第6章《图形的相似》（教师版）

2023-2024学年苏科版数学九年级下册易错题真题汇编（提高版）第6章《图形的相似》一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•泉港区期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（）A．2x＝3y B．3x＝2y C． D．解：∵，∴3x＝2y，A、2x＝3y，不成立，故A不符合题意；B、3x＝2y，成立，故B符合题意；C、∵＝，∴2x＝3y，不成立，故C不符合题意；D、∵x＝y，∴2x＝3y，不成立，故D不符合题意；故选：B．2．（2分）（2023春•长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（）A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴估算的值在1和2之间，故选：B．3．（2分）（2023•沙依巴克区模拟）如图，两个全等的四边形ABCD和OA′B′C′，其中四边形OA′B′C′的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．若四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD＝a，DC＝b，则下列数量关系中正确的是（）A．OE＝OF B． C．BE+BF＝DB D．重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的解：过O点作OM⊥AB于M点，ON⊥BC于N点，如图，∵四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，∴∠ABC＝∠EOF＝90°，OA＝OB＝OC，∴AM＝BM，CN＝BN，四边形OMBN为矩形，∴OM＝AD＝a，ON＝CD＝b，∠MON＝90°，∵∠MOE+∠EON＝90°，∠EON+∠NOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴＝＝＝，所以B选项符合题意；只有当四边形ABCD为正方形时，△OME≌△ONF，则OE＝OF，则△AOE≌△BOF，此时AE＝BF，所以BE+BF＝BE+AE＝AB＝BD，四边形OEBF的面积等于三角形OAB的面积，即重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的，所以A选项、C选项、D选项不符合题意．故选：B．4．（2分）（2023•汇川区三模）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段AB分成两份，如果BC：AC＝AC：AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高2m，则玩偶嘴巴离地高度是（）m．A． B． C． D．解：∵他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，玩偶身高2m，∴玩偶嘴巴离地高度＝×2＝（﹣1）m，故选：D．5．（2分）（2023•涟水县一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为（）A．1：2 B． C．1：4 D．解：设小方格的边长为1，由图可知，AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，且AB＝，CD＝2，∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，故选：C．6．（2分）（2023•昆明模拟）在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（≈0.618，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（）A． B． C． D．解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于，∴该雕像的下部设计高度＝×2＝（﹣1）m，故选：A．7．（2分）（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（）A．AG＝GF B． C． D．解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合题意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，则AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG为等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合题意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合题意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合题意；故选：D．8．（2分）（2023•莲都区一模）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（）A． B．2cm C． D．1cm解：∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝，故选：A．9．（2分）（2023•开福区校级二模）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（）​A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，∴△BDC是“黄金三角形”，∴＝，∵BC＝2，∴DC＝﹣1，故选：A．10．（2分）（2023•播州区三模）五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则的值为（）A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，∴△ABC是黄金三角形，∴＝，∴＝，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD内作正方形AEFD，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（即DF2＝FC•CD），且PE＝4，那么PF＝2﹣2．