七年级数学考点大串讲（人教版）：难关必刷01有理数与整式加减综合之规律探究与新定义（解答40题专练）（解析版）

难关必刷01有理数与整式加减综合之规律探究与新定义（解答40题专练）一、解答题1．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．(1)______，=______；(2)求的值：(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值；（2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值；（3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：，；（2）依题意，；（3）∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．2．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b，(1)探究性质：①例：_________；_________；_________；________；②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律；(2)性质应用：①运用发现的规律求的值；②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是．【答案】(1)①，，，；②见解析，一般规律为(2)①；②【分析】（1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题．【详解】（1）解：①，，，，，故答案为：，，，；②例如：，，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为；（2）解：①；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，为偶数，最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．3．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．6(1)可求得，第2022个格子中的数为；(2)求前2022个格子中所填整数之和的值；(3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可）【答案】(1)6，(2)(3)【分析】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出的值，再根据第9个数是，可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2022除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．【详解】（1）解：设第三个数为，第四个数为，由题意得：，，，．根据表格可以看出，数据的规律为每三个数是一个循环，．，第2022个格子中的数与第三个格子中的数相同为：．故答案为：6，；（2）解：；（3）解：，，前404组数据之和为，，前1213个格子中所填整数之和，．【点睛】本题考查了数字的变化规律，找到数据变化的规律是解题的关键．4．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质．探索数的神秘性质素材尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；；请你按规律写出：．规律总结当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为；当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为．综合应用利用上面结论计算：．拓展延伸我们还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：

