广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

广东省广州市白云区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量a=(3，−6)，b=(2，A．－4 B．－1 C．1 D．42．抛掷两枚质地均匀的骰子，则“抛掷的两枚骰子的点数之和是6”的概率为（）A．112 B．536 C．173．已知甲组样本数据分别为4，6，9，11，x，且平均数为7，若乙组样本数据为7，11，17，21，2x−1，则乙组样本数据的平均数为（）A．13 B．14 C．27 D．284．已知2−i是关于x的方程x2A．p=4，q=−11 B．p=−4，q=3 C．5．已知等腰直角三角形的斜边长为2，以直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，这个几何体的表面积为（）A．π3 B．2π C．(2+1)π6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．中位数为3，众数为3 B．中位数为3，极差为3C．平均数为3，中位数为3 D．平均数为3，众数为47．已知棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上.先从正方体的8个顶点中任取4个共面的点，再从球面上取1个点，形成四棱锥，这些四棱锥的体积的最大值为（）A．1+36 B．66 C．38．已知点P在△ABC所在平面内，满足PA+PB+PC=A．23 B．1 C．43二、多选题9．若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则下列命题中正确的是（）A．交线l的垂线必垂直于平面βB．与平面α垂直的直线平行于平面β或在平面β内C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β内无数条直线D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β10．已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(AB)=29，P(A)=2A．事件A与B互为对立 B．事件A与B相互独立C．P(A∪B)=79 11．设z1，z2，z3A．若z1z3=z2zC．若|z1−z2|=|z12．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD=λAC(A．若λ=12B．若λ=12C．若λ∈[0，1]D．若λ∈[0，1]三、填空题13．某市2023年6月某一周的空气质量指数如下：35548086728558这一周空气质量指数的第60百分位数为.14．已知复数z=1−i1+i，i为虚数单位，则z的虚部为四、双空题15．在△ABC中，已知AB=2，AC=62，∠BAC=45°，点D为边BC的中点，则AD=，sin∠BAD=五、填空题16．在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C六、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sinA，3（1）求角A；（2）若a=27，b＝4，求△ABC18．图1是正方形ABCD，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点.将其沿对角线AC折起，连结DB，如图2.请在图2中证明：（1）AC//平面EFG；（2）AC⊥DB.19．为了解某市今年高一年级学生的身体素质状况，从该市高一年级学生中抽取100名学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据分[2，4)，[4，6)，[6，（1）根据频率分布直方图，估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）；（2）已知这100名学生中有女生40名，男生60名，这40名女生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为7和2.1，这60名男生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为8.5和2.4，求这100名学生“掷实心球”成绩的方差.20．甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为1（1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；（2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.21．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C（1）求证：BC⊥平面ABB（2）若直线AC与平面A1BC所成角为α，二面角A1−BC−A的大小为β，试判断22．古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S=p(p−a)(p−b（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式S=1（2）在△ABC中，a+c=8，tanB2=

答案解析部分1．【答案】C【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】若a⊥b，则3×2+−6λ=0，解得λ=1.2．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】由题意可知：抛掷两枚质地均匀的骰子，共36个基本事件，123456123456723456783456789456789105678910116789101112

记”抛掷的两枚骰子的点数之和是6“为事件A，包含5个基本事件，

所以PA=536.3．【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】设甲组样本数据分别为xi，i∈1，2，3，4，5，乙组样本数据分别为yi，i∈1，2，3，4，5，

由题意可知：xi，i∈1，2，3，4，5的平均数为x=7，且4．【答案】D【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为2−i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，

则2−i2+p2−i+q=2p+q+3−p+4i=0，

可得2p+q+3=05．【答案】C【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征【解析】【解答】由题意可知：等腰直角三角形的腰长为1，斜边长为2，

故所得几何体为圆锥，且底面半径为1，母线长为2，

所以几何体的表面积为π×12+π×1×26．【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】对A：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，故A错误；

对B：当掷骰子出现的结果为3，3，3，3，6时，满足中位数为3，极差为3，故B错误；

对C：当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，故C错误；

对D：若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为3×5−6=9，

而众数为4，故其余4个数的和至少为2×4+2×1=10，

矛盾，所以D一定没有出现点数6，故D正确.

故答案为：D.