解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（即DF2＝FC•CD），∴＝，∵四边形ADFE是正方形，∴DF＝AE，DF∥AE，∴＝，∵DF∥AE，∴∠CFE＝∠AEF，∠FCP＝∠PAE，∴△CFP∽△AEP，∴＝，∴＝，∴PF＝2﹣2，故答案为：2﹣2．12．（2分）（2023•小店区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．​解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH∥BC，交AE于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中点，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位线，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案为：．13．（2分）（2023•大同模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，D为AB上一点，且BD＝2AD，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，AF与DE交于点G，则AG的长为．解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，∵AB＝AC＝15，BC＝18，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝9，∴AF＝＝＝12，∵AF⊥BC，BH⊥AC，∴∠AFC＝∠AFB＝∠BHC＝90°，∴∠C+∠FAC＝90°，∠C+∠HBC＝90°，∴∠HBC＝∠FAC，∴△BFP∽△AFC，∴＝，∴＝，∴FP＝，∴AP＝AF﹣FP＝，∵BD＝2AD，∴＝，∵DE⊥AC，BH⊥AC，∴DE∥BH，∴∠ADG＝∠ABP，∠AGD＝∠APB，∴△ADG∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AG＝，故答案为：．14．（2分）（2023•潍坊三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为．​解：如图：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，∴直线AP是BC的垂直平分线，∴BE＝BC＝3，BC⊥AP，∴当DP⊥AP时，DP最短，∴∠APD＝∠AEB＝90°，∵BD＝AB，∴AD＝AB＝15，∵∠EAB＝∠PAD，∴△AEB∽△APD，∴＝，∴＝，∴DP＝，∴PD的最小值为，故答案为：．15．（2分）（2023•张家口二模）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点M，N，P，Q都在钉板图的边框上．线段PQ与线段MN交于点R．（1）△NQR与△MPR的面积比等于1：9；（2）MR＝．解：（1）∵PM∥NQ，∴∠PMR＝∠RNQ，∠MPR＝∠NQR，∴△NQR∽△MPR，∴△NQR与△MPR的面积比＝（）2＝（）2＝1：9；故答案为：1：9；（2）由勾股定理得：MN＝＝2，∵△NQR∽△MPR，∴＝，即＝，∴MR＝．故答案为：．16．（2分）（2023•双流区模拟）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，E为边AD上一点，连接CE交BD于点O．若∠A＝∠BCD＝∠BOC＝120°，AD＝，AB＝12，，则的值为．解：如图，过点B作BH⊥CD于点H，设BC＝4x，CD＝3x，∵∠BCD＝120°，∴∠BCH＝60°，∴CH＝BC•cos∠BCH＝4x•cos60°＝2x，BH＝CH＝BC•sin∠BCH＝4x•sin60°＝2x，∴DH＝CH+CD＝5x，∴BD＝＝x，∵∠BOC＝∠BCD，∠OBC＝∠CBD，∴△BOC∽△BCD，∴，即，∴BO＝，CO＝，∴DO＝BD﹣BO＝，∵∠DOE＝∠BOC＝∠A，∠ODE＝∠ADB，∴△ODE∽△ADB，∴，即，∴OE＝，∴CE＝OE+OC＝，∴＝＝，故答案为：．17．（2分）（2023•南山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC，CE＝AD＝8，CE关于DE对称的直线恰好交AB于点F，则AF的长为．​解：如图，连接DF，过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥EF于点N，DP⊥AB于点P，∵AB＝AC，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝BC＝6，∵DM⊥AC，DP⊥AB，∴DM＝DP，∵∠CED＝∠FED，DN⊥EF，DM⊥AC，∴DM＝DN，∴DN＝DP，∵DN⊥EF，DP⊥FB，∴∠EFD＝∠BFD，∴∠MDE＝∠NDE，∠NDF＝∠PDF，∴∠EDF＝∠MDP＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠CAD，∴∠B＝∠C＝90°﹣∠CAD，∵∠EDF+∠FDB＝∠C+∠CED，∴∠FDB＝∠CED，∵∠B＝∠C，∠FDB＝∠CED，∴△CDE∽△BFD，∴＝，∴BF＝＝，∵AD＝8，BD＝6，∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴AF＝AB﹣BF＝10﹣＝．故答案为：．18．（2分）（2023•京口区校级一模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为．解：如图所示：在△BDF和△ECF中，，∴△BDF≌△ECF（AAS），∴BF＝EF＝，又∵BF∥DA，∴△BFO∽△ADO，∴，又∵AD＝4，∴，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，又∵AB＝AO+BO，∴AO＝，故答案为．19．（2分）（2023•乌鲁木齐一模）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP+2EF的最小值为2．