若（且m，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为．【答案】素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：64或216【分析】素材：设未知数，列方程求解即可；规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可；综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解；拓展延伸：根据题意，验证求解．【详解】解：素材：设，解得：，，故答案为：；规律总结：设，解得：，当时，，，故答案为：49，99，101；综合应用：，，，，…，拓展延伸：当时，，解得：，此时，当时，，解得，此时，故答案为：64或216．【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键．5．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：，如图2，A表示1个1×1的正方形，即：，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：，而A、B、C、D恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：．(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：___________（要求自己构造图形并写出推证过程）．(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：___________（要求直接写出结论，不必写出解题过程）．(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：___________=___________．(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个．(5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个．【答案】(1)推过程见解析，36(2)(3)，(4)441(5)1000【分析】（1）仿照推导的方法即可完成计算；（2）由前面两个推导即可得到一般规律；（3）由（2）的一般规律即可完成；（4）分别表示出棱长为1、2、3、4、5、6的正方体的个数，再由（2）得出的规律即可完成计算；（5）由，即可确定n的值．【详解】（1）解：A表示1个1×1的正方形，即：，E表示1个的正方形，F表示1个的正方形，两个B恰好可以拼成1个的正方形，1个C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、B、E就可以表示2个2×2的正方形，即：，1个C与D恰好可以拼成1个的正方形，C、D、C、D、F表示3个的正方形，即：；而这9个长方形恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：．故答案为：36；（2）解：由前面两个推导可得规律：；故答案为：；（3）解：由（2）得到的规律有：（个），故答案为：，；（4）解：棱长分别为1、2、3、4、5、6的正方体的个数分别为、、、、、个，则大小正方体一共有（个），故答案为：441；（5）解：由于，则，所以棱长为1的小正方体一共有（个）；故答案为：1000．【点睛】本题是数形结合的问题，通过几何图形间的数量关系作出几何解释，得出规律，并应用规律解决问题，考查了有理数的运算，列代数式，学生归纳推理能力及解决问题的能力．6．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③=___，（）⑤=___；（2）关于除方，下列说法错误的是___A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ=1；C．3④=4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）④=___；5⑥=___；（-）⑩=___．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___；（3）算一算：÷(−)④×(−2)⑤−(−)⑥÷【答案】初步探究：（1），8;（2）C；深入思考：（1），，；（2）；（3）-5.【分析】初步探究：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；深入思考：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；（3）先按照除方的定义将每个数的圈n次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得出答案.【详解】解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=（）⑤=（2）A：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A错误;B：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1，故选项B错误；C：3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，3④≠4③，故选项C正确；D：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D错误；故答案选择：C.深入思考：（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=（-）⑩=（2）aⓝ=a÷a÷a…÷a=（3）原式====-5【点睛】本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.7．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）【操作发现】如图，现有，，，的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到一个等式，这个等式是______．【应用探究】对于一个正整数n，若能找到正整数a，b，使得，则称n为一个“奇妙数”．例如，则3就是一个“奇妙数”．根据“奇妙数”的规定，解决下列问题：（1）7是不是一个“奇妙数”？为什么？（2）从1到15这15个正整数中“奇妙数”有哪些?【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1、、、、…、共60个数字．小王老师要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取2个数a、b，然后删去这两个数a和b，同时在黑板上写出与的值相等的数．试求经过59次操作后黑板上剩下的数．【答案】[操作发现]（答案不唯一）；[应用探究]（1）是，理由见解析；（2）3、5、7、8、9、11、13、14、15；[活动拓展]60【分析】[操作发现]利用图形面积写出等式即可；[应用探究]（1）将7分解为，即可得出答案；（2）由，可变形为，所以，只要是合数，就是奇妙数；[活动拓展]设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：进而求出的值即可．【详解】解：[操作发现]图形不唯一，如图：；[应用探究]（1）7是一个“奇妙数”，理由：；（2），，，，，，，，，从1到15这15个正整数中“奇妙数”有3、5、7、8、9、11、13、14、15共9个；[活动拓展]，每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变，设经过59次操作后，黑板上剩下的数为，则：解得：，经过59次操作后黑板上剩下的数是60．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，有理数的混合运算，解题的是要多进行运算，并且理解奇妙数的意义，明白命题者考查的意图．8．（2020秋·广东惠州·七年级校考期中）观察以下一系列等式：①22﹣21＝4﹣2＝21；②23﹣22＝8﹣4＝22；③24﹣23＝16﹣8＝23；④；…（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：；（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：，并说明这个规律的正确性；（3）请利用上述规律计算：21+22+23+…+2100．【答案】（1）25﹣24＝32﹣16＝24；（2）2n+1﹣2n＝2n，见解析；（3）2101﹣2【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第④个等式；（2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式；（3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值．【详解】解：（1）∵①22﹣21＝4﹣2＝21；②23﹣22＝8﹣4＝22；③24﹣23＝16﹣8＝23；则第④个等式是：25﹣24＝32﹣16＝24，故答案为：25﹣24＝32﹣16＝24；（2）第n个等式是：2n+1﹣2n＝2n，故答案为：2n+1﹣2n＝2n，∵2n+1﹣2n＝2×2n﹣2n＝（2﹣1）×2n＝2n，∴2n+1﹣2n＝2n；（3）根据规律：21+22+23+…+2100，＝（22﹣21）+（23﹣22）+（24﹣23）+…+（2101﹣2100）＝22﹣21+23﹣22+24﹣23+…+2101﹣2100＝2101﹣21＝2101﹣2．【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，写出相应的式子．9．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）观察下列各式：；；；；……（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：；（2）请用一个含的算式表示这个规律：；（3）根据发现的规律，请计算算式的值（写出必要的解题过程）．【答案】（1）55；（2）；（3）【分析】（1）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+42+52等于；（2）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+…+n2等于；（3）用12+22+…+992+1002的值减去12+22+…+492+502的值，求出算式512+522+…+992+1002的值是多少即可．【详解】（1）；（2）；（3）原式【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键.10．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）【阅读】求值…．解：设S=…①将等式①的两边同时乘以2得：2S=…②由②﹣①得：即：S=…【运用】仿照此法计算：…；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．完成下列问题：（1）小正方形的面积S2019等于；（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．【答案】[运用]；（1）；（2）【分析】[运用]仿照题目中的算法可以解答本题；（1）由、、，可得；（2）仿照题目中的算法可以解答本题．【详解】解：[运用]设①，①，得：②，②①，得：，则，即；（1）、、，∴，故答案为：；（2）设①，①，得：②，①-②，得：，所以，即．【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．11．（2021秋·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子:(+2)※(+4)=+6；(-3)※(-4)=+7

