备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题04二次函数与角度有关的问题

专题04二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。另一种是所求角的边不与坐标轴平行。例3:如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC时，先来讨论∠CDF=∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF=∠AEC时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D的坐标。当∠DCF=∠AEC时,可用同样方法求出D点坐标。类型三：二倍角或半角的存在性问题.二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。【典例分析】【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】【典例1】（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．【变式1】（2022秋•大连月考）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如图1，点P在抛物线上，∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】【典例2】（2022秋•大连月考）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由．【变式2】（2022秋•瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若∠EAC＝∠DAP，求点P的坐标．【类型三：二倍角或半角的存在性问题】【典例3】（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．【变式3-1】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出a的值和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【类型四：角度等于定值问题】【典例4】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．【变式4-1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【变式4-2】（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．【变式4-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．专题04二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。另一种是所求角的边不与坐标轴平行。例3:如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC时，先来讨论∠CDF=∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF=∠AEC时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D的坐标。当∠DCF=∠AEC时,可用同样方法求出D点坐标。类型三：二倍角或半角的存在性问题.二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。【典例分析】【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】【典例1】（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），∴，解得：．∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；（2）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：．∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．【变式1】（2022秋•大连月考）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如图1，点P在抛物线上，∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+2，将A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）当BP∥x轴时，∠PBA＝∠BAO，∴P（2，2）；设BP与x轴交于点Q，∵∠PBA＝∠BAO，∴BQ＝AQ，在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，解得BQ＝，∴AQ＝，OQ＝，∴Q（，0），设直线BQ的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+2，联立方程组，解得（舍）或，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，0）或（，﹣）．【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】【典例2】（2022秋•大连月考）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）分两种情况：设M（x，﹣x2﹣2x+3），①如图，当CM交x轴于G时，∵∠BCO＝∠ACM，∴∠ACG＝∠OCB，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∴∠BCM＝45°，∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，∴∠ACB＝∠BGC，∵∠CBG＝∠CBA，∴△BCG∽△BAC，∴，∵OB＝1，OC＝3，∴BC＝，设G（﹣t，0），∴，∴t＝，∴G（﹣，0），同理可求得CG的解析式为：y＝2x+3，则，∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，x2+4x＝0，x（x+4）＝0，x1＝0（舍），x2＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴M（﹣4，﹣5）；②如图，当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，∵∠OAC＝45°，∴△ABP是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AP＝BP＝＝2，∵AC＝＝3，∴CP＝AC﹣AP＝，∵∠BCO＝∠ACM，∴∠ACB＝∠OCM，∵∠BPC＝∠COA＝90°，∴△BCP∽△NCO，∴，∴，∴NO＝6，∴N（﹣6，0），同理可得NC的解析式为：y＝x+3，联立方程组得：，解得：x1＝0，x2＝﹣，因为点M在抛物线上，所以当x＝﹣时，y＝，∴M（﹣，），综上所述，存在点M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．【变式2】（2022秋•瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若∠EAC＝∠DAP，求点P的坐标．【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝﹣3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3；（2）过A作AC的垂线，交DE于G，交抛物线于P，如图：由y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1可得顶点D（﹣2，1），对称轴是直线x＝﹣2，在y＝﹣x﹣3中，令x＝﹣2得y＝﹣1，∴E（﹣2，﹣1），F（﹣2，0），∵A（﹣1，0），∴AF＝1，DE2＝（1+1）2＝4，AD2＝（﹣1+2）2+（0﹣1）2＝2，AE2＝（﹣2+1）2+（﹣1﹣0）2＝2，∴AD2+AE2＝DE2，∴∠DAE＝90°＝∠CAP，∴∠CAE＝∠DAP，即P是满足条件的点，∵∠FAG＝90°﹣∠OAC＝∠OCA，∠GFA＝90°＝∠AOC，∴△FAG∽△OCA，∴＝，即＝，∴FG＝，∴G（﹣2，﹣），由G（﹣2，﹣），A（﹣1，0）可得直线AG解析式为y＝x+，解得或，∴P的坐标为（﹣，﹣）．【类型三：二倍角或半角的存在性问题】【典例3】（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣3，∴B（﹣3，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），将点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2+4x+3；（2）点D在直线BC上方时，过点D作DP⊥x轴交AC于点P，设D（t，t2+4t+3），则P（t，t+3），∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）∵△BCD的面积为6，∴（t2+3t）＝6，∴t＝1或t＝﹣4，∴D（1，8）或D（﹣4，3）；当点D在直线BC下方时，S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，∴（t2+3t）＝﹣6，∴此时t不存在，综上所述：D点坐标为（1，8）或（﹣4，3）；（3）设E（m，m2+4m+3），过点A作AG⊥BC交于点G，在BC上截取HC＝HA，∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC，BC＝3，∴∠CBO＝45°，∵x2+4x+3＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，∴A（﹣1，0），∴AB＝2，在Rt△ABG中，BG＝AG＝，∴CG＝2，∵HC＝HA，∴∠GHA＝2∠ACB，在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，∴HA2＝（2﹣HA）2+2，解得HA＝，∴HG＝，∴tan∠GHA＝＝＝，∵∠BAE＝2∠ACB，∴∠BAE＝∠GHA，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴E点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．【变式3-1】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0）．故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），∴P（1，4），∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x轴，∴＝＝．②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，的最大值为．另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延长CP交x轴于点M，∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，解得x＝或x＝0（舍），∴存在点P满足题意，此时m＝．【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出a的值和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；B（3，0）（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）设点M到直线PB的距离为h，则==，∴h=（3）存在，理由：设，如图，过点B作的平分线BH交y轴于点H，过点H作HG⊥PB于点G，设OH=m，则HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，在Rt△PGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4—m）2，解得：m=∴tan∠HBO=，∴故直线AD的表达式为：①同理直线PB的表达式为：②联立①②并解得：，∴点D（）.【类型四：角度等于定值问题】【典例4】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，，解得：，∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，0＝（n﹣3）x﹣4，即，∴，∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，∵，∴，∵，由题可知，，∴，将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，∴，∴，∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，∴△CEF∽△PQB，∴，∴，解得：（舍去）．∴点P的横坐标为﹣，方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，求出点C'（），从而求出直线CC'的解析式，∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，∴BP∥CC'，求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．【变式4-1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，，∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，