线性代数教案

教案2010—2011年度第2学期生物数学教研室生物数学杨磊教师杨磊讲师职称讲师线性代数课程线性代数哈尔滨医科大学生物信息学院学期授课计划教材名称线性代数出版单位清华大学出版社出版时间2010年授课对象公共事业管理专业学时48授课地点公卫学院26号教室授课时间课序学时章节内容摘要备注2012线性方程组消元法2022线性方程组矩阵及其初等变换2032第一章线性方程组线性方程组有解判别定理齐次线性方程组201242第二章向量空间n维向量空间201252第二章向量空间线性相关性201262第二章向量空间向量组的秩201272第二章向量空间线性方程组的解的结构201282第三章行列式二阶和三阶行列式n阶排列201292第三章行列式n阶行列式的定义2012102第三章行列式行列式的性质与计算2012112第三章行列式行列式按一行(列)展开公式矩阵的秩与行列式2012122第三章行列式克拉默法则2012132第四章矩阵矩阵的运算2012142第四章矩阵逆矩阵2012152第四章矩阵矩阵的分块2012162第四章矩阵初等矩阵2012172第四章矩阵几种常用的特殊矩阵2012182第五章特征值与特征向量特征值与特征向量2012192第五章特征值与特征向量相似矩阵和矩阵对角化的条件2012202第五章特征值与特征向量实对称矩阵的对角化2012212第五章特征值与特征向量非负矩阵2012222第五章特征值与特征向量二次型2012232第五章特征值与特征向量二次型的标准形2012242第五章特征值与特征向量正定二次型主任签字：年月日

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容消元法授课时间2012授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握线性方程组的概念及其应用熟悉如何求解一般的线性方程组了解线性方程组解的三种情况教材分析重点初等变换解线性方程组难点消元法求解线性方程组教学方法启发式、互动式教学，以求解线性方程组为出发点，将此内容作为容易接受和容易使用的工具（PBL）教学手段多媒体、图片等新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词LinearEquations;LinearAlgebra;Linearsystem;solutionset;equivalent;matrix;consistent;inconsistent;Replacement;Scaling;Interchange参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体消元法求解线性方程组35分钟讲述、多媒体初等变换求解线性方程组35分钟讲述、多媒体总结5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一.导课解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．二.消元法求解线性方程组例1．求解线性方程组 (1)解：交换第一、三两个方程的位置：第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得 (2)第三个方程乘以(–)，求得x3=–1，再代入第二个方程，求出x2=–1，最后求出x1=2．这样就得到了方程组(1)的解：方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x1–3x2+x3=6，得到一个新的方程组 (3)用类似的方法，可以把方程组化为 (4)即显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x1–3x2+x3=5，作出新的方程组 (5)用类似的方法，可得到 (6)显然方程组无解．上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1.交换方程组中某两个方程的位置；2.用一个非零数乘某一个方程；3.用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k后加到第一个方程上，这样，得到新方程组 (I')设xi=ci(i=1，2，…，n)是(I)的任意一个解．因(I)与(I')的后m–1个方程是一样的，所以，xi=ci(i=1，2，…，n)满足(I')的后m–1个方程．又xi=ci(i=1，2，…，n)满足(I)的前两个方程，所以有把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为这说明xi=ci(i=1，2，…，n)又满足(I')的第一个方程，故xi=ci(i=1，2，…，n)是(I')的解．类似地可以证明(I')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I)与(I')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．三.初等变换求解线性方程组下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x1的系数．如果x1的系数a11，a21，…，am1全为零，那么方程组(I)对x1没有任何限制，x1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x2，…，xn的方程组来解．如果x1的系数不全为零，不妨设a11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第i个(i=2，3，…，m)方程，于是方程组(I)变成 (Ⅱ)其中显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为 (Ⅲ)其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程组(Ⅲ)中“0=0”我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r+1个方程0=dr+1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为dr+1=0．在方程组有解时，分两种情形：1)当r=n时，阶梯形方程组为 (Ⅳ)其中cii≠0，i=1，2，…，n．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如前面讨论过的方程组(1)经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是2)当r<n时，这时阶梯形方程组为其中cii≠0，i=1，2，…，r，写成如下形式 (Ⅴ)由克莱姆法则，当xr+1，…，xn任意取定一组值，就唯一确定出x1，…，xr值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x1，x2…，xr的值由xr+1，…，xn表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因xr+1，…，xn可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组将x1，x2用x3表示出来即有这就是方程组(3)的一般解，而x3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0=0”当线性方程组(1)中的常数项b1=b2=…=bm=0时，即 (Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x1=x2=…=xn=0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r≤m<n，所以它有无穷多个解，因而有非零解5分钟多媒体35分钟多媒体，习题▲难点提问：线性方程组消元法的条件提问：方程组的初等变换有哪几种？※重点35分钟，多媒体提问：如何利用初等变换求解线性方程组提问：什么是克莱姆法则？提问：线性方程组解的情况？课堂小结这节课我们学习了消元法求解线性方程组，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0=0”主板书设计一.导课▲二.消元法求解线性方程组※三.初等变换求解线性方程组