(-2)※(+3)=-5；(+5)※(-6)=-11

0※(+9)=+9；(-7)※0=+7小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则：（1）归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，

特别是0和任何数进行※（加乘）运算，或是任何数和0进行※（加乘）运算（2）计算：-5※〔0※（-3）〕=（3）若（4-2b）※（│a│-1）=0,求a+b的值【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值；（2）8；（3）1或3．【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出❈（加乘）运算的运算法则；（2）①根据（1）中的结论可以解答本题；②根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题．【详解】解：（1）由题意可得，归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都等于这个数的绝对值；故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值；（2）（5）❈[0❈（3）]=（5）❈3=（5+3）=8，故答案为：8．（3）∵（4-2b）❈（|a|-1）=0，∴当|a|≠1时，|4-2b|+||a|-1|=0，得b=2，|a|=1（舍去），当|a|=1时，|4-2b|=0，得b=2，∴当|a|=1，b=2时，a=±1，∴当a=1，b=2时，a+b=3，当a=-1，b=2时，a+b=1；【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．12．（2020秋·山东枣庄·七年级统考期中）同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．例如：计算．此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．分析方法：因为，，，．所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：（1）________；（2）应用上面的方法计算：．（3）类比应用上面的方法探究并计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据题中式子的计算规律直接计算即可；（2）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算；（3）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算.【详解】（1）∵，，，，∴，故答案为：＇（2）===；（3）====.【点睛】此题考查有理数的混合运算，数字类规律的探究，根据题意得到此题的计算规律是解题的关键.13．（2020秋·山西太原·七年级山西实验中学校考期中）定义：若是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，则______；是的差倒数，…，依次类推，回答下列问题：（1）______，______，______．（2）求的值．【答案】（1），，；（2）【分析】（1）直接利用倒差数的定义求出a2、a3、a4即可；（2）先根据（1）发现a1、a2、a3…a4为、、4的循环，然后运用加法结合律计算即可．【详解】解：（1），，故答案为，，；（2）由题意和（1）可知，a1、a2、a3…a4为、、4的循环∴=（++4）+（++4）+…+（++4）=673×（++4）=673×=．【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及有理数的四则混合运算，理解差倒数的定义以及发现每三个数一循环成为解答本题关键．14．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）观察下列等式：，，……（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______．（2）直接写出下面算式的结果：____________；以下两小题，需写出解答过程：（3）计算：（4）探究并计算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）观察题干中所给的式子可得结果；（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；（4）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．【详解】解：（1）由题意可得：=；（2）由题意可得：===；（3）===；（4）======【点睛】本题考查了有理数的混合运算，数字型规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法．15．（2021春·浙江·七年级期中）数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，则，则．①根据定义，填空：_________，__________．②若有如下运算性质：．根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．x1.5356891227错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．【答案】①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．【分析】①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）进行计算；③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．【详解】解：①根据定义知：f（10b）=b，∴f（10）=1，f（103）=3．故答案为：1，3．②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．故答案为：0.6020；0.6990．③若f（3）≠2a-b，则f（9）=2f（3）≠4a-2b，f（27）=3f（3）≠6a-3b，从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，∴f（3）=2a-b；若f（5）≠a+c，则f（2）=1-f（5）≠1-a-c，∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，∴f（5）=a+c，∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．∵9=32，27=33，∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．【点睛】本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．16．（2023春·四川达州·七年级校考期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是．第次分割图可得等式：．

探究二：计算．第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，．第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第次分割图可得等式：，两边同除以，得．

探究三：计算．（仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：根据前面探究结果：__________．__________．（只填空，其中，都是正整数，且，）拓广应用：计算．【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用：【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论．解决问题：利用规律解决问题即可．拓广应用：用转化的思想解决问题即可．【详解】解：探究三第次分割图如图所示：

