2021年高三第七次调研考试文数试题含解析

2021年高三第七次调研考试文数试题含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，若，贝I」（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

试题分析；；M={3Jog2a}W={a闽，且乂口.丫=期，所以［臂（=°,得。=1q=0,所以

［。=0

Af={3⑼"=—（＞},所以AfUN={Q1.3}

考点：集合的交集、并集运算.

2.设，则是成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：，所以是成立的充分不必要条件.

考点：充分、必要条件的判断.

【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不

必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则

说P是q的充分不必要条件；②

必要不充分条件：如果，且，则说P是q的必要不充分条件；③

既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也

不必要条件.

3.已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点，且,

则的范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析1

a十2

sinoc

如一疔+(。+2)2

试题分析:由三角函数的定义可知，，又3

3a-9

cosa

,(3-9)2+"+2广

p+2>0

得故选

’3a-9Moaw(-2,3],C

考点：三角函数的定义.

4.在各项均为正数的等比数列中，，则（）

A.有最小值6

B.有最大值6

C.有最大值

9D.有最小值3

【答案】A

【解析】

试题分析：因为在等比数列中，，所以，所以由基本不等式可得，，

当且仅当时等号成立，故应选.

考点：1、等比数列；2、基本不等式的应用.

5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体

积为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

试题分析：几何体外接球的直径为四棱锥底面的对角线虎，球体积P

考点：空间几何体的三视图.

6.在中，若点满足，则（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

试题分析：根据题意画出图形如下所示:

考点：平面向量的共线定理.

7.函数的图象与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,

要得到函数的图象，只需将的图象（）

A.向左平移

B.向左平移

C.向左平移

D.向右平移

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意知，函数的周期为，所以，即.要得到函数的

图像，只需将的图像向左平移个单位即可，故应选.

考点：1、函数的图像及其变换.

8.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关

于的条件是（）

A.

B.

【解析】

试题分析：模拟算法；初始值；4=10a=1,判断条件成立；S=l+H)=lLk

立；5=11+9=20^=9-1=8,判断条件成立；S=2O+8=28津=8-1

S=28+7=35,比=7-1=6,判断条件不成立，输出S=35,结束算法.由此E

故选D.

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/(x)=2工—工=无士在区间(a—L«+l)上有零点，

2x2x

p-l>0

由得尢=三，贝I］，1/得l£a<二,i

2a—1<—<a+l2

I2

【答案】D

考点：程序构图.

9.已知函数，若，则()

A.

B.

c.

D.

【答案】C

【解析】

试题分析：，，所以（）（）2214111133

laafaaa-□□-=+

=-=--=□+□□-+,故选C.考点：函数的奇偶性.

10.已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实

数的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.【答案】D

【解析】

试题分析：因为函数在区间上不单调，所以

考点：函数的单调性与导数的关系.

11.设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定

【答案】B

【解析】

试题分析：•・・，・•・,即，・•・，即,故三角形的形状为直角三角形,

故选：B.

考点：三角形的形状判断.

【思路点睛】本题考查的知识点是三角形形状判断，对数的运算

性质，熟练掌握对数的换底公式是解决本题的关键，结合对数的

运算性质，及换底公式的推论，可将已知化为：，再由勾股定理

判断出三角形的形状.

12.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且

为三角形的内心，若成立，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

试题分析：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意

得，，故，

,故选：D.

考点：1.双曲线的简单性质；2.圆锥曲线的定义、性质与方程.

【思路点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数

法求出参数的值，设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等

式中的三角形的面积，解此等式求出.

第n卷（非选择题，共9。分）

二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答

题纸上）

13.若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等,则实数.

【答案】-1

【解析】

试题分析：因为z=丘二1一点,所以一。=1Q=—L

I

考点：复数概念.

14.已知，实数满足若的最大值为2,则实数.

【答案】1

【解析】

试题分析：由已知的约束条件可知，

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目标函数在点处取得最大值，即，所以，故应填1.

考点：简单的线性规划.

15.顶点在原点，经过圆的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为

【答案】.

【解析】

试题分析：因为圆cd+丁-2尤+%/逅=0的图心为（1,飞），抛物线的顶£

且经过点&r保）.设抛物线的标准方程为丁=2冲，因为点色一）的抛物自

所以「=1,所以所求抛物线的方程为俨=2"，故应埴/=24.

考点：1.抛物线的标准方程；2.圆的标准方程.

