高数大一下课件9习题课

PAGE2PAGE2理解两类曲线积分的概念曲线积分的性质及两类曲线积分的关系会计算两类曲线积分掌握格林(Green)公式,曲线积分与路径无关的条件

斯托克斯(Stokes)公式、两类曲面积分方法梯 gradu

uu

u通

Qdzdx

散 divA

x

Ads

Qdy

旋度

ii

Qkk

R)

P4 定理(格林定理)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有导数

(Q

P)dxdy

其中L是D的取正向的边界曲线.公式(1)称格林公式(1(1)P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性联系(2)曲线L是封闭的,并且取正向边界曲线L的当观察者沿边界行走时LDLD

区域D总在他的左边DlDl 条件在单连通开区域D上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.

Qdy

0闭曲线C

y)使du

在D

Q 曲线积分的计算第一类(对弧长) 转曲线积分

第二类对坐标

第一类下小上大(与方向无关第二类

(与方向有关利用对称性及重心公式简化计算利用积分与路径无关的等价条件 利用格林公式(注意加辅助线的技巧);利用两类曲线积分的联系公式P(L

Q(

PPPQILPdx(x,yI

Pdx

I (QP(x0,y0

IL

Pdx

在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的设函数

(

y在一条光滑(或分段光滑)曲线L上连续,L关于y轴(或x轴)对称,

f(

当f(x,y)是L上关于x(或y)11

f(

y)ds,

当f(x,y)是L上关于x(或y)L1是曲线L落在y(或

轴一侧的部分计算时计算时应同时考虑被积函数f(x,y)与积在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的对坐标的曲线积分,当平面曲线L光滑的,

x轴对称

L下半平面部分的走向相反时, P(xy)为y21LP(21

y)dx

P(

P(xy)为y其中L1是曲线L的上半平面的部分

y)dy的讨论也有相应的结论北京交大期末试题北京交大期末试题(7分例计算曲线积分

(x2

y2nds(n是自然数其中L为圆周x2

y2

a2(a

I

(a2La2n La2n

2πa2n1.计算L

x2

y2ds其中L为圆周x2

y2

ax解

L:

a

(π2

π)ds

r2r2d

原式=

ds axax

a(r

)aπ

a2cos2a2cos2

yL:x2r

y2a 2a2 2cos0

2a2计算Lx2y2ds,其中L为圆周x2y2ax解xa(1

cost

yL:x2y2atL yasin

(0t

2π) [x([x(t)]2[y(t

dt

(xa)2y2 (a 2π 原式

a (12 2

cost

sint]2 2a2 2

dt

t1cos 1cosa2

tdt

tdt]

2a2 11x例设平面曲线L

y ,曲线积分

(x2

y2)ds

π解法一在曲线L上

x2

1,(x2L

y2)ds

L1ds法二用参数方程

cos,

则

(x2

y2 2

(sin)2

(cos)2dπ

例例设平面曲线L为下半圆周y 1x2,( 2y)ds2Lπ解

用极坐标L:

1,π

(x2L

y2)ds

2dsL

d例

(x2

y

z2 x2

y2z2

a2其中

xΓyz xΓ解法一若将曲线化为参数方程,比较麻烦,算的方法是不可取的现根据曲线x2

y2z2

a2与平面x

y

0特点x,y,z地位相等可以轮换曲线的方程不变I

(x2

yz2)ds

Γyds

(Γ

z2例计算I例计算I( yz22其中xyzx2y2z2a2.

(x2

y

z2)ds

Γyds

(zxaOyzxaOyΓ

z2因

yds

Γ所以

yds1

(x

yz)ds1

0ds 3 3

x2dsΓ

y2ds

z2dsΓx2z2ds2x2y2z2ds4πa3 3 解

利用轮换对称性,x2ds

y2ds

z2ds利用重心公式知

yds

yds所

2

(x2

y2

z2)ds

2

ds

4πa3zxaoΓy例计算I(zxaoΓy例计算I( yz22其中xyzx2y2z2a2.yydsΓdsΓ 计算曲线积

I

2

z2ds,

x2

y2z2

a2与平面x

y相交的圆周,其中ax2y2z2

a2

2y2z2

a2x x

x xI

z2dsΓ

a2ds

aΓa(2πa)2πa2北京交大期末试题(7分北京交大期末试题(7分

L(2xy

x2dxxy2dyL是抛物线y1x1xy2D

x2与y

x P2xy

x2 Qx

y2

yx2P

2

QQ

1

2x,

1 1

ID

.