所有阴影部分的面积之和为1；最后的空白部分的面积是；根据第次分割图可得等式；两边同除以3，得；解决问题根据前面探究结果：，，．根据第次分割图可得等式，，所以．拓广应用．【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．（2021秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）观察下面三行数：2，-4，8，-16，32，-64；3，-3，9，-15，33，-63；-5，7，-17，31，-65，127．（1）第一行的第9个数是，第一行的第个数是；（2）取每一行的第8个数，分别记为，则；（3）小明在第二行中取连续三个数，并求出他们的和为387，则；（4）取每行数的第个数，这三个数中任意两个数之差的最大值为6146，则．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）【分析】（1）观察第一行的每一个数，总结出规律，第个数据为，即可求解；（2）观察第二、三行数据，总结出规律，求得每行的第8个数，然后代入求解即可；（3）设取的是第二行中第个数，求出这三个数，列方程求解即可；（4）求出的每行的第个数，并求出它们的差，分类讨论，求出最大的差，使得最大的差等于6146，求解即可．【详解】解：（1）观察第一行的每一个数，可得第个数据为将代入得，故答案为，（2）观察第二行的数据，发现第二行数据比第一行数据大1，可得第个数据为观察第三行数据，可得第三行数据为第一行和第二行数据和的相反数，可得第个数据为∴第一行中，第8个数为，即第二行中，第8个数为，即第三行中，第8个数为，即∴故答案为（3）设取的是第二行中第个数，则这三个连续的数为，，由题意可得化简得：，即，解得故答案为（4）第一行中第个数为，第二行中第个数为，第三行中第个数据为第一行和第二行的差为第一行和第三行的差为第二行和第三行的差为当为偶数时，，且∴，，又∵为正整数，∴无解；当为奇数时，，且∴，即，解得故答案为【点睛】此题考查了数字类规律的探索，涉及的有理数的乘方，解题的关键是根据所给数字，得到每行的规律．18．（2022秋·四川资阳·七年级校考期中）概念学习现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：________，________；（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈次方等于它本身的数是1或深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；（4）比较：________；填“>”“<”或“=”）（5）计算：．【答案】（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根据规定的运算，直接计算即可；（2）根据圈次方的意义，计算判断得出结论；（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；（4）根据圈次方的规定直接进行判断即可；（5）先把圈次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．【详解】解：（1），，故答案为：，；（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，结论正确，不符合题意；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，结论正确，不符合题意；C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，结论正确，不符合题意；D．圈次方等于它本身的数是1，结论错误，符合题意；故选：D；（3），故答案为：；（4）＝＝＝，＝＝＝，∵，∴，故答案为：；（5）原式＝＝＝．【点睛】本题考查了新定义运算，掌握圈次方的意义是解本题的关键．19．（2021秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148等差数，514335等差数；（用“是”或“不是”填空）（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．【答案】（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888【分析】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M，，根据等差数的定义可知，进而得出即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a的值，再根据是8的倍数可确定c的值，又因为，所以可确定a、c为偶数时b才可取整数有意义，排除不符合条件的a、c值，再将符合条件的a、c代入求出b的值，即可求解．【详解】解：（1）∵，∴148不是等差数，∵，∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M，，∵，∴，∵，∴这个等差数是3的倍数；（3）由（2）知，∵T是24的倍数，∴是8的倍数，∵2c是偶数，∴只有当35a也是偶数时才有可能是8的倍数，∴或4或6或8，当时，，此时若，则，若，则，若，则，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当时不符合题意；当时，，此时若，则，若，则，（144、152是8的倍数），当时，，此时若，则，若，则，（216、244是8的倍数），当时，，此时若，则，若，则，若，则，（280,288,296是8的倍数），∵，∴若a是偶数，则c也是偶数时b才有意义，∴和是c是奇数均不符合题意，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，综上，T为432或456或840或864或888．【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．20．（2022秋·江苏·七年级期中）先阅读下列材料，然后解答问题：材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？（2）探索发现：计算：＝，＝，＝，＝，＝，＝．由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．【答案】（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+∁nk+1＝Cn+1k+1；（3）165【分析】（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得∵+=，+＝，由此规律可得+=，