解：由题意知：当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，所以点P的运动轨迹为圆时，设圆心为O，如图1，连接OC，OM，保持∠COM＝90°满足条件，正方形ABCD中，BC＝2，∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝，∵∠MPC＝∠COM＝45°，∴⊙O的半径为1，如图2，连接AC，在OA上取一点N，使ON＝OP，连接PN，AP，OP，∵∠MCO＝45°，∴点O在AC上，∵AC＝＝4，∴OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝3＝3OP，∴＝，∠PON＝∠AOP，∴△PON∽△AOP，∴，∵F是PB的中点，E是AB的中点，∴EF是△ABP的中位线，∴AP＝2EF，∴3BP+2EF＝3BP+AP＝3（BP+AP）＝3（BP+PN），连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交⊙O于点P，过N作NG⊥BC交BC于G，如图3，∵CN＝OC+ON＝1+＝，∴NG＝CG＝，∴BG＝2﹣＝，根据勾股定理得：BN＝＝＝，∴3BP+2EF＝3（BP+PN）＝3BN＝2．故答案为：2．20．（2分）（2022•包头模拟）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE＝CN；②；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤；其中正确结论有①②③④⑤．解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，∵CG⊥DE，∴∠CDG+∠GCD＝90°，∴∠BCN＝∠CDG，∴△NBC≌△ECD（ASA），∴DE＝CN，故①正确；②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝；故②正确；③如下图所示，过H点作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴IJ＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3S△BNH，故③正确；④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四边形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故④正确；⑤如图所示，连接NE，设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝x，EN＝＝＝x，由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，∴GE＝x，∴GN＝＝x，∴GN+GE＝x+x＝x，∴GC＝CN﹣GN＝x﹣x＝x，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴＝＝＝，∴BG＝FG，∴BG＝BF，FC＝BN＝x，∴BG＝×x＝x，∴GN+GE＝BG，故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•靖边县校级模拟）铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度AB．如图，小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上，DG＝3米，CD＝33米；甲站在G处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在F处时，甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上，EF＝1米，AC⊥CG，FD⊥CG，HG⊥CG，点B在AC上，点E在DF上，点C、D、G在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度AB．​解：过点H作HM⊥DF，垂足为M，并延长HM交AC于点N，由题意得：NC＝MD＝HG，HM＝DG＝3米，CD＝NM＝33米，∴HN＝HM+NM＝36（米），∵∠BNH＝∠EMH＝90°，∠BHN＝∠EHM，∴△BNH∽△EMH，∴＝，∴EM•NH＝BN•MH，∵∠ANH＝∠FMH＝90°，∠AHN＝∠FHM，∴△ANH∽△FMH，∴＝，∴＝，∴MH（AB+BN）＝NH（EF+EM），∴MH•AB+MH•BN＝NH•EF+NH•EM，∴MH•AB＝NH•EF，∴3AB＝36×1，∴AB＝12米，∴人物铜像的高度AB为12米．22．（8分）（2023•银川校级二模）如图，△ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）计算△A′B′C'的面积S．解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）；（2）如图：△A'B'C'即为所求；（3）S△A'B'C'＝×4×8＝16．23．（8分）（2023•绥德县一模）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC＝33米，∴＝，∴AB＝24米，∴常乐宝塔的高度AB为24米．24．（6分）（2023•碑林区校级模拟）小延想要测量学校教学楼AB的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆DE的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆DE的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离MN＝FG＝1.6米，NG＝2米，GE＝6米，BE＝8米，AC＝3米，MN、FG、DE、AB均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼AB的高度．解：连接MF并延长，交DE于点H，交AB于点P，由题意得：MN＝FG＝HE＝PB＝1.6米，MF＝NG＝2米，FH＝GE＝6米，HP＝EB＝8米，∠DHF＝∠APM＝90°，∴MH＝MF+FH＝8（米），MP＝MF+FH+HP＝16（米），FP＝FH+HP＝14（米），∵∠DMH＝∠CMP，∴△MDH∽△MCP，∴＝，∴＝，∴DH＝CP，∵∠DFH＝∠AFP，∴△FDH∽△FAP，∴＝，∴＝，∴＝，解得：CP＝18米，∴AB＝AC+CP+PB＝22.6（米），∴教学楼AB的高度为22.6米．25．