2021年初中数学历年教资考试真题含解析

2021初中数学历年教资考试真题含解析

2019年上半年中小学教师资格考试真题试卷

数学学科知识与教学能力（初级中学）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）

A.有理数与无理数的和B.有理数与有理数的差

C.无理数与无理数的和D.无理数与无理数的差

2人

xacost,

2.在空间直角坐标系中，由参数方程yasin2t,0t2所确定的曲线的一

zasin2t

般方程是（）

xyaxya,

A.2B.2

z2xyz4xy

2222o2

Xya.xy2a,

C.2D.2

Z2xyz4xy

3.已知空间直角坐标与球坐标的变换公式为

Xcoscos,

ycossin,0,,——»则在球坐标系中，一表

223

zsin

示的图形是()

A.柱面B.圆面

C.半平面D.半锥面

4.设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正

确的是（）

A.AB|B.AB

二若以o,则一定有IBOD.若Ao,则一定有B|o

n112n1„,、

5.已知fX1X»则f（1）=（）

n12n1!

A.-1B.0C.1D.

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111

6.若矩阵Ax4y有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征

335

根，则（）

A.x=-2,y=2B.x=1,y=-1

C.x=2,y=-2D.x=-1,y=1

7.下列描述为演绎推理的是（）

A.从一般到特殊的推理

B.从特殊到一般的推理

C.通过实验验证结论的推理

D.通过观察猜想得到结论的推理

8.《义务教育数学课程标准》（2011年版）从四个方面阐述了课程目标，这个

四个目标是O

A.知识技能、数学思考、问题解决、情感态度

B.基础知识、基本技能、问题解决、情感态度

C.基础知识、基本技能、数学思考、情感态度

D.知识技能、问题解决、数学创新、情感态度

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒,

一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：

甲组：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89

乙组:50,53,57,62,62,63,65,65,67,68

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96

问题：（1）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（2分）

（2）比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）

10.试判断过点Pi（2,0,1）,P2（4,3,2）,P3（-2,1,1）的平面与平面

-x2y7z30的位置关系，并写出一个与平面垂直的方程。

2

11.已知方程x5+5x4+5x3-5x2-6x=0的两个实数解为1与-2,试求该方程的全部实

数解。

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12.用统计方法解决实际问题的过程主要包括哪些步骤？

13.评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。

三、解答题(本大题1小题，10分)

14.设R2为二维欧式平面，F是R2到R2的映射，如果存在一个实数,01,

使得对于任意的P,QGR2,有d(F(P),F(Q))Wd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q两

点间的距离)，则称F是压缩映射。

设映射T：R2-*R2,

112

Tx,y_x，-y,x,yR»

(1)证明：映射T是压缩映射；(4分)

(2)设Po=Po(xo,yo)为R2中任意一点，令Pn=T(Pn-i),n=1,2,3,,求！imPn。

(6分)

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学

数学课程中的方程、不等式、数列等内容。

五、案例分析题(本大题1小题，20分)

16.案例：

甲、乙两位数学教师均选用如下素材组织了探究活动，如图1所示，这是一个

三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为50cm、25cm和15cm。A和B是这

个台阶的两个相对端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去吃食物。请你想一想，

这只蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路线是什么？

（图1）

两位教师的教学过程如下:

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甲教师：用大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题，教师巡视过

程中看到有的同学把台阶画出来，与教学预设不符，立即中止了大家的讨论，

指着题目说：“同学们请注意读题，是'沿着台阶面’，你们把这张图画出来

有什么用？”

在接下来的讨论中，教师又遇到新情况，有的学生画展开图，却把尺寸弄错了，

于是教师终止思考。

乙教师：展示情境，将问题进行分析，出示了一张台阶模样的纸片，边说边将

纸片拉直，如图2所示，然后让大家研究。很快，有同学说出答案，教师解释

了下，同学们都明白了。

（图2）

甲、乙教师课后交流：两个教师在教学中均有探究。

问题：

®）《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，”有效的数学活动是

教师教与学生学的统一”，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。

请说明两位教师的教学是否符合要求。（6分）

0）两位教师组织的探究活动各自存在什么问题？请简要说明并简述理由。

（6分）

。）组织数学探究活动需要注意哪些事项？请说明。（8分）

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.《义务教育数学课程标准》（2011年版）附录中给出了两个例子：