；（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．【详解】解：（1）根据公式＝＝56，答：共有56种选法．（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，∵+＝3+1＝4=，+＝10+5=15=，∴+=，

故答案为3；1；4；10；5；15；（3）++++…+，＝+++…+，＝++…+，＝，＝，＝165．【点睛】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键．21．（2021秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）仔细观察下列三组数：第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…．第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，…第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，…（1）第一组的第6个数是；（2）第二组的第n个数是；（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）216；（2）（﹣1）n+1n2；（3）700【分析】（1）观察各数可以得到各数的绝对值为各数序号的立方，结合符号，即可得到规律，即可求出第6个数；（2）观察各数，可以得到各数的绝对值为各数序号的平方，第奇数个数为正，偶数个数为负，即可得到规律；（3）根据观察第三组数，可以得到都是负数，绝对值是第（2）组数的绝对值的2倍，据此即可确定每一组的第10个数，相加即可求解．【详解】解：（1）因为第一组数为：﹣13，23，﹣33，43，…，所以第6个数为：63＝216；故答案为：216；（2）因为第二组数为：12，﹣22，32，﹣42，…，所以第n个数为：（﹣1）n+1n2；故答案为：（﹣1）n+1n2；（3）因为每组数的第10个数分别为：1000，﹣100，﹣200，所以这三个数的和为：﹣100+1000﹣200＝700．【点睛】本题考查了根据数列找规律，理解题意，准确找出规律是解题关键，一般情况下，数列找规律要从数据的符号和绝对值两方面进行确定规律．22．（2022秋·湖南常德·七年级统考期中）阅读探究：，，，…(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．(2)小聪继续又发现：，求出___________．(3)若，请运用小聪的方法求和的值【答案】(1)6(2)7(3)，【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；（2）根据阅读材料，发现规律即可；（3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴故答案为：6（2）解：∵，，∴，∴.故答案为：7（3）解：∵，∴∵，∴，.【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料．23．（2022春·重庆·七年级校联考期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为：20不是“平等数”，因为(1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由：(2)求出不大于100的“平等数”的个数，【答案】(1)都是，理由见解析(2)8【分析】（1）根据题目中的新定义即可解答本题；（2）根据“平等数”的定义可知，“平等数”是3的倍数，然后根据不大于100的“平等数”可以分一位数的、两位数的、三位数的“平等数”三种情况讨论，即可得出答案．【详解】（1）解：（1）1和21都是“平等数”．理由：∵1＋2＋3＝6，∴1是平等数；∵21＋22＋23＝66，和的各数位数字相等，∴21也是平等数．（2）设s＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3（n＋1），即s为3的倍数，且当0≤n≤100时，3≤s≤303．

当s为一位数时，s可能为3、6、9，相应地n为0、1、2；当s为两位数时，s可能为33、66、99，相应地n为10、21、32；当s为三位数时，s可能为111、222，相应地n为36、73．综上所述，不大于100的“平等数”的个数为3＋3＋2＝8个．【点睛】本题考查新定义、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答．24．（2022秋·湖南·七年级期中）观察下列解题过程：计算：的值解：设①，则②，由②－①，得.即原式通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：【答案】【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．【详解】解：设①，则②，由②①，得．∴，即原式．【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用．25．（2021秋·全国·七年级期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形．【答案】(1)，证明见解析(2)见解析【分析】（1）①根据图形可知用正方形面积减去最后一个小长方形面积即可求解；②设，再算出，两式相减即可证明；（2）用正方形的对角线将面积为1正方形分成两个面积为的三角形，然后再作三角形的高，将其面积平分，如此进行下去即可．【详解】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时，的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：，；②设，，，即，；（2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：【点睛】本题考查了图形的规律，数字的规律，图形的面积，有理数的乘方；分析、总结、归纳的能力是解题的关键．26．（2022秋·重庆梁平·七年级校联考期中）如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）．(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示）(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示）(3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：铝合金（米/元）彩色玻璃（平方米/元）透明玻璃（平方米/元）甲厂商20080不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米乙厂商2206080元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算?【答案】(1)米(2)(3)在甲厂购买窗户合算【分析】（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可；（2）按照矩形与半圆的面积的和即为窗框的面积；（3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断．【详解】（1）解：米；（2）解：（3）解：当时，30个这样窗户共用铝合金为：（米）30个共用彩色玻璃为：30个共用透明玻璃为：甲费用：（元）乙费用：（元）因为122000<128460

