2021年3月清华大学THUSSAT新高考数学诊断性测试卷附答案解析

2021年3月清华大学THUSSAT新高考数学诊断性测试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一可

符合题目要求的.

1.已知抛物线==2x,则抛物线。的焦点到准线的距离为

A.1B.-C.1D.2

42

2.已知集合〃=卜卜2_51+440b"=｛电>4卜则

A.MUN=RB.”nN={x[2<x<4}

C.MUN={X|X>2}D.Mfl^={x|2<x<4}

3.已知等差数列｛可｝满足：%+%+纵=15,则/+%=

A.3B.5C.7D.10

4.己知向量方=(一1,2),方=(3,〃7).若万71万，则实数小的值为

33

A.一B.4C.一一D.-4

22

x<2,

5.已知实数x,y满足，x+y>2,则J.d+j/的最大值为

x+2v<4,

A.2B.75C.4D.5

6.若工，+(x+l)7=%+q(x+2)+42(x+2)+…+%卜+2)，则2=

A.27B.35C.-8D.-43

7.已知函数/(x)=-x，bx+c,则“//(g)>0"是“方程/(x)=0有两个不同实数解且

方程/(/(x))=0恰有两个不同实数解”的

9.某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y和时间X(单位：天)在18天里的散点图如图所示,

下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数y和时间X的回归方程类型的是

120000()!----

藏

Y

*衣

~

天数

(第9题图)

A.y=a^bxB.hex

C.y=a-^h\nxD.y=a+bx?

10.已知函数/(x)的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数/(x)解

析式的是

0X

A.y=x2cosxB.y=xcc)sx2

C.y=x2sinxD.y=xsin.t

(第10题图)

11.下列命题正确的是

A.若a>b,则VceR.aobcB.若a>b,则mceR,ac>he

C.若a〉b,则VcwR,a+c>b+cD.若a>b,则BeeR,a>c.c>b

已知函数/(加人言+詈

12.下列关于函数/(x)的结论正确的为

A./(X)在定义域内有三个零点B.函数/(x)的值域为R

C〃x)在定义域内为周期函数D./(x)图象是中心对称图象

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

1-i

13.——(其中i是虚数单位)的共枕复数为

1+21

2

14.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若2a=3b,A=2B,则cos5=一

22

15.已知双曲线二一二=1（。＞0力＞0）的焦点为5K，。是双曲线上一点，且/月产工=4.若

a~b~"3

△耳尸鸟的外接圆和内切I圆的半径分别为凡r,且R=4八则双曲线的离心率为.

16.在棱长为4&的正四面体。中，点£,厂分别为直线上的动点，点尸为EE中

点，Q为正四面体中心（满足1=。。=。。），若P0=7份，则长度为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数/（x）=JJsinxcosx-cos%.

（I）求/展）的值；

（2）当xe[0,兀],求函数/（X）的单调递增区间.

18.（12分）已知数列｛%｝的前〃项和S”，且S“一%=（〃一1『也=；下.

（1）求数列｛4,｝的通项公式；

（2）求数列也｝的最小项的值.

兀

19.（12分）如图，四棱锥P—Z8CO中，AD//BC,平面4£）1平面尸8C.若NBCD=一,

3

1rP

NPBC=G，AD=CD=2,BC=T./V.

⑴证明：PBLPA;\jJx'

AB

（2）若尸4=2尸C,求二面角「一8。一力的余弦值.,笫1c因、

（第19H题s图）

20.（12分）袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球.

（1）若甲一次性抽取4个球，求甲至多抽到一个黑球的概率;

3

（2）若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋;中，等待下次抽取，且

规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分X的分布列和数学期望.

21.（12分）如图，已知椭圆C：工+，=1的右焦点为尸，原点为。，椭圆的动弦过焦点产

5-

且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N,椭圆C在点48处的两切线的交点为”.

（1）求证：O,M,N三点共线;

（2）求1-巴7r，的最小值.

22.（12分）已知/（x）=ln（x+l）-ox在（0,+（»）有零点飞.

（1）求实数。的取值范围:

fl、

（2）求证：⑴x0>2一一1

、

(ii)Xo/(ln(xo+l))<-I

4

中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试

数学试卷参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

15.~41\

7

16.26

四、解答题：本即共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：

(I)f(x)=sinxcosx-cos,x=今sin2x-，+；

................3分

(2),.•/(x)=sin|2x--由2依-色42x-242版+±kwZ,

k6J2262

5

.........7分

/.kit--VxKhiH—,kGZ,

63

所以函数/(x)的单调递增区间为O.1j,y,7r|j.........10分

18.解：

:

⑴•••q,=S“-S“T(〃>2)/.S„-an=S“T，则S"_|=(n-l)(n>2),

即S“=〃2(〃GN*).........3分

I22

/.an=n-(n-\)=2n-l(n>2).........5分

经检验q=I适合，，an=2〃-l.........6分

所以当14〃<3时，bn>bK+t,当〃N3时，b.<晨,.........10分

I3932

又6,=2,6=三，所以当〃=3时，〃有最小值一.........12分

2238181

19.解:

(1)证明：设平面Q/QD平面尸8C=/.