例1：计算15*15,25X25,,95X95,并探索规律。

例2：证明例1所发现的规律。

很明显例1计算所得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中后两位数为25,

而百位和千位上的数字存在这样的规律：1X2=2,2X3=6,3X4=12,，这

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是“发现问题”的过程，在发现问题的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，

实现“提出问题”，进一步实现“分析问题”和“解决问题”。

请根据上述内容，完成下列任务：

。）分别设计例1、例2的教学目标；（8分）

0）设计“提出问题”的主要教学过程；（8分）

0）设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；（7分）

小）设计推广例1所探究的规律的主要教学过程。（7分）

2019年上半年中小学教师资格考试

数学学科知识写教学能力试题（初级中学）参考答案及解析

一、单项选择题

1.A【解析】①有理数与有理数的和、差、积、商（除数不为0）均为有理数。

②一个有理数和一个无理数的和、差均为无理数；一个非零有理数与一个无理

数的积、商（除数不为0）为无理数。③无理数与无理数的和、差、积、商可

能是有理数，也可能是无理数。故选Ao

xacost,

2

2.B【解析】由vasint,可得x+y=acos2t+asin2t=a,

zasin2t

22222

za2sintcost4asintacost4xy,所以将参数方程化为一般方程为

xya,

z4xy。

X-cos，①

Xcoscos,2

3.D【解析】将一代入到vcossin,得到y'sin,②联立①②消

32

2

去得24X?y2,由于0,所以2&y2,将其代入③中得

z而1―f,而z7s/—3/是由yOz平面上的射线z6y（z>0）绕z轴旋

转得到的，它表示以原点为顶点，以射线z6y（z>0）为母线，以z轴为中心

轴的半锥面。故选Do

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4.C【解析】初等变换不改变矩阵的秩，故若A0,则一定有旧0,C正确。

矩阵的初等变换包括以下三种：①互换两行（列）；②以数乘某一行（列）；

③用一个数乘某一行（列），加到另一行（列）上。若方阵A经过初等变换化

为方阵B,则经过变换①，AB;经过变换②，AkB;经过变换③，

AB。故A、B、D均不一定成立。故选C。

5.B【解析】根据Sinx的泰勒展开式，

x3x52n1

SinXX——[n1xnCOSX2n1

1------------X

3!5!2n1!2n1!2n1!，

n112n1

所以tX1xsinx,f1sin0。故选Bo

2n1!

6.C【解析】A有3个线性无关的特征向量，且2是A的二重特征根，所以

属于2的线性无关的特征向量有2个，即方程组2EAx0有两个线性无

关的解，则有3r2EA2,r2EA1O

111111

2EAx2yx2y要使r2EA1,则工」,，解

x2y

333000

得x=2,y=-2o故选Co

7.A【解析】演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理

等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理，是由一般到特殊的推理。故选

A。

8.A【解析】《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，义务教育阶段数

学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感

态度四个方面加以阐述。

二、简答题

9.【解析】（1）根据中位数的定义可知，甲组同学脱粒数量（千克）的中位数

是75，乙组同学脱粒数量（千克）的中位数是£8~6968.5o

22

（2）甲组同学脱粒数量（千克）的平均数x甲746极差为89-57=32,

乙组同学脱粒数量（千克）的平均数x乙71.65,极差为96-50=46。

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根据分析可知：①甲组同学脱粒数量的平均数大于乙组，故甲组同学脱粒速度

