数学七年级下学期4.6 因式分解-公式法

专题4.6因式分解-公式法（巩固篇）（专项练习）单选题类型一、判断能否用公式法因式分解1．多项式与多项式的公因式是（

）A． B． C． D．2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（

）A．x2+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+3x+9 D．3．已知a2＋b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（

）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3类型二、运用平方差公式进行因式分解 4．如果，那么所代表的代数式为（

）A． B． C． D．5．若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．66．若，则x2－y2的值为（

）A． B． C．0 D．27．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是A． B． C． D．类型三、运用完全平方公式进行因式分解 8．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．9．多项式与的公因式是（

）A． B． C． D．类型四、运用公式法综合进行因式分解10．将多项式分解因式，结果是（

）A． B． C． D．11．无论、取何值，多项式的值总是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定12．已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2类型五、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解13．已知，且，则的值为（

）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-404414．已知，，求代数式的值为（

）A．18 B．28 C．50 D．6015．下列变形中正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题类型一、运用平方差公式进行因式分解 16．分解因式：m2﹣9＝_____．17．分解因式：_____．18．把多项式分解因式的结果是______．类型二、运用完全平方公式进行因式分解 19．计算：＝_____．20．如图，点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；则_____．21．若，则的值是____________．类型三、运用公式法综合进行因式分解22．实数范围内分解因式：x4+3x2﹣10＝___．23．若代数式通过变形可以写成的形式，则m的值是________．24．因式分解：__．类型四、运用提取公因式与公式法综合进行因式分解25．对于多项式x3＋8x2＋4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3＋8x2＋4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3＋8x2＋4x﹣48＝（x﹣2）（x2＋mx＋n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2＋3x＋10因式分解的结果为______．26．把多项式因式分解的结果是_______．27．已知，则_________．三、解答题28．因式分解（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x）

（2）（3m＋2n）2－（m－n）2（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋8129．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．30．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2参考答案1．A【解析】【分析】分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式是．【详解】解：∵又∵∴多项式与多项式的公因式是．故选A．【点拨】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．2．D【解析】【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、x2+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；C、x2+3x+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不符合题意；D、，故选项正确；故选：D【点拨】本题考查了完全平方式的运用分解因式，关键是熟练掌握完全平方式的特点．3．D【解析】【分析】把a2＋b2＝2a﹣b﹣2化为再利用非负数的性质求解的值，从而可得答案.【详解】解：a2＋b2＝2a﹣b﹣2，解得：故选D【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，熟练的运用非负数的性质求解的值是解本题的关键.4．D【解析】【分析】等式两边同除以即可求出结果．【详解】解：∵∴故选：D．【点拨】此题主要考查了分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．【详解】解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，=2（a-b）+4b，=2a-2b+4b，=2（a+b），=2×2，=4．故选：C．【点拨】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．6．A【解析】【分析】首先利用平方差公式分解因式，再把字母的值代入，即可求解．【详解】解：∵，，∴故选：A．【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式，代数式求值问题，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．7．C【解析】【分析】根据平方差公式的定义判断即可；【详解】、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：．【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．8．C【解析】【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意；不能用完全平方公式，故B不符合题意；，能用完全平方公式，故C符合题意；不能用完全平方公式，故D不符合题意；故答案选C．【点拨】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．9．A【解析】【分析】先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴多项式与的公因式是；故选：A．【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的公因式．10．D【解析】【分析】先根据完全平方公式分解为，再将分解为由此得到答案.【详解】==，故选：D.【点拨】此题考查公式法分解因式，综合运用完全平方公式、平方差公式是解题关键.11．A【解析】【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：∵≥1＞0，∴多项式的值总是正数．故选：A．【点拨】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.12．C【解析】【分析】首先利用提取公因式法分解因式，可得a2（a﹣b）+b2﹣2ab，再把a﹣b＝1代入，可得a2+b2﹣2ab，再利用完全平方公式分解因式，可得（a﹣b）2，据此即可求得．【详解】解：∵a﹣b＝1，∴a3﹣a2b+b2﹣2ab＝a2（a﹣b）+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1故选：C．【点拨】本题考查了因式分解，完全平方公式，整式的化简求值，采用整体代入是解决此类题的关键．13．B【解析】【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故选：B【点拨】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．14．A【解析】【分析】先利用提公因式法和完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入求值即可．【详解】解：==，当，时，原式=2×32=2×9=18，故选：A．【点拨】本题考查代数式求值、因式分解、完全平方公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．15．C【解析】【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可．【详解】解：A、，故该选项不合题意；B、不能进行因式分解，故该选项不合题意；C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不合题意；故选：C．【点拨】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式．16．(m+3)(m-3)【解析】【分析】利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：m2﹣9＝(m+3)(m-3)．故答案为：(m+3)(m-3)．【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．17．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点拨】本题考查公式法分解因式，熟记平方差公式：是解本题的关键．18．【解析】【分析】利用完全平方公式直接因式分解即可．【详解】．故答案为．【点拨】本题考查公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解决本题的关键．19．【解析】【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．【详解】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点拨】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解．20．【解析】【分析】连接BE发现，无论正方形BCEF怎样变，△AME面积都与△AMB相等，因为都是以AM为底，以AM到BE之间的距离为高．【详解】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM．∴△AME与△AMB同底等高．∴△AME的面积=△AMB的面积．∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=2019时，△AME的面积为．当AB=2020时，△AME的面积为．∴故答案为：【点拨】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE始终平行AM是本题关键．21．18【解析】【分析】先因式分解，再整体代入计算即可．【详解】故答案为：18【点拨】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题的关键．22．【解析】【分析】先用十字相乘分解，再用平方差公式分解即可．【详解】解：x4+3x2﹣10==故答案为：．【点拨】本题考查了实数范围内因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法在实数范围内进行分解．23．±8【解析】【分析】根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．【详解】解：根据题意得：x2+mx+16=(x+n)2，整理得：x2+mx+16=x2+2nx+n2，∴m=2n，n2=16，解得：n=±4，m=2n=±8，故答案为：±8．【点拨】此题考查了完全平方式，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．【解析】【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式．故答案是：．【点拨】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将当作整体，得到平方差的形式．25．（x﹣2）（x﹣5）（x+1）【解析】【分析】当x＝2时，代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：把x＝2代入多项式，x3﹣6x2+3x+10＝23﹣6×22+3×2+10＝8﹣6×4+6+10＝8﹣24+6+10＝0，于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．【点拨】本题考查因式分解的应用，题目形式较为新颖，从题目中获取正确信息是解题关键．26．【解析】【分析】先提取公因式，在利用公式法计算即可；【详解】原式；故答案是：．【点拨】本题主要考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，准确利用公式求解是解题的关键．27．36【解析】【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵，∴原式=，故答案是：36．【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．28．（1）4ab（3a＋1）（x－y）；（2）（4m＋n）（2m＋3n）；（3）（x＋y＋3）2（x＋y－3）2【解析】【分析】（1）利用提公因式法求解；（2）先利用完全平方公式去括号，合并同类项再根据十字相乘法分解因式；（3）根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解即可．【详解】解：（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x）=4ab（3a＋1）（x－y）；

（2）（3m＋2n）2－（m－n）2===（4m＋n）（2m＋3n）；（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋81==（x＋y＋3）2（x＋y－3）2．【点拨】此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法：