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容矩阵及其初等变换授课时间2012授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握线性方程组的系数矩阵熟悉增广矩阵化为阶梯形矩阵了解初等变换求线性方程组教材分析重点线性方程组的系数矩阵难点增广矩阵化为阶梯形矩阵教学方法讲授新课教学手段多媒体新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词elementarymatrix;elementaryrowoperations;lineartransformation;standardmatrix;Linearmodels参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体线性方程组的矩阵表示25分钟讲述、多媒体增广矩阵化阶梯型矩阵45分钟讲述、多媒体总结5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一.导课从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．二.线性方程组的矩阵表示通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式表中的第i行代表方程组(I)的第i个方程，第j列表示xj的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表它称为线性方程组的系数矩阵．定义1由数域P中m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成m行n列的长方形表称为数域P上的一个m×n矩阵．aij称为矩阵的元素，m×n矩阵记为Amn或Am×n，有时还记作A=(aij)m×n．三.增广矩阵化阶梯型矩阵已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1)交换矩阵的某两行的位置；2)用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3)用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’)2’)3’)1’)，2’)，3利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．例2求解线性方程组对它的增广矩阵作初等行变换→→最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵．对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简．把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得它所表示的方程组为这样，就得到方程组的一般解：其中x4为自由未知量．思考题：当a与b取什么值时，线性方程组有解？在有解的情况下，求它的一般解．5分钟多媒体25分钟，多媒体※重点提问：什么是线性方程组的常数项？提问：什么是线性方程组的系数？45分钟，多媒体▲难点提问：线性方程组的增广矩阵指的是什么？提问：什么是阶梯矩阵？课堂小结这节课我们学习了消元法解线性方程组，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1)交换矩阵的某两行的位置；2)用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3)用一个数乘某一行后加到另一行上利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．主板书设计一.导课※二.线性方程组的矩阵表示▲三.增广矩阵化阶梯型矩阵

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容线性方程组有解判别定理齐次线性方程组授课时间201授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件)熟悉用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法了解矩阵方程有解的充要条件教材分析重点线性方程组有解判别定理难点齐次线性方程组教学方法启发式、互动式教学教学手段多媒体等新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词Basicvariables;freevariable;linearcombination;weight;subset参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体线性方程组有解判别定理30分钟讲述、多媒体齐次线性方程组有解判别定理40分钟讲述、多媒体总结5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一.导课这一节我们利用n维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组 (1)的系数矩阵和增广矩阵分别为和，即=，=．则有下面的定理二.线性方程组有解判别定理定理1线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r()=r()证：必要性如果方程组(1)有解，则可由1，2，…，n线性表出，从而向量组1，2，…，n，可由1，2，…，n线性表出．又显然1，2，…，n可由1，2，…，n，线性表出，于是{1，2，…，n}{1，2，…，n，}．所以r{1，2，…，n}=r{1，2，…，n，}，因此r()=r()充分性若r()=r()，则有r{1，2，…，n}=r{1，2，…，n，}，又向量组1，2，…，n可由1，2，…，n，线性表出，于是由§4的定理4知，因此可由线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：或者其中cii≠0，i=1，2，…，r，dr+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当dr+1≠0时，r()≠r()，方程无解；当dr+1=0时，r()＝r()，方程组有解．