反比例函数关系的有()①x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg；②底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m³；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为x，放满一桶水的时间yA.1个B.2个C.3个D.4个3.填空：(1)若是反比例函数，则m的取值范围是.(2)若是反比例函数，则m的取值范围是.(3)若是反比例函数，则m的值是.4.已知变量y与x成反比例，且当x=3时，y=－4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当y=6时，求x的值.5.小明家离学校1000m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t(min)．(1)求变量v和t之间的函数关系式；(2)小明星期二步行上学用了25min，星期三骑自行车上学用了8min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？能力提升：6.已知y=y1+y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=－3；当x=1时，y=－1，求：(1)y关于x的关系式；(2)当x=时，求y的值.参考答案自主学习一、知识链接解：(1)(2)(3)合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的概念【针对训练】解：②是，k=3；④是.【典例精析】例1解：因为是反比例函数，所以解得m=－3.【针对训练】1.±12.k≠2且k≠-1.探究点2：确定反比例函数的解析式例2解：（1）设.因为当x=2时，y=6，所以有，解得k=12.因此.（2）把x=4代入，得.【针对训练】解：(1)设，因为当x=3时，y=4，所以有，解得k=16，因此.(2)当x=7时，.探究点3：建立简单的反比例函数模型例3解：设.由题意知，当v=50时，f=80，所以解得k=4000.因此，当v=100时，f=40.所以当车速为100km/h时视野为40度.例4解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以.所以变量y与x之间的关系式为，它是反比例函数.当堂检测1.A2.B3.(1)m≠1(2)m≠0且m≠-2(3)-14.解：(1)设.因为当x=3时，y=－4，所以有，解得k=－12.因此，y关于x的函数解析式为(2)把y=6代入，得，解得x=－2.5.解：（1）(t>0)．（2）当t＝25时，；当t＝8时，，.125－40＝85(m/min)．答：他星期三上学时的平均速度比星期二快85m/min.能力提升：6.解：（1）设y1=k1(x－1)(k1≠0)，(k2≠0)，则y=k1(x－1)+，.∵x=0时，y=－3；x=1时，y=－1，∴，∴k1=1，k2=－2.∴y=x－1（2）把x=代入(1)中函数关系式，得y=.第二十六章反比例函数26.1.2反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质学习目标：1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程(重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.(重点)3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接回顾我们上一课的学习内容，你能写出200m自由泳比赛中，游泳所用的时间t(s)和游泳速度v(m/s)之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？合作探究合作探究要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质例1画出反比例函数与的图象.【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.解：列表：x…-6-5-4-3-2-1123456……………描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得与的图象．思考观察这两个函数图象，回答问题：（1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？（3）对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？【要点归纳】反比例函数(k＞0)的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而减小.【针对训练】反比例函数的图象大致是()A.B.C.D.例2反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B均在该函数图象的第一象限部分，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系为()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定【提示】因为8＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据x1＞x2，可知y1，y2的大小关系观察当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？思考回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？【要点归纳】反比例函数(k＜0)的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.【针对训练】点(2，y1)和(3，y2)在函数的图象上，则y1y2(填“>”“<”或“=”).例3已知反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而增大，求a的值.【针对训练】已知反比例函数在每一个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．二、课堂小结反比例函数(k≠0)kk>0k<0图象图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限性质在每一个象限内，y随x的增大而减小在每一个象限内，y随x的增大而增大当堂检测当堂检测1.反比例函数的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限2.在同一直角坐标系中，函数y=2x与的图象大致是()3.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4.下列关于反比例函数的图象的三个结论：（1）经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小；（3）双曲线位于第二、四象限.其中正确的是________(填序号).5.已知反比例函数的图象过点(－2，－3)，图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2>0，则y1－y2________0.6.已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.能力提升：7.已知点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质例1解：列表：-1---2-3-66321-2---4-6-1212642描点、连线如图所示.【针对训练】C例2C【针对训练】<例3解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.【针对训练】解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.当堂检测1.B2.D3.m＞24.（1）（3）5.＜6.解：因为反比例函数的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，且m＞0，解得m=2.能力提升：7.解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解；②当这两点分别位于图象的两支上时，∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a－1＜0，a+1＞0，解得－1＜a＜1.故a的取值范围为－1＜a＜1．26.1.2反比例函数的图象和性质第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用学习目标：1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接1.反比例函数的图象是什么？2.反比例函数的性质与k有怎样的关系？合作探究合作探究要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【针对训练】已知反比例函数的图象经过点A(2，3)．（1）求这个函数的表达式；（2）判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当－3<x<－1时，求y的取值范围．探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（）A．－1B．3C．1D．0探究点3：反比例函数解析式中k的几何意义操作1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下列表格：S1的值S2的值