（8分）（2022•承德二模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∠PDQ的顶点D在BC上，DQ经过点A，DP交AB于点E，且BD＝3，∠PDQ＝∠B．（1）BE的长是3；（2）如图2，把∠PDQ绕顶点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中始终保持∠PDQ的开口在BC的上方，且DP不与DB重合，DQ交AB于点G，交CA的延长线于点F（点F不与点A重合），设BE＝x，AG＝y．①请说明△BDE与△CFD相似；②请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；③是否存在以∠GFA或∠FGA为顶角的等腰△AGF？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．解：（1）∵AC＝AB＝5，BC＝8，BD＝3，∴∠B＝∠C，DC＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∵∠B+∠BED＝∠EDC＝∠PDQ+∠ADC，∠B＝∠PDQ，∴∠BED＝∠ADC，∴△BED∽△CDA，∴，即BE＝，故答案为：3；（2）①∵∠B+∠BED＝∠EDC＝∠PDQ+∠FDC，∠B＝∠PDQ，∴∠BED＝∠FDC，又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；②如图，过点D作DM∥AB，交AC于点M，∵DM∥AB，∴△CDM∽△CBA，∴，∴，即MD＝CM＝，由①知，△BDE∽△CFD，∴，∴，∵BE＝x，∴CF＝，∴AF＝CF﹣AC＝，FM＝CF﹣CM＝，∵DM∥AB，AG＝y，∴，即，整理得：y＝，结合（1）的BE的长度可知0＜x＜3，即y＝（0＜x＜3），③存在，理由如下：第一种情况：当AF＝GF，如图，过点D作DH⊥AB于H点，过点A作AS⊥BC于点S，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AS⊥BC，∴BS＝SC＝，∴AS＝，∴sinB＝，cosB＝，∵DM∥AB，∴，∵AF＝GF，∴FM＝FD，∴DG＝FD﹣FG＝FM﹣AF＝AM，在②中知AM＝，∴DG＝AM＝，∵HD⊥AB，∴∠DHG＝90°，∴HD＝BD•sinB＝3×，∴GH＝，∴AG＝AB﹣BH﹣HG＝，∵y＝，0＜x＜3，AG＝y＝，∴＝，∴x＝，此时BE＝；第二种情况：∠FGA为顶角，即FG＝AG，设DN交CA的延长线于N，作ET⊥BC于T，∵FG＝AG，∴∠GAF＝∠GFA，∵∠B+∠C＝∠GAF，∠NDF+∠N＝∠GFA，∠C＝∠B＝∠NDF，∴∠N＝∠B＝∠C，∵DC＝5＝AC，∴△ABC≌△DNC（AAS），∴ND＝AB＝5，CN＝BC＝8，AN＝NC﹣AC＝3，∵AN＝3＝BD，∠B＝∠N，∠BED＝∠NEA，∴△BED≌△NEA（AAS），∴NE＝BE＝x，DE＝ND﹣NE＝5﹣x，在Rt△BTE中，ET＝BE•sinB＝，BT＝BE，∴TD＝BD﹣BT＝3﹣，在Rt△ETD中，DE2＝ET2+TD2，∴（5﹣x），解得x＝，∵0＜x＜3，∴x＝舍去，综上所述，BE的长为．26．（8分）（2022•东莞市校级二模）如图1，△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为2cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）当x＝1时，求EF的长；（2）如图2，AD⊥BC于D，求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（3）如图2，AD⊥BC于D，交EF于点N，连接DF，设△END的面积为S1，△FND面积为S2，在整个运动中，S1与S2是否存在固定的数量关系，若存在，写出S1与S2满足的关系式，并加以证明；若不存在，也请说明理由．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，过点F作FG⊥BC，根据题意可得CF＝BE＝2，AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD＝，∵FG∥AD，∴△FCG∽△ACD，∴，∴FG＝，CG＝，∴EG＝BC﹣BE﹣CG＝，∴EF＝＝；（2）当点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA，∴，解得x＝；②当时，△CFE∽△ACD，即，解得x＝；当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC与△ACD相似，综上所述，当x＝或时，△EFC和△ACD相似；（3）点E从点B到点D的时间为4÷2＝2，点F从点C到点A的时间为5÷2＝2.5，①当0＜x＜2时，如图所示，△FND与△END有相同的底ND，过点F作FH⊥AD于H，∴FH∥BC，∴∠C＝∠AFH，∴cos∠AFH＝cosC＝，∵AF＝5﹣2x，∴FH＝AF，∵ED＝4﹣2x，∴＝；②当2＜x＜2.5，EF与AD无交点，无法产生三角形；点E从B到C的时间为8÷2＝4，点F从C到A时间为10÷2＝5；③当2.5＜x＜4时，如图所示，与①同理可得：ED＝2x﹣4，AF＝2x﹣5，∴FG＝AF，∴＝；④当4＜x＜5时，如图所示，同理①可得：ED＝4，AF＝2x﹣5，∴FG＝AF，∴＝，综上所述，＝（0＜x＜2）或（2.5＜x＜4），＝（4＜x＜5）．27．（8分）（2022•大连模拟）已知：如图，△ABC中，BD是中线，点E是AB上一点，CE与BD交于点F，EB＝EF．（1）在图中与∠DFC相等的角有∠EFB和∠EBF；（2）在图中找出与线段AB相等的线段，并证明．（3）若∠ADB＝90°﹣∠ABD，AB＝kAC，求的值．（用含k的代数式表示）解：（1）∵EB＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠DFC＝∠EFB，∴∠DFC＝∠EBF，故答案为：∠EFB，∠EBF．（2）CF＝AB．延长BD到G，使BD＝DG，连接AG，CG，∵△ABC中，BD是中线，∴AD＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CG＝AB，CG∥AB，AG∥BC，∴∠ABC＝∠BGC，∵EB＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠GFC＝∠EFB，∴∠GFC＝∠CGF，∴CF＝CG，∵CG∥AB，∴CF＝AB．（3）如图，在FD的延长线上取点M，使FM＝FC，