湖南省益阳市资阳区过鹿坪镇联校高三数学文期末试卷含解析

湖南省益阳市资阳区过鹿坪镇联校高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数为偶函数的是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.右边程序运行后，输出的结果为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.定义行列式运算，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.设函数，将的图像向右平移个单位，使得到的图像关于原点对称，则的最小值为（

） A． B． C． D．参考答案：D5.已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.定义在R上的可导函数，其导函数记为，满足，且当时，恒有.若，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞,1]

B．

C．[1,+∞)

D．参考答案：D7.如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为那么它的两条准线间的距离是

（A）（B）4（C）2（D）1参考答案：答案：C解析：双曲线的标准方程为且①渐近线方程为其中一条是②③由①②③式联立解得两条准线间的距离【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错点】：求错渐近线方程及两准线间距离公式【备考提示】：熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质8.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在、、、、号房间，现已知：（）甲与乙不是邻居；（）乙的房号比丁小；（）丙住的房是双数；（）甲的房号比戊大．根据上述条件，丁住的房号是（

）． A．号 B．号 C．号 D．号参考答案：B解：根据题意可知，、、、、号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是．故选．9.设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的取值范围为（）A．[﹣12，1] B．[﹣12，0] C．[﹣2，4] D．[1，4]参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C（4，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z=4，经过点B时，直线截距最大，此时z最小，由，解得，即B（，）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣3×=﹣2，即﹣2≤z≤4，故选：C．10.等差数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，则下列命题错误的是（）A．若an＞0，则Sn＞0B．若Sn＞0，则an＞0C．若an＞0，则{Sn}是单调递增数列D．若{Sn}是单调递增数列，则an＞0参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：?n∈N*，an＞0，则Sn＞0，反之也成立．an＞0，d＞0，则{Sn}是单调递增数列．若{Sn}是单调递增数列，则d＞0，而an＞0不一定成立．即可判断出正误．【解答】解：由等差数列的性质可得：?n∈N*，an＞0，则Sn＞0，反之也成立．an＞0，d＞0，则{Sn}是单调递增数列．因此A，B，C正确．对于D：{Sn}是单调递增数列，则d＞0，而an＞0不一定成立．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和直角的关系、等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为

．参考答案：12略12.i是虚数单位，计算=

．参考答案：略13.已知向量⊥，||=3，则?=

．参考答案：9【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．14.若在R上可导，，则____________．参考答案：略15.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。参考答案：

若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.16.的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为▲参考答案：10略17.设命题p：α＝，命题q：sinα＝cosα，则p是q的___________条件．参考答案：充分不必要三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，点在棱上，且．求证：平面平面；已知与底面所成角为，求二面角的正切值．参考答案：19.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）设出A，B坐标，讨论直线l的斜率，根据根与系数的关系得出，求出的最大值即可；【解答】解：（1）设椭圆Γ的标准方程为（a＞b＞0），则，解得a2=2，b2=1，∴椭圆Γ的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2．①当直线l垂直x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2且y12=，∴=9﹣=．②当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=k（x+1），联立方程组，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=．∴=++4﹣==﹣＜．∵对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，∴λ≥，即λ的最小值为．20.某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]总计频数

频率0.25

（1）求表中的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150]内为及格）.（2）从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，求这两人成绩的平均分不小于130分的概率.参考答案：解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在范围内有3人,…………………2分又分数在范围内的频率为，所以分数在范围内的频率为，所以分数在范围内的学生人数为，由题中的茎叶图可知分数在范围内的学生人数为4，所以分数在范围内的学生人数为.

……………………4分从题中的频率分布表可知分数在[70,90)范围内的频率为，所以分数在[70,90)范围内的学生人数为，所以数学成绩及格的学生为13人，所以以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为…………6分（2）设A表示事件“从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，其平均成绩大于等于130分”，由茎叶图可知成绩大于等于110分的学生有5人，记这5人分别为，…7分则选取学生的所有可能结果为共10种情况，…………9分事件A包含的结果有11分…………………12分略21.（本小题满分12分）在中，，分别为边上的点，且.沿将折起（记为），使二面角为直二面角.（1）当点在何处时，的长度最小，并求出最值；

（2）当的长度最小时，求直线与平面所成的角的大小.参考答案：解：⑴如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，当且仅当取等号。此时为边的中点，为边的中点。故当为边的中点时，的长度最小，其值为；…………6分⑵设为面的法向量，因，故。取，得。又因，故。因此，从而，所以；…………12分22.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a