•••40〃8c,8C平面PAD.ADu平面PAD,：.8C〃平面PAD，

乂•••BCu平面PBC二BC//1........2分

vZPBC=-.*.PBIBC^.PBLl.........4分

2

乂因为平面PAD1平面PBC,

/.PB1平面PAD，可得PB±PA.得证..........6分

6

(2)连结5。，在△BCD中,易得80=石=8O18C.

又•••PB1BC二NPBD为二面角P-BC-A的平面角.........8分

以。为原点，分别以汤，丽的方向为x轴，y轴止方向建立空间直角坐标系，

/1(2,0.0),fi(0,X/3,0),C(-1,73,0).

---BC1BD,BC±PD,BDC\PD=D;BCJ"平面PBD，

所以平面PBD1平面ABCD...............9分

可设尸(0),z).由P/=2PC,

可得:(0-2)2+/+z2=4(0+1)2+4(y-百尸+4z2,

化简可得：3y2-8jjy+3z2+12=0①

由(1)知一5J.P4.(-2,y,z)(0)-G,z)=0,

化简得:y2-^/iy+z2=0②

解方程①②可得:y==...............II分

sinZPfiD=—=—.McosZP5D=—................12分

PB55

20.解：

(1)甲是无放I可地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件｛没有抽到黑球，抽到一个黑球｝,

C：351

「《没有抽到黑球｝=符=力=^.........1分

Go2106

C3cl105I

尸｛抽到一个黑球｝=-^2=不r=5...............2分

V«|Q乙IU乙

所以甲至多抽到一个黑球的概率为：-+-=-.........5分

623

(2)解法-：

乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，

所以抽取4次｛4个白球，3个门球I个黑球，2个白球2个黑球，I个门球3个黑球,

7

4个黑球｝,

73

对应的X取值有｛40.50,60,70,80｝,而每次抽到白球、黑球的概率分别为正，记,

设4次取球取得黑球次数为r,则，•的可能取值04,2,3,46分

P(X=40+10r)=C：，即可得分布列如卜.:

X4050607080

24014116264675681

P

1000010000100001000010000

10分

2401“4116s26462756V1

£(X)=40x-----+50x------+60x------+70x-----+80x——=52

1000010000100001000010000

12分

解法二:

设4次取球取得黑球数为丫，则X=40+10Y,8分

3

E^=40+10Er=40+10x4x—=5212分

10

21.解:

(1)椭圆的右焦点为尸(2,0),

设48所在的宜线的方程为y=©x-2)(AH0),liJ(x1,j-1),5(x2,y2)

1分

y=k(x-2).

联立方程组《X2,可得：(5公+1*—20£、+(20公-5)=03分

+y=1,

I5

20公20k2-510父-2k

则占+々，点N的坐标为

5代+1'22-5A?+15k2+\'5k2+\)

8

ON所在的直线的方程为y=-」-x.......5分

5k

椭圆C在48处的切线方程分别为,+乂y=1,亨+=I,

?+9=1，

联立方程组（

X,X1

〔『3，

解得点M的坐标为「⑴一2一]“m]

1司％-*2乂xty2-x2ytJ122kJ

所以点M的坐标满足且线ON的方程y=-」-x,故O,M,N三点共线.

5k

........7分

⑵山（1）可知，\AB\=ViTF）.........8分

|X（-X2\=

四二房3卜喘...，，分

if”L7T10犬、24+公

归M=足而一2=许.........I。分

...岬毕**技

I叫2\k\

当且仅当ki=i时,等号成立.........一分

22.解：

(1)f(x)=ln(x+1)-ax,/(x)=——a........1分

x+l

①"ia40时，f'(x)=----a20在xe(0,+℃)时恒成立，

x+l

/(x)=ln(x+l)-ax在(0,+oo)上递增，所以/(x)>/(0)=0,不符合题意.

........2分

9

②当0<4<1时，f(X)=—---47>0<=>0<X<--1,

x+1a

/(x)=ln(x+l)-or在(0,5-1)上递增，在上递减，

•.•/[}-1]>/(0)=0,当XT+<»时’/(x)->-00,满足题意.........4分

③当421时，/(X)=—!——。<0在X€(0,+0。)时恒成立，

X+1

/(x)=ln(x+l)-⑪在(0,+8)上递减，/(x)</(0)=0,不符合题意.

.........6分

综上所述，。的取值范围是(0,1).

(2)(i)由(1)知