S1与S2的关系猜想

S1，S2

与

k的关系P

(2，2)

，Q

(4，1)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想

S1，S2

与

k的关系P

(－1，4)，Q

(－2，2)猜想由前面的探究过程，可以猜想：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.证明我们就k<0的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数，点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.【针对训练】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB【典例精析】例3如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．【针对训练】1.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于点A.若△POA的面积为6，则k=.2.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.例4如图，P，C是函数(x>0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则(1)S1=；(2）梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；（3）△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.（填“＞”，“＜”或者“＝”）【针对训练】如图，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为.例5如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则SABCD=___.【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.【针对训练】如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为（）A.2B.4C.6D.8探究点4：反比例函数与一次函数的综合思考在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？例6函数y=kx－k与（k≠0）的图象大致是（）【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是（）例7如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为.【针对训练】如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是．例8已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为．二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB⊥x轴于点B，连接OP，且△OBP的面积为2，则k的值为（）A.4B.2C.－2D.不确定2.反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．3.如图，直线y=k1x+b与反比例函数(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＞的解集是__________．4.已知反比例函数的图象经过点A(2，－4).（1）求k的值；（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化?（3）画出该函数的图象；（4）点B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图象上？5.如图，直线y=ax+b与双曲线交于A(1，2)，B(m，－4)两点，（1）求直线与双曲线的解析式；（2）求不等式ax+b＞的解集.6.如图，反比例函数与一次函数y=－x+2的图象交于A，B两点.（1）求A，B两点的坐标；（2）求△AOB的面积.参考答案自主学习一、知识链接1.解：反比例函数的图象是双曲线2.解：当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.合作探究一、要点探究探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式例1解：（1）因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.所以反比例函数的解析式为.因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.【针对训练】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=6.∴这个函数的表达式为.（2）分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．（3）∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.探究点2：反比例函数图象和性质的综合例2解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.（2）因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.【针对训练】B探究点3：反比例函数解析式中k的几何意义证明解：设点P的坐标为(a，b)，∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.若点P在第二象限，则a<0，b>0，∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；同理，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.综上，S矩形AOBP=|k|.【针对训练】C【典例精析】例3解：设点A的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图象上，∴xA·yA＝k.又∵S△AOC＝xA·yA=·k＝2，∴k＝4.∴反比例函数的表达式为.【针对训练】1.-122.例4(1)2(2）>（3）=【针对训练】S1=S2<S3解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3例55【针对训练】D探究点4：反比例函数与一次函数的综合例6D【针对训练】B例7－2<x<0或x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2<x<0或x>3.【针对训练】-1<x<0或x>2例8解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为y=k1x和.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k1，.解得，k2=-12则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.【针对训练】（2,6）或（-2,-6）当堂检测1.A2.3.1＜x＜54.解：（1）∵反比例函数的图象经过点A(2，－4)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=－8.（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.（3）如图所示：（4）该反比例函数的解析式为.因为点B的坐标满足该函数解析式，而点C的坐标不满足该函数解析式，所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上.5.解：（1）把A(1，2)代入双曲线解析式中，得k=2，故双曲线的解析式为.当y=－4时，m=,∴B（，－4）.将A(1，2)，B（，－4）代入y=ax+b，得，a=4,b=-2;∴直线的解析式为y=4x-2.（2）根据图象可知，若ax+b＞，则x＞1或＜x＜0.6.解:（1）联立两个解析式，解得或所以A(－2，4)，B(4，－2).（2）一次函数与x轴的交点为M(2，0)，∴OM=2.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.26.2实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数学习目标：1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.2.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力.(重点、难点)3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围．自主学习自主学习一、知识链接、1.如果要把体积为15cm3的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y(单位：cm)与面条粗细(横截面积)S(单位：cm2)的函数关系式吗？2.你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？合作探究合作探究要点探究探究点1：实际问题与反比例函数【典例精析】例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深?(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?想一想：第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？【针对训练】1.矩形面积为6，它的长y与宽x之间的函数关系用图象可表示为（）2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．(1)漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系?(2)如果漏斗的深为1dm，那么漏斗口的面积为多少立方分米？(3)如果漏斗口的面积为60cm2，则漏斗的深为多少?例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?【方法总结】在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答.