数学七年级下学期1.6 平行线的判定

专题1.6平行线的判定（知识讲解）【学习目标】1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】要点一、判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）要点二、判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）要点三、判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点四、判定方法4：垂直于同一直线的两直线平行几何语言：∵∴∠4=∠2＝90°∴AB∥CD（垂直于同一直线的两直线平行）特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、同位角相等，两直线平行 1．如图，已知，，试说明．请将过程填写完整．证明：∵又（_____________）∴_______（______________）∴（______________）又∵∴______________．【答案】对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF【分析】若能得到，再由，则可得结论，由，可得，从而可证得，因而问题解决．解：∵又（对顶角相等）∴∠2（等量代换）∴（同位角相等两直线平行）又∵∴EF(平行于同一条直线的两条直线平行)故答案分别为：对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF【点拨】本题考查了平行线的判定、平行于同一直线的两条直线平行这一性质．举一反三：【变式1】如图，直线a、b被直线c所截，，直线a与直线b平行吗？为什么？（写出每一步的理由依据）【答案】平行，见解析【分析】先根据对顶角相等得出，再由可得出，由此得出结论．解：．理由：与是对顶角，（两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的方向延长线）．（对顶角相等），（已知），（等量代换）．（同位角相等，两直线平行）【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，解题的关键是用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．【变式2】如图，∠1=70°，∠2=70°.说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠3，推出∠2=∠3，根据平行线的判定即可推出答案．解：如图：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°,又∵∠2=70°，∴∠3=∠2=70°,∴AB∥CD.【点拨】考查对平行线的判定，对顶角的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用平行线的判定进行证明是解题的关键．类型二、内错角相等，两直线平行 2．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代换）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠（）．∴AB∥DC（）．【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．举一反三：【变式1】如图，已知平分，点D在射线上，且．判断与的位置关系，并说明理由．【答案】BC∥DE；理由见解析【分析】根据角平分线的定义和已知条件可得∠CBE=∠BED，再根据平行线的判定即得结论．解：BC∥DE；理由如下：∵平分，∴∠ABE=∠CBE，∵，∴∠CBE=∠BED，∴BC∥DE．【点拨】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．【变式2】在四边形中，于点，过点作，分别交，于点，，若，求证：．【分析】本题先利用垂直性质求证AG与CF平行，继而利用平行性质以及角的等量代换证明∠DAG与∠AGB相等，最后利用内错角相等求证AD与BC平行．证明：∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【点拨】本题考查平行线的证明，难度较低，通常利用同位角或者内错角相等求证平行，反之用平行性质求证角等．类型三、同旁内角互补，两直线平行 3．完成下面的证明：如图，平分，平分，且，求证．

证明：∵平分（已知），∴（）．∵平分（已知），∴________（）．∴（）．∵（已知），∴________（）．∴（）．【答案】角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．解：平分（已知）∴（角平分线的定义）平分（已知）∴2∠β（角平分线的定义）∴（等式性质）（已知）∴180°（等量代换）∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点拨】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．举一反三：【变式1】如图，，平分，平分，．（1）求证：；（2）与平行吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．【分析】（1）根据平分的性质可得，，等角代换可得∠1＝∠CDF，根据内错角相等两直线平行求证结论；（2）由（1）得AB∥BC，根据平行线的性质可得∠C＋∠ABC＝180°，可得∠C＋∠ADC＝180°，接根据平行线的判定定理即可求证结论．（1）证明：∵BE平分，平分,∴，，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠2＝∠CDF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDF，，∴AB∥CD；（2）AD∥BC，理由如下：∵AB∥CD，∴，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＋∠C＝180°，∴AD∥BC，．【点拨】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法及其性质定理．【变式2】完成下面的证明：已知：如图，平分平分，且．求证：，证明：平分(已知)（）平分(已知)（）（）(已知)（）（）【答案】角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行【分析】根据角平分线的性质及平行线的判定解决即可．解：平分(已知)（角平分线的定义）平分(已知)（2∠β）（等式的基本性质）(已知)（180°）（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行．【点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及判定等，熟练掌握角平分线的性质及平行线的判定和性质是解决本题的关键．类型四、垂直于同一直线的两直线平行4．如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB．【解析】由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论．证明：∵∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，∴GH∥CE，∴∠CEB=∠BGH，∵HG⊥AB，∴∠CEB=∠BGH，∴CE⊥AB举一反三：【变式1】在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：

小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”小琛说的是否正确？______（回答正确或错误）小萱做法的依据是__________________小冉做法的依据是__________________．【答案】正确；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行或（垂直于同一直线的两条直线平行）【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行去判定即可.解：小琛的说法正确，理由如下小琛的做法的依据是内错角相等，两直线平行，故正确；小萱做法的依据是同位角相等两直线平行；

小冉做法的依据是内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）；

故答案为：正确；同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）．【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式2】在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，