∴在甲厂购买窗户合算．【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，弄清题意，正确列式是解题的关键．27．（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：①______；②若，则______；③若，则______．(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)①2；②2；③81(2)【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；（2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．【详解】（1）解：①∵，∴．故答案为：2；②∵，∴．故答案为：2；③∵，∴．故答案为：81．（2）解：∵，，，∴，，．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．28．（2022春·浙江温州·七年级校联考期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：A型B型C型满368减100满168减68满50减20在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）【答案】(1)5(2)他使用了A型2张，B型3张．(3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可；（2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A，B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可；（3）设小温使用了A型“优惠券”a张，B型“优惠券”b张，C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A，B两种类型的优惠券，②使用了B，C两种类型的优惠券，③使用了A，C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．【详解】（1）解∶根据题意，得(张)，故答案为∶5；（2）解：设他使用了A型x张，B型y张．根据题意可得解得答：他使用了A型2张，B型3张．（3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张．根据题意可得三种情形：①若小温使用了A，B型优惠券，则有化简为：∵a，b都为整数，且，∴，②若小温使用了B，C型优惠券，则有化简为：∵b，c都为整数，且，∴，③若小温使用了A，C型优惠券，则有化简为：∵a，c都为整数，且，∴本小题无解．综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键．29．（2022秋·福建泉州·七年级校联考期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形．(1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；(2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)(3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值．(4)请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗，并说明理由?【答案】(1)17；25；(2)4n+1；(3)2021；(4)是，理由见解析【分析】（1）观察发现每增加一个图案增加三根火柴，从而得到规律，代入求解即可求得总数．（2）根据以上规律即可得；（3）利用（2）规律求和计算可得；（4）求出前2021个图形中火柴总数即可得．【详解】（1）根据图案可知，第4个图案中有4×4+1=17根火柴第6个图案中火柴有4×6+1=25，故答案为：17、25；（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；所以第n个图形中火柴有4n+1．故答案为：4n+1；（3）f(1)=2×1−1=1，f(2)=2×2−1=3，f(3)=2×3−1=5，===2021.（4）4×1+1+4×2+1+……+4×2021+1=4×（1+2+……+2021）+1×2021=4××（1+2021）×2021+2021=2×（1+2021）×2021+2021=4045×2021.∴是2021倍数.【点睛】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．30．（2022秋·湖南娄底·七年级校联考期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得．(1)猜想并写出：＝．(2)已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值．(3)探究并计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用题中的等式出现的规律和分式的运算得到；（2）先利用相反数和非负数的性质得到，，则，然后根据（1）中的结论把每个分式化为两个分数的差，最后进行加减运算即可；（3）每个分数题得到原式，然后与（2）中的计算方法一样．【详解】（1）；故答案为；（2）与互为相反数，，，，解得，，；（3）原式．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．31．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）已知（且是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数．(1)试计算：=；=；=．(2)根据以上计算试求的值．【答案】(1)，3，(2)【分析】（1）根据定义列式利用有理数的混合运算计算即可；（2）根据（1）中的结果，先找出的变化规律，再代入计算即可．【详解】（1）解：由题意可得：，，=；故答案为：，3，；（2）解：由（1）可知，每间隔3个数，的结果就重复一次，即是，∵，∴【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及探究数字规律，能熟练掌握有理数的混合运算法则计算以及找出数字规律是解题的关键．32．（2022秋·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数：(1)请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数；（箭头上不需标注具体操作）(2)如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由；(3)能否将2，3，4，6这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．【答案】(1)答案见详解；(2)2；理由见详解；(3)不能；理由见详解．【分析】（1）按照题中规定操作，即可求解，但答案不唯一；（2）如果只进行一次，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，故至少2次操作；（3）按照每次操作后，四个数的和是奇数（或偶数）的不变性，可以得出2，3，4，6不管以何种方式排列，通过若干次操作后都不能变成相等的4个数．【详解】（1）解：如图2所示，答案不唯一；（2）解：最少需要操作两次，理由如下：如果只进行一次操作，只能改变相邻2个数，剩下2个数不相等，因此至少2次，具体操作如图3所示．（3）解：不能将2，3，4，6这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数；理由如下：，和是一个奇数，又操作一次，是将相邻两个数都减去同一个数，其余数不变，即其和减去了一个偶数，操作若干次后，它们的和减去了若干次偶数，所得的差仍然是奇数，操作若干次后，若这四个数相同，则它们的和是4的倍数，是偶数，不能将2，3，4，6这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数．【点睛】此题考查了数字的变化规律，正确理解题中的操作规定，探索出数字之间的变化规律是解题的关键．33．（2022秋·广东惠州·七年级惠州一中校联考期中）观察下面算式，解答问题：；；……(1)的结果为______________；(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________；(3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可；（2）用（1）的猜想写出结果；（3）先把原式化为，再利用前面猜测的结论去计算；【详解】（1）解：；；；；；依次可得，，故答案为：（2）解：；；；；；；故答案为：（3）【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键．34．（2022秋·江苏泰州·七年级统考期中）定义一种新的运算“”：；