【思路点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和圆的标准方程，

重点考查抛物线的标准方程的求法，属中档题.其解题的一般思

路为：首先设出抛物线的标准方程，然后利用已知条件知其图像

过点，代入即可求出抛物线中的参数，最后得出所求的抛物线的

标准方程即可.

16.设函数在内可导，且，且.

【答案】

【解析】

试题分析：令，贝L.

考点：求导数值.

【思路点睛】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解

析式，属于基本题型；由题设知，可先用换元法令，求出函数的

解析式，再根据求导公式，求出函数它的导数，然后再将代入，

进而求出.

【解析1

试题分析：Cl）根据三角函数的恒等变换公式，可得/（x）=l+2dn（2x—5）

,可知当2工一£=2时，即可求出结果；（2）由（口知幺=

63332

可得比=M,再根据余弦定理，可得储=/+/-次85，=/+/一比由

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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.）17.已知函数（）2

2sin3cos2,,442fxxxxnJIn□

□

□□

=+

-e□□□□

□□□

,设时取得最大值.（1）求的最大值及的值；

（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值.【答案】（1）；

（2）

试题解析：解：（1）由题意，

（）lcos2321sin23212sin223fxxxxxxnn□□□□□

□=-+=+=+-□□□□□□□□□

□.

又，贝U.故当，即时，.（2）由（1）知,由，即.又.贝

即.故.

考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.余弦定理.

18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民

区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24

小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽

取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，

数据统计如下：

组别PM2.5浓度(微克/立方米)

频数(天)

频率第一组30.15第二组120.6第三组30.15第四组

2

0.1

(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的

5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓

度超过75微克/立方米的概率；

(2)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的

年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理

由.

【答案】(1);(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合

环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.

【解析】

试题分析;《I〉将从这5天中任意抽取2天所包含的所有基本事件一一例举，再将3

的24小时平均浓度超过75微克/立方米的所包含的基本事件一一例举，根据看

求.(口)每组的中点与本组频率乘积之和即为所求的FM2.5的年平均浓度，若:

量标准，否则即符合环境空气质量标准.

试题解析：解：(1)抽取的2天恰有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克〃

的24小时平均浓度在(50,75］内的三天记为&&遥，PM2.5的24小时平均浓

为&q•

所以5天任取2天的情况有；

44.4414卫1,44,44,4用,4易：4^1;%外

其中符合条件的有6种，所以所求的概率尸(*)=《=|.

(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为：

12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5x+x+x+x=(微克/立

方米)

.因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气

质量标准，故该居民区的环境需要改进.

考点：1古典概型概率；2平均数.

19.在如图所示的多面体中，已知是正三角形，是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值.

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【答案】(1)见解析；(2)

；(3).

【解析】

试题分析；(1)取GE中点M,先证明四边形ASM尸为平行四边形，可得加如

定定理可证结论成立；(2)由勾股定理得到XB_LXC,又知_LXZ)MCn/

ACD,从而得到直线b与平面盘即所成的角，在三角形中求解即可J(3)

即可.

试题解析；解；(1)如图，取CE的中点M,连接团《前尸，因尸为CD的中点

AFff^-DE,所以四边形为平行四边形.

=2=

所以MF"空，因为阮fu平面BCE/Fa平面比近，所以平面2c

(2)因为是正三角形，所以，在中，，所以，故，又，所以平

面.

取的中点，连接，贝4,又，所以，又，所以平面，所以是直线与

平面所成的角.

在中，，所以.

考点：1.线面平行、垂直的判定与性质；2.线面角的求法；3.多

面体的体积.

【方法点睛】本题主要考查线面平行、垂直的判定与性质，线面

角的求法及多面体体积的求法，属中档题.判断线面平行的常用

方法有：

1.利用线面平行的定义；

2.利用线面平行的判定定理；

3.利用面面平行的性质(即若两个平面平行，一个平面内的任

意一条直线平行于另一个平面).

20.如图，已知圆，圆.

(1)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(2)设动圆同时平分圆、圆的周长.

①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；

②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理

由.

【答案】（1）或；（2）①详见解析；②动圆过定点和

【解析】

试题分析；设过直线/方程；y=«（x+l）,根据垂直于弦的直径的性质，结合点到直线的距离公式列

式，可解出力的值，颂得到直线/的方程；<2>①由题意，圆心C到G、G两点的距离相等，由此结合

两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x+p-3=0，即为所求定直线方程;②根据题意设C（掰,3-掰），

得到图C方程关于参数m的一般方程形式，由此可得动圆C经过圆，十/一6>-2=0与直线

x-y+l=O的交点，最后联解方程细，即可得到动图C经过的定点坐标.

