数学七年级下学期2.7 解二元一次方程组

专题2.7解二元一次方程组（2）（知识讲解）【学习目标】1.掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2.能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【知识要点】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．特别说明：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、直接加减法解二元一次方程组1.解方程组：．【答案】【分析】方程组利用加减消元法求解即可；解：∵，①+②得：，解得：．将代入②得：．∴方程组的解为：．【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．举一反三：【变式】解方程组：．【答案】【分析】由①-②先消去求解再把代入①求解从而可得答案.解：，①﹣②得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1，把x＝1代入①得：1+2y＝7，解得：y＝3，所以原方程组的解为．【点拨】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“加减消元法”是解本题的关键.类型二、先变系数后加减法解二元一次方程组2.解方程组：．【答案】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：，①×2﹣②得：9y＝12，解得：y＝，把y＝代入②得：6x＋4＝8，解得：x＝，则方程组的解为．【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．举一反三：【变式1】解二元一次方程组：【答案】【分析】根据加减消元法计算即可．解：①2得4x+6y=60③②3得9x+6y=75④④③得5x=15x=3将x=3代入①中6+3y=30y=8∴原方程组的解为【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．【变式2】解方程组【答案】【分析】把方程组整理后，利用加减消元法求解即可．解：原方程组可化为，②-①得：6y=12，解得：y=2，代入①中，解得：x=，∴方程组的解为．【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．类型三、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用加减法求解；（2）先将方程整理，再利用加减法求出方程组的解．解：（1），①×5+②，14x=-14，解得x=-1，把x=-1代入①，-2+y=-5，解得y=-3，∴原方程组的解是；（2）方程组整理得由①+②得：6x=18，∴x=3，把x=3代入①得：，所以方程组的解为．【点拨】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入消元法及加减消元法是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程组（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先将两个方程相减求解再求解即可；（2）把看作整体未知数，可得，，再利用加减消元法可得答案.解：（1）①-②得：解得：把代入②得：所以方程组的解为：；（2）由②得：③①-③得：解得：④把④代入①得：⑤④+⑤得：把代入④得：所以方程组的解为：【点拨】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，把看作的整体未知数是解（2）中方程组的关键.【变式2】解方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）；【分析】（1）根据加减消元法计算即可；（2）先进行化简，再利用加减消元法计算即可；解：（1），得：，解得：，代入①可得：，∴方程组的解集为；（2），整理得：，得：，解得：，代入①得：，∴方程组的解集为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．类型四、二元一次方程组的特殊解法3.（1）解二元一次方程组（2）现在你可以用哪些方法得到方程组的解？请你对这些方法进行比较．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用加减消元法解方程组；（2）方法一：将两个方程分别化简再求解；方法二：根据（1）可得方程的解为，再利用加减法求解．解：（1），由得16y=48，∴y=3，将y=3代入①得x=5，∴这个方程组的解是；（2）方法一：去括号得到方程组再解得结果；方法二：由（1）解为，可得的解为，解得．【点拨】此题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法：代入法和加减法，（2）可灵活运用解题方法求解，渗透一定的整体换元思想和化归思想．举一反三：【变式1】材料：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组【答案】【分析】观察方程组的特点，把看作一个整体，得到，将之代入②，进行消元，得到，解得，进一步解得，从而得解．解：由①得③，把③代入②得，解得，把代入③，得，解得，故原方程组的解为．【点拨】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．【变式2】阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组．【答案】【分析】将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．解：中将②变形，得③，将①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，∴方程组的解为．【点拨】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．类型五、同解方程组3.已知，关于、二元一次方程组的解满足方程2x-y=13，求的值．【答案】a=4【分析】先联立x+2y=−1与2x−y=13解出x，y，再代入2x−3y=7a−9即可求出a值.解：依题意得解得，代入2x−3y=7a−9，得：a=4，故a的值为4．【点拨】此题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法.举一反三：【变式1】已知方程组与有相同的解，则的值？【答案】256.【分析】由题意，先解由5x+y=3与x－2y=5组成的方程组，再把解得的方程组的解代入另外的两个方程，即可求出m、n的值，最后把m、n的值代入中计算即可.解：解方程组，得，把代入方程mx+5y=4，得m－10=4，解得m=14，把代入方程5x+ny=1，得5－2n=1，解得n=2，所以.【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的解法,解题时正确理解题意：两个方程组有相同的解是解题的关键.【变式2】已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2018的值．【答案】1【分析】联