【针对训练】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．(1)假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；(2)若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？例3一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6小时达到乙地.(1)甲、乙两地相距多少千米？(2)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？二、课堂小结当堂检测当堂检测1.面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象可大致表示为（）2.体积为20cm3的滴胶做成圆柱体模型，圆柱体的高度y(单位：cm)与底面积S(单位：cm2)的函数关系为，若要使做出来的圆柱粗1cm2，则圆柱的高度是cm.3.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是________．(2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于______．4.某户现在有若干度电，现在知道：按每天用6度电计算，五个月(按15天计算)刚好用完.若每天的耗电量为x度，那么这些电能维持y天.(1)则y与x之间有怎样的函数关系？(2)画出函数的图象；(3)若每天节约1度，则这些电能维持多少天？5.王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位?6.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示.(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少m？参考答案合作探究一、要点探究探究点1：实际问题与反比例函数【典例精析】例1解：（1）根据圆柱体的体积公式，得Sd=104，∴S关于d的函数解析式为（2）把S=500代入，得，解得d=20.如果把储存室的底面积定为500m²，施工时应向地下掘进20m深.（3）根据题意，把d=15代入，得解得S≈666.67.当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².【针对训练】1.B2.解：（1）.（2）把d=1代入解析式，得S=3.所以漏斗口的面积为3dm2.（3）60cm2=0.6dm2，把S=0.6代入解析式，得d=5.所以漏斗的深为5dm.例2解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为.（2）把t=5代入，得.从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.【针对训练】解：（1）.（2）x=12×5=60，代入函数解析式得答：若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用20天才能运完.（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60=720(立方米)，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6=120(立方米)，所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10(辆)，即至少需要增加拖拉机10－5=5(辆).例3解：（1）80×6=480(千米)答：甲、乙两地相距480千米.（2）由题意，得vt=480，整理得(t＞0).当堂检测1.C2.203.(1)_____(2)240千米/时4.解：（1）电的总量为6×15=90(度)，根据题意有(x＞0).（2）如图所示.（3）∵每天节约1度电，∴每天的用电量为6－1=5(度)，，∴这些电能维持18天．5.解：（1）（2）把t=15代入函数的解析式，得：.答：他骑车的平均速度是240米/分.（3）把v=300代入函数解析式得：，解得：t=12．答：他至少需要12分钟到达单位．6.解：（1）（2）由图象可知共需开挖水渠24×50=1200(m)，2台挖掘机需要1200÷(2×15)=40(天).（3）1200÷30=40(m)，故每天至少要完成40m．26.2实际问题与反比例函数第2课时其他学科中的反比例函数学习目标：1.通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题.(重点)2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.试在下图中标出对应的量.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：反比例函数在其他学科中的应用【典例精析】例1小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？【针对训练】假定地球重量的近似值为6×1025牛顿(即阻力)，阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？例2某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力F一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化变化.如果人和木板对湿地地面的压力F合计为600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．【针对训练】某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷(木板的重量忽略不计)（）A.至少2m2B.至多2m2C.大于2m2D.小于2m2例3一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)这个用电器功率的范围是多少?【针对训练】1.在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（）2.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．二、课堂小结当堂检测当堂检测1.当电压为220V时(电压=电流×电阻)，通过电路的电流I(A)与电路中的电阻R(Ω)之间的函数关系为（）A.B.I=220RC.D.R=220I2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应()A.B.C.D.3.受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头.4.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是.5.蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？6.某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；(2)当它所受牵引力为1200N时，汽车的速度为多少千米每小时？(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则F在什么范围内？参考答案自主学习一、知识链接解：如图所示：合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数在其他学科中的应用【典例精析】例1解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.（2）当F=400×=200时，由200=，得l=3，3－1.5=1.5(m).对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.【针对训练】解：2000千米=2×106米，由已知得F×l＝6×1025×2×106=1.2×1032，变形，得：当F=500时，l=2.4×1029米，故用2.4×1029米动力臂的杠杆才能把地球撬动.例2解：（1）由，得，p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，就有唯一的一个p值和它对应，根据反比例函数定义，得出p是S的反比例函数．（2）当S＝0.2m2时，.故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．（3）当p=6000时，由，得S=0.1.对于函数，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.（4）如图所示.【针对训练】C例3解：（1）根据电学知识，当U=220时，得.（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值；把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W.【针对训练】1.D2.解：(1)设,∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培，∴U=10．∴I与R之间的函数关系式为(2)当I=0.5安培时，，解得R=20(欧姆)．当堂检测1.A2.C3.2米4.1kg/m35.解：（1）设，把M(4，9)代入得k=4×9=36.∴这个反比例函数的表达式为.（2）当R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是4A．6.解：（1）（2）把F=1200N代入求得的解析式,得v=50，∴汽车的速度是3600×50÷1000=180km/m.（3）F≥2000N.第二十七章相似27.1图形的相似学习目标：1.了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义.3.能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件判断两个多边形是否相似.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接全等形指的是两个能完全重合的图形，请画出两个可以完全重合的五边形，说说它们的对应边的比为多少？对应角有什么关系？合作探究合作探究要点探究探究点1：相似的概念观察与思考下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？【要点归纳】形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.思考1下面这2组分别是图形放大或缩小的情况，请问它们相似吗？1.图形的放大：2.