更快；②根据两组数据的情况与极差可以发现甲组数据更稳定，而乙组数据波

动大，从而可知，甲组同学的脱玉米能力差不多，而乙组同学的脱玉米能力存

在很大的个体差异性，可以理解为，甲组同学在实践活动中的参与性和积极性

要高于乙组。

10.【解析】由题意知，P,P22,3,1,PR4,1,0，则平面的法向量

ijk1

nP,P2P1P32311,4,14。平面-x2y7Z30的法向量

2

410

m1,2,72n，故n〃m。又点P42,0,1)不在平面lx2y7z30

22

上，故平面与平面1xy7z0平行。

223

设与平面垂直的平面为其法向量为nio

由向量积的定义可知，RR,PF3均与nPRRP3垂直，贝iJm=RP2为平面1的

一个法向量，故可设।的方程为2x+3y+z+d=0,将点Pi(2,0,1)代入可得d=-5,

所以平面1的方程为2x+3y+z-5=01,

11.【解析】由原方程易知x=0也是其解，则方程x5+5x4+5x3-5xJ6x=0存在实数

解0,1与-2,故多项式x5+5x4+5x3-5x2-6x能被x(x-1)(x+2)整除，作除法运算可

得原方程等价于x(x-1)(x+2)(x2+4x+3)=x(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)=0,故可得原方程

的全部实数解为-3,-2,-1,0,1。

12.【参考答案】统计是一个包括数据的收集、整理、描述、分析和推断的完整

过程，在统计活动中，学生要经历收集、整理、描述和数据分析这些活动，这

些活动不仅能帮助学生了解数据处理的过程，而且能让学生学会制作扇形统计

图、画频数直方图；不仅能让学生体会抽样的方法和必要性、掌握用扇形统计

图直观、有效地描述数据，用频数直方图解释数据中蕴含的信息，而且能让学

生掌握抽样与数据分析的基本方法。

用统计方法解决实际问题的过程主要包含以下步骤：

。)建立数学模型。分析实际问题，由实际问题抽象出数学模型。

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0）收集数据。根据实际问题设计调查表，或选择其他适当的方法收集数据。