【分析】对ABC，举例子说明可以含有6即可；对D，利用反证法说明一定不含6.7．【答案】A【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】因为棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，

所以该球的球心O是AC1与BD1的交点，可得该球的半径为32，

因为从正方体的8个顶点中任取4个共面的点作为四棱锥的底面，

所以根据正方体的性质，只需要考虑四棱锥的底面为面ABCD与面ABC1D1两种情况即可，

当四棱锥的底面为面ABCD时，易得SABCD=1，

该四棱锥的高最大值为O到底面ABCD的距离加上球的半径，即12+32，

此时该四棱锥的体积为1312+32×1=1+36；

当四棱锥的底面为面ABC18．【答案】D【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理【解析】【解答】因为PA+PB+PC=0，则点P为△ABC的重心，

取BC的中点D，

则AP→=23AD→=23×129．【答案】B,C【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质【解析】【解答】对A：交线l的垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故A错误；

对B：与平面α垂直的直线平行于平面β或在平面β内，故B正确；

对C：取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故C正确；

对D：若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误.

故答案为：BC.

【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.10．【答案】B,C【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】对A：因为P(AB)=29≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，故A错误；

对B：P(A)P(B)=23×13=29，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立，故B正确；

对C：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=23+111．【答案】A,D【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模【解析】【解答】对A：若z1z3=z2z3，，则z1z3−z2z3=(z1−z2)z3=0，

因为z1≠z2，则z1−z2≠0，所以z3=0，故A正确；

对B：若z1=z3，则z12=z1z3，

因为|z112．【答案】A,C,D【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；诱导公式；正弦定理的应用【解析】【解答】对A：因为AD=λAC(λ∈R)，λ=12，所以AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，则csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，

在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B−θ)，则asin(B−θ)=BCsin(B−θ)=CDsin∠CDB，

因为∠ADB=π−∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，

所以csinθ=asin(B−θ)，故A正确；

对C：因为S△ABD+S△BCD=S△ABC，

所以12c⋅BDsinθ+113．【答案】80【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】【解答】把这一周空气质量指数从小到大排列：35，54，58，72，80，85，86，

因为7×60%=4.2，

所以这一周空气质量指数的第60百分位数为第5个数据，即80.

故答案为：80.

【分析】根据百分位数的定义即可求解.14．【答案】-1【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】因为z=1−i1+i=1−i21+i1−i=−2i215．【答案】5；3【知识点】同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用【解析】【解答】由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC=22+(62)2−2×2×62×22=52，

即BC=213，BD=CD=13．

在△ABD中，由余弦定理，得cos∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=AD2+9213AD，

在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CDA=CD216．【答案】7【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】如图，依次连接AE，EF，FD1，D1A，四边形AEFD1即为所求截面，

因为点E、F分别为棱BC、CC1的中点，所以EF∥D1A，

可知ADD1−ECF为三棱台，所以S△ADD1=12×a×a=a22，S△ECF=17．【答案】（1）解：因为m∥n，则sinA=且A∈(0，π)，所以（2）解：由余弦定理a2=b整理得c2−4c−12=0，解得c=6或所以△ABC的周长a+b+c=27【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用【解析】【分析】(1)根据向量平行可得sinA=3cosA，进而结合同角三角关系运算求解；18．【答案】（1）证明：因为E，F分别为所以EF//因为AC⊄平面EFG，EF⊂平面所以AC//平面EFG（2）证明：如图，取AC的中点H，连接DH，因为三角形DAC，三角形BAC均是以AC为底边的等腰直角三角形，所以DH⊥AC，因为DH，BH是平面所以AC⊥平面DHB，因为DB⊂平面DHB所以AC⊥DB.【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【解析】【分析】(1)根据三角形中位线可得EF//AC，结合线面平行的判定定理分析证明；

(2)根据三线合一可得19．【答案】（1）解：依题意，由频率分布直方图可得成绩在[2，4)，[4，6)，[6，8)，所以0.05+0.所以该本的平均数为0.故估计该市今年高一年级学生“掷实心球”成绩的平均数为7.（2）解：设这40名女生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为x=7和s这60名男生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为y=8.5这100名学生“掷实心球”成绩的平均数和方差分别为z和s2则zs=2所以这100名学生“掷实心球”成绩的方差为2.【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【分析】(1)根据频率和为1求得2a=0.1，进而结合加权平均数的公式运算求解；

(2)根据方差公式20．【答案】（1）解：设“甲第k(k=1，2)轮猜对”为事件Ak，“乙第k(k=1则P(A记“经过两轮活动，两人共猜对2个成语”为事件C，则事件C有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对，所以P(C)=(（2）解：记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件D，则事件D有三种可能：均全错、均错一个、均全对，所以P(D所以P(D)=1−P(【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】(1)由题意可知：共猜对2个成语有甲全对、甲乙各对一个、乙全对，结合独立事件概率乘法公式运算求解；

(2)事件D有三种可能：均全错、均错一个、均全对，结合独立事件概率乘法公式以及对立事件概率运算求解.21．【答案】（1）解：在平面ABB1A1中，过点A作因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面所以AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥又AD∩AA1=A，AD，AA1（