图形的缩小：【要点归纳】两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.思考2你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？【针对训练】放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ 探究点2：比例线段【概念提出】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段成比例.【典例精析】例1 下列四组长度中的四条线段能成比例的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.2cm，4cm，6cm，8cmC.5cm，30cm，10cm，15cmD.5cm，10cm，15cm，20cm探究点3：相似多边形与相似比观察与思考多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的，而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.问题1这两个多边形相似吗？问题2在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？思考1任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？分析已知等边三角形的每个角都为60°,三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.推理同理，任意两个正方形都相似.归纳任意两个边数相等的正多边形都.思考2任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？【典例精析】例2如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.【针对训练】如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．二、课堂小结当堂检测当堂检测1.下列图形中能够确定相似的是[多选]（）A.两个半径不相等的圆B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形D.所有的正方形E.所有的等腰梯形F.所有的正六边形2.若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.3000mB.3500mC.5000mD.7500m3.如图所示的两个四边形是否相似？说明理由.4.观察下面的图形(a)~(e)，其中哪些是与图形(1)或(2)相似的？5.填空：(1)如图①是两个相似的四边形，则x=，y=，α=；(2)如图②是两个相似的矩形，x=.6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为EF，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1．(1)求BC的长；(2)求矩形ABFE与矩形ABCD的相似比.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：相似的概念【针对训练】解：相似，放大镜下的图形，只是大小变了，形状没有变.探究点2：比例线段【典例精析】例1 C探究点3：相似多边形与相似比归纳相似【典例精析】例2解：∵四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应角相等．由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.在四边形ABCD中，β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应边成比例，由此可得，即，解得x＝28cm.【针对训练】解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得，，，，解得a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.当堂检测1.ABDF2.D3.解：不相似.因为四条对应边的比例不相等.4.解：（1）与（a）、（2）与（d）相似.5.(1)2.51.590°(2)22.56.解：∵E是AD的中点，∴.又∵矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1，∴，∴AB2=AE·BC，∴.解得∴矩形ABEF与矩形ABCD的相似比为.27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例学习目标：1.理解相似三角形的概念.2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.(重点、难点)3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接1.相似多边形的对应角，对应边，对应边的比叫做.2.如图，△ABC和△A′B′C′相似需要满足什么条件？合作探究合作探究要点探究探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）操作如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.(1)计算的值，它们相等吗？(2)任意平移l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE，EF，同（1）中计算，它们还相等吗？【要点归纳】一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若l3∥l4∥l5，则，，，...【针对训练】如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.探究点2：平行线分线段成比例定理的推论观察与思考如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线n向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.若把直线n向左平移到B1与重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？【要点归纳】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.【针对训练】如图，DE∥BC，，则；FG∥BC，，则.【典例精析】如图，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，FC=4，那么AF的长是多少？(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？【针对训练】如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC=；FG∥BC，AF=4.5，则AG=.探究点3：相似三角形的引理如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？思考我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？根据下面的证明填空：用相似的定义证明△ADE∽△ABC证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如图，过点E作EF∥AB，交BC于点F.【解题过程补充完整】【要点归纳】判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型：“A”型“X”型【针对训练】1.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.2.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是.3.若△ABC的三条边长的比为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若BC=1，则EF的长为（）A.1B.2C.3D.4第1题图第2题图第3题图2.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，则EF的长为（）A.1cmB.cmC.3cmD.2cm3.如图，在△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比例式为＝.4.已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为.5.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．6.如图，已知菱形ABCD在△AEF的内部，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.参考答案自主学习一、知识链接1.相等成比例相似比.2.解：三条边相等，三个角相等.合作探究要点探究探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）【针对训练】D探究点2：平行线分线段成比例定理的推论【针对训练】【典例精析】解：（1）∵EF∥BC，∴,∴,解得AF=4.（2）∵EF∥BC，∴，∴，解得AC=.∴FC=AC－AF=.【针对训练】7.56探究点3：相似三角形的引理思考解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴，，∵四边形DEFB为平行四边形，∴DE=BF.∴，∴△ADE∽△ABC.【针对训练】1.32.4:33.24当堂检测1.B2.A3.ADEABC4.1:205.解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，又∵DE:EA=2:3，∴，即，解得AB=10.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=10.6.解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.∴△CDF∽△EAF，∴，设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴，解得x=，∴菱形的边长为cm.27.2.1相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似学习目标：1.复习已经学过的三角形相似的判定定理.2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获证明三角形相似的启发吗？