在收集数据的过程中，可以全面观测所有总体并得到数据，这一过程称为普查；

选取适当抽样方法从总体数据中抽取部分样本进行观测并得到数据的过程叫作抽

样调查。

0）整理数据。对收集到的数据进行审核、校正、整理，从而使之系统化、

条理化，并用文字、图画、表格等方式表示数据。其中，可运用条形统计图、扇

形统计图、折线统计图等直观地表示数据。

④）分析数据。运用平均数、中位数、众数等数字特征，对样本数据进行分析,

并进一步估计出总体的数字特征。

6）解释数据。结合总体数字特征，对数据进行解读。

0）得出实际问题的相关结论。

13.【参考答案】《义务教育数学课程标准》（2011年版）在评价建议中指出，

评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放

式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录，等等。在

条件允许的地方，也可以采用网上交流的方式进行评价。每种评价方式都具有

各自的特点，教师应结合学习内容及学生学习的特点，选择适当的评价方式。

下面列举几种不同的评价方式。

①口头测验，是指在教学过程中教师通过与学生之间的言语互动，及时地了解

学生的数学学习情况，找出问题并及时纠正。

②书面测验，是指教师对学生的作业或者其他测验报告所做的书面性的评价。

这种评价方式可以帮助教师了解学生的数学学习状态以及其知识掌握水平。

③课后访谈，是指教师通过课后与学生的沟通交流，了解学生数学学习情况的

一种评价方式。这种评价方式可以帮助教师更直接地了解学生的数学学习情况。

④建立成长记录袋，是指将学生数学学习过程进行有效记录而形成的书面存档。

这种评价方式既可以帮助师生随时了解学生数学学习的成长经历，也可以有效

地帮助学生确立今后的学习目标与方向。

三、解答题

14.【解析】（1）证明：设P（xby1）,Q（X2»2）是R2上任意两点，则

11

TPTX],%-X1-y,TQTx2,y2—xr,y2。

2323

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dTP,TQ111112

—Xi—X2-yi-y2一yiy2

22339

IdP,Q,即存在满足题

2

意的1,所以映射T是压缩映射。

2

(2)设0(0,0)为欧式平面的原点。当点Po是原点时，显然Pn(O.O),则

limPOo

nn

当点Po不是原点时，因为T(O)=O,依据(1)有dPQ1dP,0,记

n-n1

2

n

1r

dPn,0rr0,则dPn,0-r。对任意0,存在Nlog2-»当

n

n>N时，有dPnO-r,所以由柯西收敛准则知limpn。。

2

n

综上得limpo。

nn

四、论述题

15.【参考答案】函数是中学数学课程的主线，它贯穿整个中学数学课程中，

方程、不等式、数列等内容均与函数有非常密切的联系。

①函数与方程。中学数学课程中方程的求解问题，可以转化成求对应函数的零

点问题。例如，求一元一次方程ax+b=0(aW0)的根，可以转化为求一次函数

y=ax+b(aWO)与x轴交点的横坐标，即求函数的零点问题。由此可以看出，方

程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图象与x轴的交点问题。

利用函数的整体性质可以研究方程根的性质，判断根的个数，并估计根所在的

区间。

②函数与不等式。用函数的观点看，不等式的解集就是使函数图象y=f(x)在x

轴上方或下方的x的取值。中学数学课程中的不等式的求解问题，可以借助函

数的图象进行解决。例如，求一元二次不等式的解集，可以借助二次函数的图

象，如求不等式x2一5x+6>0的解集，可以通过画出函数f(x)=x2-5x+6的图象，找

到使函数值大于0的所有x的取值集合，这个集合就是不等式X2-5X+6>0的解

集。

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③函数与数列。数列是一种特殊的函数，是一列有序的数，它的定义域是正整

数集或其子集，而数列的通项公式就是相应的函数解析式。数列是离散的函数，

表现在坐标系中是一些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列与等

比数列，等差数列的通项公式可以看作关于n的一次函数的离散化，等差数列

的前n项和是二次函数的离散化：等比数列的通项公式及前n项和公式是指数

函数的离散化，因此可以借助函数的性质来研究数列。例如，求等差数列的前

n项和Sn=n2-4n在第几项取得最小值，可以转化为求函数f（x）=x2-4x的顶点横坐

标。

五、案例分析题

16.【参考答案】（1）甲老师的教学，在落实课标这一理念的过程中缺乏对实

际情况的应急应变，且其设置的为引导学生思考的问题的目的性不强。具体如

下：甲老师在教学过程中，组织学生进行小组讨论，这体现了教师的组织者角

色，但是讨论的例题，对于学生而言有一定难度，需要教师设置一定的铺垫问

题，并给与指导，而该教师没有做相应措施，这表现为该教师作为组织者和引

导者角色的不足与缺失。另外，当学生讨论的结论与教师预设的不同时，该教

师也意识到学生进入了思维误区，终止了学生的思考，但是其终止之后并没有

设计教学问题引导学生走出思维误区只是一味的批评学生的错误思路，导致出

现第二次的终止讨论。这是该教师身为合作者和引导者做的不足之处。

乙老师的教学，在落实课标这一理念的过程中其引导者的作用得到了充分的体

现，但是学生主体地位的体现有些缺失，教师的合作者以及组织者的角色落实

不到位。具体如下：在教学过程中，乙老师能够引导学生对问题进行分析，引

领学生突破知识的难点，这体现了教师的引导者角色的发挥。但是讲解的过于

详细，没有体现以学生为主体，限制了学生的思维。同时，在学生讨论的过程

中，没有做好明确分组，也没有进行巡视指导参与到学生的讨论当中去，缺少

教师的组织与合作。

0）甲教师存在的问题：①讨论的问题即为例题，该题目对于学生学习有一定

的困难，需要教师有一定的引导，并给出铺垫问题，如对最短路线的探讨、何

为最短路线、蚂蚁爬过的路径如何进行计算等。

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②在学生探究之初仅仅只是因为与教学预设不符就开始质疑学生，中止讨论，