2x)dxdy

2

xxy=例y=

x

其中

x2

y2z2

1所得截痕,从z轴正向看去,针方向 因在上有x2

1,xcos2 y 1sin2

(0

2π)

原式

z12

2222

sin2πcos2

t

tdt

x或用2 22

20

222222

1π4 2

北京交大期末试题(8北京交大期末试题(8分例选取a与b

ax

dxx

ybdyx2y2 x2y2一函数u(xy)的全微分,并求u(x ax

xy 2Px2y2

Q

x2y2

(x,y)P

Q,

x2

y2

(ax

y)2y

x2

y2(x

yb)2(x2

y2

(x2

y2解得

1,b0.x,

y)

(x,y)(x

y)dx(x

x2y2x,

y)

(x,y)(x

y)dx(x

(x,(x,y)

x2

xdx xy x2y2lnx

yydx ydx

yd(

2y221

yxx

2

x2y2ln

arctanyx

1ln(x22

y2)lnarctanyx

1ln(x22

y2 第九 第九 研究生考题,计算(6分例确定常数

使在右半平面

0x,

y)

2xy(x4

y2)

x2(x4

y2)为某二元函数u

y)的梯度,并求u

y).令Px,Q(x,

y)y)

2xy(x4x2(x4

y2y2如果存在二元函数u(xy),gradu(

y)

P(

y)i

Q(

y)

Q

P

由此确定

u(x,y).PP(x,y)2xy(x4y2),Q(x,y)x2(x4y2解Q

2x(x4

y2

4x5(x4

y2)P

2x(x4

y2

4xy2(x4

y2)

4x(x4

y2)

1)2

x即P

x4y2

Q

x4y2以下用两种方法求u(x,PPx4,Qx2x4y2

(1,0)作为积分路径的起点u(x,y)

(x,y

2 x2可

x4

y2dx

x4y2 2x

x2y(x,

x4

y2dx

x4

y2dy

yyy

ydyx2dy

arctanx

1

x2u(x,y)

yCx2C为任意常数duduudxudyPdxP2x4y,Qx2x4y因为u

x2x4y2 u(x,

y)

ydy

f(x)

x2x4

y2dy

f(x)2 21y

ydx2d

f(

arctanyx2

f(x)x2

2另一方面,

x

P(

y)

x4y2arctan

f(x)

2x

x2

x4y2 u(u(x,y)arctanyf(x)x2arctan

f(x)

2x

x2

x4y2

f(x)从

(x)x,

y)

arctanx2

CduduudxudyPdxP2x4y,Qx2x4y2 x2x4

dxy2

x4y2ydx2

y2 ydx2

x2dyx4y2y2

x4y2x2

y2x2x4

y2 yx2

2x xy

ydarctan y x2x,

y)

C 类似170页自测题九第8 例设曲线积分

xy2dx

yx)dy与路径无关其中具有连续的导数且(0计算(1,1)xy2dx(0,0)

解P

y)

xy2

Q(

y)

y(x)P

(xy2)

2

Q

[y(x)]

y(x)

P 即yx)

2Lxydx2(与路径无关其中具有连续的导数,且(0计算(0,0)xy2dxy(由yx

2xy

(x)

x2由(0)

0知

0

(x)x(1,1)xy2dx(0,0) (1,1)xy2dx1(0,0)1

101

12

法 (1,1)xy2dx(0,0) (1,1)xy2dx(0,0)

Lxydx2(与路径无关其中具有连续的导数,且(0计算(0,0)xy2dxy(x)dy.

y0dyx2x2111

0 20课本171页自测题九第9 例求柱面x

1在球面x2

y2z2内的侧面积解S

f(

y)ds

1x2

y2fxy0时平面曲线LS柱面面积Lfxy)ds在几何上表示以L为准线母线平行于z轴的柱面之介于平面在z=0zfx,y之间那部分的柱面面积1x21x2y2π80

3sin23sin2tcos2

1cos6tsin1cos6tsin6240π

333

20

t

tdt 2222Lx3y31xcos3t,ysin3t,(0tπ2)ds(x)2(y)2dt3sintcostt

类似171页自测题九第15 设函数

在(,)内具有一阶连续导数L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线为(ab),终点为(c,d).I

1[1y

y2

(xy)]dx

x[y2

f(xy)证明曲线积分I与路径L无关当ab=cd时求I的值证(1)

P

{

y2

(f(xy)

1y2

(

Q

{

[

f(xy)所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关 I1LyfI1Lyf(xy)]dx2xy2[yf(xy)2L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线起点(ab终点(cd).(2当abcd时,求I的值(c,d(a,b)(c,b)法 所以

c2 2a

f用线积分 bb

c[

f(cy) 2 2cdcacdb

bc

(cy)dyc cd

af(t)dtf(t

ca 用全微分 y

xdy

xdyd

(c,d(2I(2Idxxdyyf(xy)dxxf(Lyy2LL是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线起点(ab终点(cd2当abcd时,求I的值2[yf(xy)xy22yf(xy)]dx1LIxyca(a 设F(x)为f(x)的一个原函数Lyf(xy)dxxf(xy)dyLf(xy)(ydx

Lf(xy)d(xy)

F(cd)F(ab)

