专题8 解三角形问题（原卷版）

专题8解三角形问题目录一、热点题型归纳【题型一】坡角、坡度问题【题型二】仰角、俯角问题【题型三】方位角与方向角问题二、最新模考题组练【题型一】坡角、坡度问题【典例分析】如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为，坝项宽米，坝高5米．求：(1)坝底宽的长（结果保留根号）；(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽米，背水坡的坡度改为，求横截面增加的面积（结果保留根号）【提分秘籍】基本规律坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h∶l的形式。

【变式演练】1．（2019·江苏常州·校考二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面的距离；(2)网络信号塔的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）2．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．(1)求点到建筑物的水平距离；(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．）【题型二】仰角、俯角问题【典例分析】如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．【提分秘籍】基本规律仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。【变式演练】1．长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是．已知楼房高约是．（结果用根号表示）(1)求楼房与电视塔底部距离的长；(2)求电视塔的高度．2．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为，测角仪的高度为1.6m．参考数据：，，，．(1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．【题型三】方位角与方向角问题【典例分析】如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，请求出码头A与小岛C的距离是多少海里（结果保留根号）．【提分秘籍】基本规律1.方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角。

2.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。【变式演练】1．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西方向上，码头A到小岛C的距离为海里．(1)______度，______度；(2)求观测站B到的距离．2．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行60海里至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向．，，，结果精确到海里）(1)∠ACB=°；(2)求、两港之间的距离．1．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在一座建筑物上，挂着“美丽徐州”的宣传条幅，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为，测得D处的俯角为，其中点A、B、C、D、E在同一平面内，B、C、D在同一条直线上，，求宣传条幅长．给出下列条件：①BD=60米；②D到的距离为25米；③米；请在3个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）2023年3月18、19日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演．本次比赛为期2天，共有来自全区26所中小学代表队，近270名运动员参加．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形在水平地面上，它的高为40cm，长为200cm，底箱与后拉杆所成的角，后拉杆长为180cm，支撑架的长为182cm，伸臂平行于地面，支撑架与伸臂的夹角，篮筐与伸臂在同一水平线上．(1)求点F到地面的距离；(2)求篮筐到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，）3．（2023·江苏徐州·校联考一模）如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为．．(1)点D到的距离为______；(2)求点D到的距离．4．（2023·江苏镇江·校联考一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为，平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离为．(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：；(2)求点C离地面的距离．(参考数据：，结果精确到）5．（2023·江苏徐州·统考一模）我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求：(1)坡顶A到地面的距离；(2)求碑亭的高度（结果保留根号）．6．（2023·江苏苏州·统考一模）国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854(1)目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；(2)根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．(3)活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）7．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）(1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.8．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．(1)求点距水平面的高度；(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）9．（2023·江苏泰州·统考一模）如图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）(1)若，，求点到直线的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，）10．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）11．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．(1)求坝底的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）12．（2023·江苏徐州·统考一模）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在校门上的点处，已知，．(1)___________度，___________度．(2)学生身高米，当摄像头安装高度米时，求出图中的长度；（结果保留根号）(3)为了达到良好的检测效果，测温区的长不低于米，请计算得出设备的最低安装高度是多少？（结果保留位小数，参考数据：）13．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角，塔底C处俯角，小明所在位置高度m．(1)求两栋建筑物之间的水平距离；(2)求国师塔高度．（结果精确到1m）（参考数据：）14．（2022·江苏南京·统考二模）如图，一条宽为的河的两岸，互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥，．测得公路的长为，公路，与河岸的夹角分别为，，公路，与河岸的夹角分别为，．(1)求两座桥，之间的距离（精确到）；(2)比较路径①：和路径②：的长短，则较短路径为（填序号），两路径相差k