备战2023年中考数学一轮复习专项训练专题04定弦定角(解析版)

专题04定弦定角（专项训练）1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5 B． C． D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故选：B．2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴OC＝OB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值为4﹣4，故选：D．3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值为2﹣4，故选：C．4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【答案】A【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四边形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故选：A5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABM＝60°，∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，∴BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∴∠ABP+∠CBN＝60°，∴∠ABP+∠BAM＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，∴点P在弧AB上运动，∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，故选：D．6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．【答案】9+9【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，则BH＝HC，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，故答案为：9+9．7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为．【答案】1【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，∴∠BMC＝90°，∵BM＝CM，∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝5，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．故答案为：1．8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．【答案】1【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，∴OP＝1，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥1，∴PC的最小值为1．9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是．（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2；（2）如图2中，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）如图3中，∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值为4，10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．【解答】解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，∴AB+AC＝DB，∵∠BAC＝90°，∴∠D＝45°，∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，即AB+AC取得最大值，当BD是⊙O直径，∠D＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝6，∴AB+AC的最大值为：6．11．【问题提出】（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为；【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；【问题解决】（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OC，∵四边形ABCD是正方形，O是对称中心，∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC，∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，∴∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF，∵BC＝OB，∴BF+CF＝OB，∴BF+BE＝OB，故答案为：BF+BE＝；（2）如图2，作等腰直角△ABE，使∠AEB＝90°，AE＝BE，∴∠ABE＝45°，＝，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝45°，＝，∴∠ABE＝∠CBD，＝，∴∠ABC＝∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴DE＝AC＝，∵AD≤AE+DE，∴当点A、E、D共线时，AD最大，∵AE＝AB＝2，∴AD最大值为：3；（3）如图3，该县政府的想法能实现，理由如下：∴∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，∴∠BAC+∠BCD＝180°，∴四边形ABCD内接于圆O，延长CD至E，使CE＝BD，∴∠ACE＝∠ABD，∵AB＝AC