3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？合作探究合作探究要点探究探究点1：三边成比例的两个三角形相似操作任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC的各边长的k倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？发现通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.证明下面我们用前面所学得定理证明该结论.【要点归纳】利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号语言：∵，∴△ABC∽△A′B′C.【典例精析】例1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm.【针对训练】已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(1)AB=3，BC=4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝9；(2)AB=4，BC=8，AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8.例2判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.【方法总结】判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.【注意】计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.例3如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且，求证：△A′B′C′∽△ABC.【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解例4如图，在△ABC和△ADE中，,∠BAD=20°，求∠CAE的度数.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由AB=5cm，BC=7cm，AC=8cm，A′B′=15cm，B′C′=21cm，A′C′=23cm.2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.3.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，求证：△ABC∽△DBA.4.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．5.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.参考答案自主学习一、知识链接1.解：仅形状不同的两个三角形是相似三角形，相似的判定定义有：对应角相等，对应边成比例，也有平行线判断相似.2.解：三角形全等判定有：边边边、角边角、角角边、边角边、斜边直角边.3.解：能.合作探究一、要点探究探究点1：三边成比例的两个三角形相似【典例精析】例1解：相似.理由如下：∵，，,∴∴△ABC∽△A′B′C′.【针对训练】解：（1）不相似；（2）相似.例2解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.∵，，，∴.∴△ABC∽△DEF.例3【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，∴BC=AB²－AC²=(2A′B′)²－(2A′C′)²=4（A′B′）²－4（A′C′）²=4(（A′B′）²－（A′C′）²)=4（B′C′）²=(2B′C′)².∴BC=2B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.例4解：∵，∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).∴∠BAC=∠DAE，∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.当堂检测1.解：不相似.理由如下：∵，，，∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例，∴不相似.2.解：相似，图①中的三角形三边分别为，2，；图②中的三角形三边分别为2，2，2.则，所以这两个三角形相似.3.证明：∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，∴AB=，AC=，AD=.∵AB:BC=BD:AB=AD:AC，∴△ABC∽△DBA.4.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴，∴△ABC∽△EFD.5.解：公路AB与CD平行.∴，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.27.2.1相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似学习目标：1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.(重点、难点)自主学习自主学习一、知识链接1.回忆我们学习过的判定三角形相似的方法.类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2.类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？合作探究合作探究要点探究探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似操作利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？思考改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？证明如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.【补全后面的证明过程】【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵，∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.思考对于△ABC和△A′B′C′，如果∠B=∠B′，，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.【结论】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.【典例精析】例1根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．【针对训练】在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.例2如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.例3如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.例4如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高可以转化为90°等.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.判断(1)两个等边三角形相似()(2)两个直角三角形相似()(3)两个等腰直角三角形相似()(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似()2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是()A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC第2题图第3题图3.如图△AEB和△FEC(填“相似”或“不相似”).4.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．5.如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证△ABC∽△AED.拓展提升6.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.参考答案自主学习一、知识链接1.解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL.2.解：能.合作探究一、要点探究探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明解：∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴.∵A′D=AB，，∴，∴A′E=AC.又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.【典例精析】例1解：∵，，∴，又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.【针对训练】证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴.又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.例2证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴，又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.例3解：∵AE=1.5，AC=2，∴.又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴，∴.例4证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.∵，∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.当堂检测1.(1)√(2)×(3)×(4)×2.D3.相似4.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴.又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，∴AD=.5.证明：∵AB·AD=AE·AC，∴.又∵∠DAB=∠CAE，∴∠