Id

a b 两类曲线积分之间的关

Qdy

(P

Qdy

Rdz)ds

其中cos,cos,cos余弦

为曲线弧Γ例

,s是曲线段L的长度P2QP2Q2

y)

Q(

在L上连续,L

M PcosPcosQcosPP2Q2

L

Pds

Qcos

L

)P2Q2 P2Q2L

Ms.PPcosQsinP2Q2PP2Q2cosQP2Q2sin常用三种方法若P,Q,R在闭曲面Σ所围成的空间域Ω具有一阶连续偏导数

Qdzdx

(P

Q

其中Σ取外侧

1.若Σ非闭而P,Q,R比较复杂,P,Q,R加面

后

为闭所构成的空间域具有一阶连续偏导数I

注若P,Q,R具有一阶连续偏导数,用方法注即用高斯公式I

P(

y,

Q(

y,z)dzdx

R(

y,Dyz

P(

y,

y,

Q(

y(z,

x),

R(

y,z(

的确定注若P,Q,R注情况下则用方法2.处理

即分面投影化为二重积分向量的点积法(合一投影法设曲面Σzz(x规定Σ

(zx,

zyI

Qdzdx

(P,Q,R)(dydz,dzdx,dxdy)

AΣ(P,Q,R)(zx,zyΣ

将Σ在xOy(P,Q,R)(zx,zy注注若曲面Σ在xOy面上的投影为一个区域则用方法3.简便.即向量的点积法(合一投影法 AA(P,Q,n0(cos,cos,cos(zx,zy,1),dS1z2z21z2z2dxdyxyxy若题设中曲面若题设中曲面的侧与(zxzy,1)相同取,否则取若Σzz(xy)给出1z21z2z2xy1z2z2xy

,cos

zy 1z21z2z2xy若Σxx(yz)给出1x1x2x2yzcos

xy1 2xy

cosx,zx,

xy

11x2x2yz若Σyy(xz)给出1y1y2y2xz

1y1y2y2xz1y2y2xz

yx

cos.

取,否则取取,否则取 dSdS1x2yz3.向量的点积法(合一投影法设曲面Σxx(y规定Σ

(1,xy,

xzI

Qdzdx

Rdxdy

AΣ(P,Q,R)(1,xy,xzΣ(P,Q,R)(1,xy,xz若题设中曲面的侧与(1,xy

xz)相同取,否则取取,否则取 dSdS1y2xz3.向量的点积法(合一投影法设曲面Σyy(x规定Σ

(yx,1,

yzI

Qdzdx

Rdxdy

A(P,Q,R)Σ

yx

yz(P,Q,R)

yx

yz若题设中曲面的侧与

yx,

yz)相同例计算

x2x2y2将(P,Q,R)(zx,zy,Σ

ydydz

xdzdx

z2dxdy,其中外侧

z

z1,z

2zxzy

解向量的点积法(合一投影法z21xOz21xOznyx2y2x2y2yx2x2y2若曲面Σ若曲面Σ在xOy面上的投影为一个区域则用方法3.简便即向量的点积法(合一投影法

(zx,

zyIydydzxdzdxΣ将将Σ在xOy面上投影PQ,R(zxzy,ΣI(

y,x,z2

x2yx2y2zzx2y2

x2y2,1x2y2D:D:1 22一一 二 三定

(x2

y22π 2π

21

152例I[

f(

y,z)

f(

y,z)

[

(

y,z)

z]dxdy

f(

yz为连续函数

xy

1在第四卦限部分的上侧3z3z1Oyx13Σ3

n3cos3

1,cos

1

cos II[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)[f(x,y,z)3I{3

1[

(

y,z)x]33

[2

(

y,z)y]

1[

(

y,z)

z]}dS33 33

(x

y3Σ:x3Σ:xyz

1dSdS3 3

1

3dxdy12

高斯 高斯(Gauss)公式通量与散 I(8

1)xdydz

y2

4 x其中是曲线x

y

y

一周所成的曲面它的法向量与y恒大于πyyz 解x

绕yOy1

z2

x2(如图 高斯(Gauss)公式通量与散 znOznOxnyy1z2x

(8

1)xdydz

y2

4补1y

取右侧 I

Q

R1

z(8

14

4 dv

2 :x2 :x2z22

22

(2

2π.2323 高斯(Gauss)公式通量与散 I(8y1xdydz2(1y2dzdx400

2(1

补1

y31 16dzdx

:x

z2

216

故I

(32π)

1112例设S为椭球面 22

222

1的上半部分点Px,yzSΠ为S在点P处的切平面x,

y,z)为点O(0,0,0)到平面Π的距离,求S

(x,

dSy,z)解设X,YZ)为上任意一点则得出xX2

yYzZ1x2x2y2244z(x,

y,z) 由zz

x

z

2121222212122221222z21222dS 1xy

44x2y22 1222

x22y2221dSdS4x2y2