并且当发现学生错误太多时终止思考，这些行为都反映出老师对于课堂的一些

突发情况缺乏应急应变能力。

③没有让学生在讨论探索中去发现问题，也没有做到充分的引导，没有真正落

实课标提出的课堂要交给学生，以学生为探究的主体。

④措辞不当。当看到学生把台阶画出来时，该教师直接终止讨论，指着题目说

“画图有什么用”，显得不够尊重学生，没有平等的对待学生，在探究式学习

中，老师需要降低自己的“姿态”，将自己定位为一名学习者，与学生一起体

会曲折的学习过程，感受学习中遇到的失败和成功的喜悦。

乙教师存在的问题：①引导太多，从而让学生失去主体性，台阶模样的纸片，

纸片的拉直都是由老师完成，学生完全在被动的接受，是一个没有学生参与、

学生思维没有得到碰撞和启发的一个探究活动。

两位老师的活动设计虽然设置的都是探究活动，但忽略了探索活动是为了发展

学生综合应用的能力，都只注重基本知识，而不关注数学的方法的呈现及学生

在活动中的体验，同时也忽略了对学生学情的思考。对探究活动是发展学生的

语言表达能力、自主探究能力、反思能力和自身的学习能力目的没有深入了解。

0）组织数学探究活动，需要注意以下事项：

①探究活动内容的选择要合适。要使探究活动更有效，探究内容的选择是否得

当是很重要的。同时，探究内容要有激发性，也就是说，问题能激发学生的探

究欲望，问题的设置要在学生的“最近发展区”。

②探究活动的指导要合理。探究活动中，教师所扮演的应该是一个组织者、引

导者和合作者的角色，要扮演好这个角色，首先，要给学生创设探究的情境，

其次，要保证学生有探究的时间，再次，探究活动并不是让学生毫无节制的大

讨论，而是精心编制的教学活动，教师不能孤立于学生之外，要及时进行指导。

之后要对学生的探究做出合理的评价。

③探究的过程中，正确处理教师的“引”和学生的“探”的关系。在探究式学

习过程中，学生作为探究的主体，需要通过自己的探究去发现新事物。而为了

顺利地完成这个任务，作为引导者的老师，要发挥指向灯的作用，既要在学生

脱离主题的时候，适时地引导方向，不放任学生不着边际地乱探究，同时又不

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能过分地牵制学生的思想，造成“伪探究”的现象。成功的探究式教学离不开

学生的主动参与，要注重全体参与，让每个学生体验成功的乐趣。

六、教学设计题

17.【参考答案】(1)例1的教学目标：①通过计算并观察结果与乘数的关系，

发现规律。②通过观察计算，掌握必需的独立探究、发现问题与分析问题的能力。

③在探索学习的过程中，感受此乘法运算中的有趣规律，发展学习数学的兴趣，

树立学习数学的信心。

例2的教学目标：①初步了解证明的方法，掌握规律证明的思维过程，会通过

一般性的证明来验证自己发现的规律。②经历由具体数值计算到符号公式表达

的过程，感受数学证明由特殊到一般的过程，形成数学思维，并培养提出问题、

分析问题、解决问题的能力。③在证明规律的过程中感悟数学的严谨性，增加

学习数学的兴趣。

0)“提出问题”的主要教学过程：

①发现规律

师：观察这些式子中的数字，想想15,25,,95可以拆分成什么？

生：15=1X10+5,25=2X20+5,,95=9X10+5。

师：由此我们可以发现什么规律？

生：这些式子中的因数都等于该因数十位上的数字乘以10再加上5。

师：在拆分后的式子里，我们能发现哪些是变化的？哪些是不变的？

生：变的是与10相乘的数，不变的是再加上的数。

师：我们已经学过了用字母表示数，你能用字母来表示吗？

生：可以用a表示变化的数，即1,2,9,这些因数可以表示成ax10+5

(a=1,2,9)o

②提出猜想

师：因数我们用字母表示出来了，那么大家能用完整的式子表示出例1的算式

及其计算结果吗？

生：(aX10+5)x(aX10+5)=a(a+1)x100+25(a=1,2,9)。

师：假设a代表所有小于10的任意正整数，那么例1中的乘法运算就可以一般

华为一个公式，即(aX10+5)X(aX10+5)=a(a+1)X100+25(a=1,2,,9)。这个

公式就是我们通过分析例1的运算规律得出的猜想。

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。“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程：

①分析问题

师：观察等号左边的式子，能发现什么？

生：等号左边实际是一个完全平方式。

②解决问题

师：大家回忆一下完全平方公式。

生：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2»

