点到直线的距离公式（教学设计）（人教A版2019选择性必修第一册）

.3.3点到直线的距离公式（教学设计）课时教学内容本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，对点到直线距离的研究，有着承上启下的作用，承上是指本内容是对直线方程、两直线的位置关系以及两点间距离公式的应用，启下是指本内容为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的学习奠定基础。课时教学目标1.理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式及简单应用；2.经历点到直线距离公式的探索过程；体会推导过程中蕴含的数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养；3.通过探索公式的推导过程，培养学生的意志品质；感受数学公式的简洁美。教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式；教学难点：点到直线的距离公式的推导．教学过程设计环节一创设情境，引入课题如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？仓库仓库铁路铁路设计意图：通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。那么“应该如何求点到直线的距离呢？”距离问题是几何学的基本问题之一.上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离就可以由点的坐标与直线的方程确定.如何确定呢?我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程.如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式.环节二观察分析，感知概念问题1：如图2.3-5，已知点，直线，如何求点到直线的距离?分析：要求点到直线的距离，即求点与垂足间的垂线段距离.追问1：如何求出的距离？点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足(图2.3-5)．因此，求出垂足的坐标，追问2：如何求出点的坐标？利用两点间的距离公式求出，就可以得到点到直线的距离．追问3：如何求垂线的方程？设，由，追问4：如何求垂线的斜率？以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为，即．解方程组①得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为．设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.于是．环节三抽象概括，形成概念．因此，点到直线的距离．可以验证，当，或时，上述公式仍然成立．问题5：公式有什么结构特征？公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.分母则是未知数系数的平方和再开根.从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的方向向量的模.问题6：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?师生活动：学生能想到引起复杂运算的原因，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.在上述方法中，若设垂足的坐标为，则．②对于②式，你能给出它的几何意义吗?结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢?请你试一试！上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面也为寻找简化方法作铺垫.对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避.这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想.追问5：针对上述原因，观察反思求解过程，能否找到回避计算点Q的坐标从而简化运算的方法？问题7：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?追问6：点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？追问7：的模投影向量的模？如图2.3-6，点到直线的距离，就是向量的模．追问8：如何利用直线方程得到与直线的方向向量垂直的单位向量n呢?设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，．环节四辨析理解深化概念思考如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量?设，是直线上的任意两点，则是直线的方向向量．把，两式相减，得．由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直．向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量．我们取，从而．因为点在直线上，所以．所以．代人上式，得．因此．追问9：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？思考比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?师生活动：师生共同分析总结：坐标法思路自然，运算过程略显繁琐；向量法需要较强的整体观，构造性强，但可以简化运算.其他推导方法让学生课后查阅资料独立完成.设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.环节五概念应用，巩固内化例5求点到直线的距离．分析：将直线的方程写成，再用点到直线的距离公式求解．解：点到直线的距离．直线有什么特性?由此你能给出简便解法吗?例6已知的三个顶点分别是，，，求的面积．分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可．解：如图2.3-7，设边上的高为，则．．边上的高就是点到直线的距离．边所在直线的方程为，即．点到直线的距离．因此，你还有其他解法吗?环节六归纳总结,反思提升本节课学习的公式有哪些？点到直线的距离为：两条平行直线与间的距离为2.回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗？本节课，我们学习了点到直线的距离公式，它是解析几何中非常重要的一个公式.推导公式中完整介绍了两种方法：第一种方法是坐标法，将点到直线距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂；第二种方法是向量法，运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要一定的整体观和构造技巧.能利用点到直线的距离公式，解决数学问题，注意运用公式前，将直线方程化为一般式.师生活动：先由或生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的究方法的特点进行补充.设计意图：帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想.环节七 目标检测，作业布置完成教科书习题2.3第6,11,12,13,14题.练习（第77页）1．求原点到下