新高考数学一轮复习3.6 三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）（解析版）

3.6三角函数的专题综合运用（精讲）（基础版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一正余弦定理的实际应用【例1】（2022·甘肃平凉·二模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为SKIPIF1<0，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为SKIPIF1<0，则滕王阁的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（参考数据：SKIPIF1<0）A．49米 B．51米 C．54米 D．57米【答案】D【解析】设滕王阁的高度为SKIPIF1<0，由题设知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0米.故选：D【一隅三反】1．（2022·四川泸州·二模）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000SKIPIF1<0，速度为50SKIPIF1<0.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．7350SKIPIF1<0 B．2650SKIPIF1<0 C．3650SKIPIF1<0 D．4650SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，设飞机的初始位置为点SKIPIF1<0，经过420s后的位置为点SKIPIF1<0，山顶为点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以山顶的海拔高度大约为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2022·四川）某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】过点D作SKIPIF1<0，交BC于E，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故山高度约为SKIPIF1<0．故选：B.3（2022·河南·鹤壁）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（

）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米【答案】D【解析】根据题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D.考点二正余弦定理的几何应用【例2】（2021·湖南·高考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在BC边上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求AC的长；（2）求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2021·全国·高考真题）记SKIPIF1<0是内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）设SKIPIF1<0的外接圆半径为R，由正弦定理，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为SKIPIF1<0，如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．②由①②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（舍去）．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理知SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．以向量SKIPIF1<0为基底，有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．③由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④联立③④，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为x轴，过点D垂直于SKIPIF1<0的直线为y轴，SKIPIF1<0长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．⑤由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．⑥联立⑤⑥解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，代入⑥式得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0．2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知角SKIPIF1<0的始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边与单位圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将射线SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0后与单位圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若角SKIPIF1<0为锐角，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由三角函数定义知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0由角SKIPIF1<0为锐角知，SKIPIF1<0

∴

SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0.3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)设b＝c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN＝6，CN＝3，求四边形ABNC面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0．由正弦定理得SKIPIF1<0，∵sinC≠0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵0<A<π，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(2)在△BCN中，由余弦定理得SKIPIF1<0，∵BN＝6，CN＝3，∴SKIPIF1<0由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是SKIPIF1<0，∴四边形ABCD的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，S取最大值SKIPIF1<0，即四边形ABCD的面积的最大值是SKIPIF1<0．考点三三角函数与正余弦定理【例3】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的周期及对称轴:(2)在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边.若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)周期为SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，.由余弦定理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，舍去.当SKIPIF1<0时，满足，所以SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·天津市宁河区芦台）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小;(2)若SKIPIF1<0.(i)求SKIPIF1<0的值;(ii)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)(i)SKIPIF1<0，(ii)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0及正弦定理，可得，SKIPIF1<0，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)(i)SKIPIF1<0及正弦定理，可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(ii)因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1），知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·重庆·二模）已知角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的顶点与原点SKIPIF1<0重合，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的终边上.(1)设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的值域；(2)若点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，且线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)∵SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由余弦定理可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<03．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调增区间；(2)在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0考点四最值问题【例4-1】（2022·宁夏·银川二中一模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为内角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：由SKIPIF1<0及正弦定理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，(2)解：由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周长的取值范围为SKIPIF1<0．【例4-2】（2022·江西九江·二模）在SKIPIF1<0ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0.(1)求角B；(2)若D为AC的中点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0ABC面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)解法一：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0ABC面积的最大值为SKIPIF1<0；解法二：在SKIPIF1<0ABD中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①在SKIPIF1<0CBD中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②①+②得SKIPIF1<0③在SKIPIF1<0ABC中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入③中，整理得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号故SKIPIF1<0ABC面积的最大值为4SKIPIF1<0解法三：如图，过C作AB的平行线交BD的延长线于点E，∵SKIPIF1<0，D为AC的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0BCE中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号故SKIPIF1<0ABC面积的最大值为4SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川·仁寿一中二模（理））在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在△SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且___________(1)求角B的大小；(2)SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0周长的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)若选①：在△ABC中，因为SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.若选②：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.若选③：由SKIPIF1<0及正弦定理，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.综上所述：选择①②③，都有SKIPIF1<0.(2)根据（1）中所求，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故由余弦定理可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取得等号，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0周长的取值范围为SKIPIF1<0.2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角B；(2)若SKIPIF1<0，A为SKIPIF1<0的最小角，求SKIPIF1<0周长的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由正弦定理可得SKIPIF1<0，又因为