师：运用完全平方公式，能知道(ax10+5产等于什么吗？

22

生：(aX10+5)=aX100+2aX10X5+25o

师：进一步运算可以得到什么？

生：最终结果等于a(a+1)X100+25(a=1,2,,9)。

师：我们可以看到，运算的最终结果是等号两边的式子相等，即公式得证。

@)推广例1所探究的规律的主要教学过程：

【发现一般规律】师：继续观察例1中的算式，还能有什么发现呢？请大家观

察每个式子中的两个因数。

预设：学生发现每个式子中的两个因数都是一样的，而且个位上的数字之和为

10o

师：大家计算下面几个式子，看看能发现什么规律。

38X32,43X47,81X89

师：这些式子中的因数有什么特点吗？

引导学生思考直到学生能够答出：这些式子中的两个因数十位上的数相同，个

位上的数相加。

师：这三个式子的计算结果分别是38X32=1216,43X47=2021,81X89=7209,

结合我们刚才得到的结论，能发现什么规律呢？

引导学生思考直到学生能够答出：计算结果中的后两位数是两个因数的个位上

的数的乘积，前两位数是因数的十位上的数加一乘以十位上的数本身。

师：结合例1中的计算过程，请大家补全下列算式。(板书展示)

38X32=SSS=1216,43X47=SSS=2021,8IX89=SSS=7209

师：我们用代数式怎么表示这个算式呢？

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引导学生思考直到学生能够答出：可以用10+b表示其中一个因数，用10a+

(10七)表示另一个因数，并通过观察得出猜想：(10a+b)[10a+(10七)]=a

(a+1)x100+b(10-b)。

【验证规律】师：这里的a是正整数，大家知道b要取什么数吗？

引导学生思考直到学生能够答出：小于10的正整数。

师：下面请大家用我们刚才学过的知识证明一下这个算式。

预设；教师观察学生的计算过程，并找两位学生在黑板上板演，结合学生的板

演进行讲解，以深化大家的理解。

2

板演过程：(10a+b)[10a+(10-b)]=100a+i0a(10-b)+1Oab+b(10-b)

=100a2+100a-10ab+10ab+b(10-b)=a(a+1)x100+b(10-b)

【练习】口算下列算式：

@17X13：②24X26；③3X37④45X45；⑤51X59。

师(小结)：通过这节课的学习，我们可以快速口算出两个数相乘，其中两个

因数十位上的数相同，个位上的数相加等于10的算式。在学习的过程中，我们

先通过一些算式找出规律，并报据这些规律归纳猜想出对应的公式，最后经过

严格的证明险证我们的猜想，我们称这一过程所贯穿的思维方法为归纳推理。

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2021初中数学历年教资考试真题含解析

2019年下半年教师资格证初级中学数学真题

(时间120分钟满分150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.在利用导数定义证明的过程中用到的极限是()

1X

A.lim别》1B.lim1_eC.lim3r1D.limqx0,0q1

x0Xxxxx

2.设M,X,丫为n阶方阵，则下列命题一定正确的是()

A.XY=YXB.M(X+Y)=MX+MY

C.若XY=O且XWO,则丫=OD.若MX=MY且MWO,则X=Y

3.下列定积分计算结果正确的是()

1xxxx

12ee11ee

A.xxdx0B.----------dx0C.Inx2dx0D.----------dx0

1121io

X2V2

__1,ab0>

4.将椭圆a2b2绕长轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为()

z0

222«222

“xyZIByZ2222c222.2

A.2221C.xyzaD.xyzb

a2b2ba2ba

5.设向量组a,①和8,也是方程组AX=O的两个不同的基础解系，则下列结

论正确的是()

A.向量组02,自的秩小于向量组自,色的秩

B.向量组用a2,&的秩大于向量组目，历的秩

C.向量组Q,02,向的秩等于向量组日,住的秩

D.向量组01,02,01的秩与向量组隹的秩无关

6.若三个非零向量共面，则下列结论不一定成立的是()