试题解析：解：（1》由题意可知G（-LO），G（3.4）/=1,

由图知直线/的斜率一定存在，设直线，的方程为p=k（x+l）,艮［lfcr-p十后=0

因为直线/被图02截得的弦长为1，所以图心G到直因/的距离为d=与二；1=V（1/=?

34

解得麦=_或彳j所以直线/的方程为3*_4y+3=0或4/_?了+4=0.

43

（2）①证明：设动圆圆心，由题可知

则

化简得，所以动圆圆心在定直线上运动.

②动圆过定点

设，则动圆的半径为

动圆的方程为（）（）（）（）2222

3113xmymmm-+-+=+++-整理得

,解得或

所以动圆过定点和.

考点：1.圆与圆的位置关系及其判定；2.直线与圆的位置关系.

21.已知函数，其中为常数.

(1)当时，若在区间上的最大值为，求的值；

(2)当时，若函数存在零件，求实数的取值范围.

【解析】

试题分析：⑴当时，函教在上单调速增，在［一；,+"上单调递减，利用/(x)

在区间(0,。)上的最大值为T,即可求。的值；《2》由题意，g(x)=|/(x)|-等-g有实数根，求出

/(到回，令林力=史+:，求出=无⑷=1+：,可得弱力皿,=方8)=白+:±1,即可求实

x2e2e2

皴上的取值范围.

【答案】(1);(2)试题解析：解(1)由题意，令解得

因为，所以，

由解得，由解得

从而的单调递增区间为，减区间为

所以，()maxllllln4fxfaa□□□□=-=—+-=-□□□

□□□

,解得.(2)函数存在零点，即方程有实数根，

由已知，函数的定义域为，当时，，所以，

当时，；当时，，所以的单调增区间为，减区间为，所以，所以.令，

则.当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减，所以，

要使方程有实数根，

只需即可，贝II.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求闭区间上函

数的最值.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是圆上两点，与相交于点是圆的切线，点在

的延长线上，且.求证：（1）四点共圆；

（2）.

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析；本题主要以圆为几何背景考查四点共图问题，线线垂直的证明，考查学生的转化与化归能力.第

一问，利用切线的性底得出OC_LCG,ODA.DG,利用圆心角和圆周角的关系得出NCD5=2/1,

ZDOA=2/2,通过角之间转化得出ZDEC+ZF=180°,所以D„E.C,F四点共圆；第二问，通过边长

相等，确定四点所在圆的圆心为G,利用半径相等得出AGCE在等腰三角形，所以NGCE=/GEC,通

过角之间的辛专化，证出NEHA=90°,所以GEJ.4ff.

试题解析：（1）如图,连接。C，则。c,8；，DG,设ZCAB=ZL8BA=Z2,ZACO=A,

则NCO0=2NLZDOW=2N2.所以ZDGC=180。-ZD0C=2（Z1+N2）.Eft）ZZ>GC=2ZF,

所以々=N1+N2,又因为NDEC=Z®=180。一（N1+N2）,所以NDEC+NF=18。。，所以

D.E.C尸四点共圆.

(2)延长交于点.因为，

所以点是经过四点的圆的圆心，所以，

所以.又因为，所以，

所以，所以，即.

考点：1.切线的性质；2.圆心角与圆周角的关系；3.四点共圆的

判定.23.选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程；

(2)求直线被曲线截得的弦长.

【答案】(1);(2)

【解析】

试题分析：对第(1)问，利用二倍角公式8S2,=85。6—4/夕及极坐标与直角坐标的转换公式

即可将曲线c的方程化为直角坐标方程,对第⑵问，将直线，的参数方程化为

1-4，-6=0,根据韦达定理，再利用弦长公式得弦长为卜-々|=J(f十/1f-4察2即可求出结果

试题解析：解：⑴由曲线C：p28s29="(cos2g_siJe)=i,

得，28s2。一片如2。=1,化成普通方程/一丁=1©

x=2+—?

2

(2)把直线参数方程《"为参数)②

把②代人①得：。+$)一(争二1整理，得金一4一6二0

设其两根为邑占，则=4马%=-6

从而弦长为归一引=而+幻j甬=押-4(-6)=屈=2而.

考点：1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程.

【方法点睛】1.极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边

同时平方，两边同时乘以P等方式，构造或凑配，再利用互化公

式转化.常见互化公式有()222cos