2021考研数学章节练习答案解析-《数学-高数》-第一讲 第三节 连续

,xsin—,x<0,,„.一+

设n/(v)={X，当a=时,/(x)连续•

a+x2,x>0,

［参考答案］

x=0时，/(x)=a

又limf(x)=limxsin—=0,liinf(x)=liina+x2=a.

x->0-x->0-xx->0*

综上可得，<7=0.

1_

己知函数p=5--,则X=0是f(x)的间断点.

ex+1

［参考答案］

21

ex-1ex-1

lim=--=-1.lim=—=1

x^r±x”1

ex+1ex+1

所以工=0是/(x)的第一类间断点中的跳跃间断点.

ex-1,x<0,

设f(x)=<x+a.0«x<1,求的值，使得/(x)在x=0和

Z?+sin(x-l),x>1,

x=1处连续.

因为函数在x=0和x=l处连续，

故可得x=0和x=1左右极限分别相等且等于该点的函数值,

lim(x+n)=lim(ex-1)=n,

即卜*x->o-

lim(Z?+sin(x-1))=lim(x+n)=1+a.

工x->r

［参考答案］解方程组得叫0力”

确定函数1，=一^•的间断点及间断类型.

1-历

由歹=」_【可得，间断点为X=O,K=1.

l-e1-1

又因为limv=lim------=-oo.limv=lim------=+s,

fx->(rJL-i-»o--

l-e1^1-e1-1

故可得x=0为函数的第二类间断点中的无穷间断点；

因为limv=lim------=1.limv=iim------=0,

x—>i**x->i*x->r*x—>i~—

l-e1-1l-e1-x

故可得x=l为函数的第一类间断点中的跳跃间断点.

［参考答案］

5

求/(A)=S111Y的间断点并判别其类型.

|x|(x-l)

/(x)=--)\的间断点为x=0,，=1.

|x|(x-D

d「siiixsiiix_1«

乂lull--------------=lini-----------=Imi-------=-1,

X->O*IXI(X-1)x->0*X(X-1)xTTX-]

IXI(X-1)xM-x(x-l)x-^)-X-1

所以x=0是原函数/(x)的第一类间断点中的跳跃间断点.

vsiiix「siiix..siiil

IA|为lim--------=lun-------=Inn----=+s,

x->r|x|(x-1)x-4*x(x-l)x->rx-1

「sinx「siiix「siiil

Inn--------=lun-------=lim----=一℃.

x->r|x|（x-l）x"工（工-1）xMx-1

「公」一、所以x=l是原函数/（x）的第二类间断点中的无穷间断点.

［参考答案］

6

设函数/&）=高急有无穷间断点x=°及可去间断点'=】'

试确定常数〃及人

因为函数/（K）=.有无穷间断点x=0.

（工一做工-1）

故x=0时，分子不为0.分母为0,

所以6°-匕。0.（0-。）（0-1）=0,解得a=0.

函数/（X）=/Y,、有可去间断点x=1，

（x-^Xx-1）

故x=l时，分子分母为同阶无穷小或无穷大.

由题可知工=1时，分母为0,故分子也为0.

即e-b=0,也即是b=e.

［参考答案］

7

己知函数f(X)=1(8SX)r,X<。，在工=0处连续，求”的取值.

a,x>0

由题可知，lim/(x)=lim/(x)=/(O).

x->0*x->0-

又limf(x)=a.lim/(x)=lim(cosx)-T=lime-rlncosT=1.

x->o*x-»o-工一>0-x->(r

［参考答案］故可得〃=L

8

1_丫2”

试讨论函数=三'的连续性’若有间断点’判别其类型•

n

1_r^1_A

当|x|<1时，lim——-x=lim----x=x；

31+z8]+o

22n

i_v"_Y

当I">1时,lim——-x=lim=-x=-x；

XHI+Lx*工2”

1-X1-1

当|x|=1时，lim——~^x=lim----x=0.

31+.Lf°l+l

-x,IX|>1,

综上可得，f(x)=0,|x|=1.

X,|x|<l.

因为lim/(A)=lim(-x)=-l.lim/(x)=limx=1,

x—>1*x—x->i-x—>r

故X=1为函数的跳跃间断点，属第一类间断点；

因为lim/(A)=limx=-1.limf(x)=lim(-x)=1,

x->-rx->-rxT-r

故x=-l为函数的跳跃间断点，属第一类间断点.

［参考答案］

9

/.xwO.

4-COSX讨论八工）在x=o处的连续性.

设f(x)=<

五,x=0.

左极限limf(x)=lim