A.(aXb)•c=OB.a+b+c=OC.a,b,c线性相关D.(aXc)•b=0

7.在平面直角坐标系中，将一个多边形依次沿两个坐标轴方向分别平移2个单位

和3个单位后，得到的图形与原来的图形的关系不一定正确的是()

A.全等B.平移C.相似D.对称

1

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2021初中数学历年教资考试真题含解析

8.学生是数学学习的主体，“以人为本”是数学教学的重要理念，下列关于教师

角色的概述不正确的是O

A.组织者B.引导者C.合作者D.指挥者

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.设XX1,YY1变换Y=AX+B,其中变换矩阵A=工.B=3,

X2丫2015

3

22y1

0）写出椭当"”=1在该变换下Y满足的曲线方程；

圆49y2

0）举例说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化（例如距离、

斜率等）。

10.利用一元函数积分计算下列问题：

K）求曲线y=sinx与y=x2-灾丽围成平面图形的面积；

2（）求曲线y=sinx,xe[0,“绕x轴旋转一周所围成的几何体体积。

11.一个袋子里有8个黑球，8个白球，随机不放回地连续取球5次。每次取出1

个球，求最多取到3个白球的概率。

12.简述研究中学几何问题的三种主要方法。

13.简述数学教学活动中调动学生学习积极性的原则。

三、解答题（本大题共10分）

14.对于问题：“已知函数f（x）在[0,1]上可导，且f（0）=0,对于任何xe[0,1],有

fxfx,求证：f（x）=0,xe[0,l]。”有人是这样做的：

fxf0f'x00x①，

f'ixf1x②，

IIIIII2

f1f0Xf'2IXf2x021x③，

II?II9II?II,

f2fOxf'32Xf32Xf3X0321X④。

请解答下列问题：

®）写出步骤①的证明依据；

2

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2021初中数学历年教资考试真题含解析

0）写出步骤②的证明依据；

0）指出步骤③和步骤①的关系；

®）完成步骤④以后的证明。

四、论述题（本大题共15分）

15.学生的数学学习应当是一个生动活泼，积极主动和富有个性的过程，认真听

讲，积极思考，动手实践，自主探索，合作交流等都是学习数学的主要方式。请

谈谈教师如何在教学中帮助学生养成良好的数学学习习惯。

五、案例分析题（本大题共20分）

16.案例：下面是某个学生的作业：

解方程：」3

x22x

①移项得：1x13,②通分得：1*13;跳简得：-1=3；④矛盾,

x22xx2

原方程是不是无解。

问题：（1）指出该学生解此方程时出现的错误，并分析其原因；

0）给出上述方程的一般解法，帮助学生解除疑惑；

。）简述中学阶段解方程常用的数学思想方法。

六、教学设计题（本大题共30分）

17.针对“角平分线的性质定理”的内容，请你完成下列任务：

0）叙述角平分线的性质定理；

0）设计“角平分线的性质定理”的教学过程，并说明设计意图。（只要求写出

新课导入、定理形成与证明过程）

G）借助“角平分线的性质定理”，简述如何帮助学生积累认识儿何图形的数

学活动经验。

3

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2019年下半年教师资格证初级中学数学真题解析

一、单项选择题

1.B

2.B【解析】选项A,若XY=E时，满足交换律XY=YX,故A错误；选项C,

若XY=O,且XWO,则丫不一定是零矩阵，如X=11,Y=01,满足

0001

XY=O,且XWO,贝UYWO,故C错误；选项D,若M是可逆矩阵时，MX=MY

的两边同时左乘M"可得，X=Y,故D错误。

XX

3.D【解析】由于被积函数e是奇函数,奇函数在区间上的定积分为0,

2

故选Do

22

4.A【解析】因为旋转轴是x轴，所以在方程三41中，保留坐标x不变，

ab

_________222

用犷下代替y,可得椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为今4彳1。

abb

5.C【解析】因为向量组％,a2和目，也是方程组AX=O的两个不同的基础解系，

所以%,a2是线性无关的，0,&也线性无关，则该线性方程组的解B可由基础

解系％,9线性表出，则外的自是线性相关的，且r(ig02,ft)=r(w/)=r(

&),故选C»