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；(1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______；特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______；(2)计算：；(3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由．【答案】(1)同号相乘，异号相除，0(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出“”运算的运算法则即可；（2）根据（1）中的结论求解即可；（3）先分别运算A和B，然后求和判断正负即可．【详解】（1）解：由题意可得，“”运算法则：两数进行“”运算时，同号相乘，异号相除;0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为0．故答案为：同号相乘、异号相除，0．（2）解：====．（3）解：,理由如下：∵∴，∴∴．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、新定义、整式的四则混合运算等知识点，解审清题意、归纳出“”运算法则是解答本题的关键．35．（2022秋·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）有理数，如果满足，那么我们定义，为一组完全数对，记为，例如，和，因为，，所以，，则称和为一对完全数对，记为．根据以上定义完成下列各题：(1)若成立，求的值；(2)若成立，当，，，，分别对应有，，，，；而也成立，当，，，，时对应有，，，，．求的值；(3)若成立，是按一定规律排列成，，，，，，，这列数中的一个，且在这列数中与它左右两个相邻数的和为，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据定义并结合已知可得，求出即可；（2）根据定义依次求出，，，，和，，，，，再代入计算即可；（3）设左面相邻的数为，为，右面相邻的数为，由题意可得，求出即可求解．【详解】（1）解：∵成立，∴，解得：．∴的值为．（2）解：∵成立，∴，∴当时，，当时，，当时，，……当时，；∵成立，∴，∴当时，，当时，，当时，，……当时，；∴．∴的值为．（3）解：设左面相邻的数为，为，右面相邻的数为，∵这列数中与它左右两个相邻数的和为，∴，解得：，∴，∵成立，∴，∴．∴的值为．【点睛】本题考查数字的变化规律，求代数式的值，解一元一次方程，有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算，根据所给定义，结合一元一次方程求解是解题的关键．36．（2022秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）仔细观察下列等式：第一个：第二个：第三个：第四个：……(1)请你写出第六个等式：___________；(2)请写出第n个等式：___________；（用含字母n的等式表示）；(3)运用上述规律，计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第6个等式（2）根据题目中等式的变化规律，可以写出第n个等式（3）根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值【详解】（1）第一个：第二个：第三个：第四个：第五个：∴第六个：（2）第一个：，即第二个：，即第三个：，即第四个：，即∴第个等式应该是（3）【点睛】本题考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键37．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：，两边同除2，得，探究三：计算．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，________