6.B【解析】三个非零向量a,b,c共面的充要条件是(abc)=(axb)•c=(ax

c)-b=0,或者a,b,c线性相关，故A,C,D都正确。

7.D【解析】根据图形平移的性质可知，平移后的图形一定与原图形全等，相似，

但不一定是对称的，故选Do

8.D【解析】《义务教育课程标准》(2011年版)指出，有效的教学活动是学生学

与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

二、简答题

4

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2021初中数学历年教资考试真题含解析

11

»。XiYi-x,3-

9.【解析】（1）由Y=AX+B,得/。Y1.则有,解

01X25丫2VX+5，

2—2

33

得x,2y,6,将其代入椭圆方程得，

满足此变换下的曲线方程为

x23y215，

22

yi3y251。

（2）以（1）中的椭圆方程为例，在该变换下得到新的方程是以（3,5）为圆心,

半径为1的圆，其中图形的大小、形状、几何中心的位置都发生了变化。

ysinx,

10.【解析】（1）将两曲线方程联立得2解得两曲线的交点为（0Q），

yxx,

（Ji,0）则两曲线围成的平面图形的面积为

21312

sinxx'xdx=sinxdxXxdx=cosx_XX

o0

0032

3

2——o

6

(2)旋转体的体积为

22

.2,.2,1cos2x」1

sinxdxsinxdx---------dxcos2xd2x

000

11•【解析】根据题意得，不放回抽样时，设取到白球的个数为X=0,1,2,3,

则有P（X=0）=m—，P（x=1）=&事A，P（X=2）=st姿14,

Ci678Ci639Ci639

*15141467

p（X=3）=C5cg14,故最多取到3个白球的概率为P+++

Ci6397839393978

12.【参考答案】研究中学儿何问题的方法有数形结合、化归思想、变换思想。

（D）中学几何数学是比较抽象的，包括空间和数量关系，数形结合能够帮助学

生将两者进行相互转化，使抽象的知识更易于理解学习。在几何学习中，数形结

合思想具有重要的作用，教师在教学中运用数形结合思想，能够将几何图形用代

数的形式进行表示，并利用代数的方式解决几何问题。例如，根据几何性质，建

立只限于平面的代数方程，或是根据代数方程确定点、线、面三者之间的关系。

5

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2021初中数学历年教资考试真题含解析

数形结合将几何图形与代数公式紧密地结合在一起，利用代数语言将几何问题简

化，使学生更容易解决问题，是几何教学的核心思想方法。

0）化归思想是数学中普遍运用的一种思想，在几何教学中，教师常运用这一

思想，基本的运用方法就是将几何问题转化为代数问题，利用代数知识将问题解

决后，在返回到几何中。或是在对空间曲线进行研究时，将复杂的空间几何图形

转化为学生熟悉的平面曲线，便于学生理解和解决。例如，在解决圆柱问题时，

可以通过其对应的轴截面进行解决；在解决正棱锥问题时，可以利用化归思想将

这一问题转化为对应特征三角形和特征梯形的问题进行解决。

。）变换思想是能够将复杂问题简单化的一种思想方法，变换思想在运用时，

一般仅改变数量关系形式和相关元素位置，问题的结构和性质没有变化。在几何教

学中，教师利用变换思想进行变换，实现二次曲线方程的化简，能够通过方程运

算准确的将方程所表示的图形展现出来，在降低学生学习难度的同时，也为研究儿

何图形性质等提供了依据。

13.【参考答案】数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生的

积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的

数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重

启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习关系，引

导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能,

体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。

三、解答题

14.【参考答案】（1）拉格朗日中值定理。

（2）根据已知条件对于任何xe[0,1],有If，xfx»

（3）f1f0xf'210x,20,1i

f1f0xf2ix,fif0xf2x2,由0^口，在（0,x）

上利用拉格朗日中值定理，在（0,上，继续使用拉格朗日中值定理可得③。

IIII

（4）Vfxf0f-x001x①，

2

由②得f1f0xf2x,021x③，

6

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।2II3

f2f0Xf3x,0321X(4),,

2n

|fXf0IIf1