例1判断方程组有解还是无解．解：显然，r()=3，而r(A)=2，所以方程组无解．下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．设线性方程组(1)有解，则r(A)=r()=r，因而A必有一个r阶子式D≠0(当然它也是的不为零的r阶子式)．为方便叙述起见，不妨设D位于A的左上角．显然这时D所在的行是的一个极大无关组，第r+1，r+2，…，m行都可由它们线性表出．因此方程组(1)与 (2)同解．当r=n时，由克莱姆法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解．当r<n时，把方程组(2)改写为 (3)此方程组作为x1，x2，…，xr的方程组时，其系数行列式正是D，而D≠0，由克莱姆法则，对于xr+1，xr+2，…，xn的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解．xr+1，xr+2，…，xn就是方程组(1)的一组自由未知量．对于(3)用克莱姆法则，可解出x1，x2，…，xr：(4)这就是线性方程组(1)的一般解．从上面的讨论可得：定理2当线性方程组有解时，(1)若r(A)=r=n，则方程组有唯一解．(2)若r(A)=r<n，则方程组有无穷多解．例2求解方程组解：对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵 由于r()=r(A)=2<4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为x3、x4为自由未知量．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r(A)=r<n．推论2齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数行列式D=0例3取何值时方程组有非零解？并求其一般解．解：计算系数行列式=2(–1)令D=０，知=0或=1时，方程组有非零解．(1)当=０时，易求得一般解为 x3为自由未知量．(2)当=1时，易求得一般解为 x3为自由未知量．三.齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为 (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解写成行向量的形式性质1如果=(c1，c2，…，cn)，=(d1，d2，…，dn)是方程组(1)的两个解，则+=(c1+d1，c2+d2，，…，cn+dn)也是(1)的解．证明：因为=(c1，c2，…，cn)与=(d1，d2，…，dn)都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即ai1c1+ai2c2+…+aincn=0(i=1，2，…，ai1d1+ai2d2+…+aindn=0(i=1，2，…，m)两式相加得：ai1(c1+d1)+ai2(c2+d2)+…+ain(cn+dn)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(cn+dn)是(1)的一个解，即+是(1)的解．性质2若是(1)的解，则k=(kc1，kc2，…，kcn)也是(1)的解．(k是常数)证明：因=(c1，c2，…，cn)是(1)的解，所以有ai1c1+ai2c2+…+aincn=0i=1，2，…，n，两边同乘以k得ai1(kc1)+ai2(kc2)+…+ain(kcn这说明(kc1，kc2，…，kcn)是(1)的解．性质3如果1，2，…，n，都是(1)的解，则其线性组合k11+k22+…+knn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，kn是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解1，2，…，t满足：(1)1，2，…，t线性无关；(2)方程组(1)的任意一个解都可以由1，2，…，t线性表出．则称1，2，…，t是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵施行初等行变换，可以化为如下形式：即方程组(1)与下面的方程组同解其中xr+1，xr+2，…，xn为自由未知量对n–r个自由未知量分别取，，…，，可得方程组(1)的n–r个解．1=，2=，…，n–r=，现在来证明1，2，…，n–r就是方程组(1)的一个基础解系．首先证明1，2，…，n–r线性无关．以解向量1，2，…，n–r为列构成矩阵，有n–r阶子式＝1≠0，即r(1，2，…，n–r)=n–r，所以1，2，…，n–r线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解=，是1，2，…，n–r的线性组合．由于所以===kr+1+kr+2+…+kn=kr+11+kr+22+…+knn–r．即是1，2，…，n–r的线性组合．这就说明了1，2，…，n–r是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为k11+k22+…+kn–rn–r．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量xr+1，xr+2，…，xn可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n–r个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n–r个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．例1求如下齐次线性方程组的基础解系．对增广矩阵施行如下初等变换因为r()=3<4，因此，原方程组有无穷多个解，由n–r=1知，基础解系中仅含1个解．所以方程组的一般解为其中x4为自由未知量．让自由未知量x4=1，得到方程组的解1=，1就是原方程组的一个基础解系．因此，方程组的全部解为=k11=k1，其中k1为任意数．例2求方程组的全部解．解：对系数矩阵A作初等变换化为阶梯形矩阵因为r(A)=２<4，所以方程组有无穷多解，由n–r=2知，基础解系中含有2个解．所以方程组的一般解为取x2，x4为自由未知量．令解出则1=，2=为原方程组的一个基础解系．方程组的全部解为X=k11+k22其中k1，k2为任意数．例3求解如下方程组解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换因为r()=3，故原方程组只有零解=．思考题：已知矩阵的各行向量都是齐次线性方程组的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量是多了还是少了，假如多了，如何去掉？假如少了又如何补充？5分钟多媒体提问：什么是系数矩阵和增广矩阵?30分钟多媒体，习题※重点提问：如何用消元法求解线性方程组?提问：如何判断方程组有解无解？提问：什么是齐次线性方程组？40分钟多媒体，习题▲难点提问：什么是同解线性方程组?提问：什么是基础解系？课堂小结本节课我们学习了线性方程组和齐次线性方程组解的情况，线性方程组解有三种情况，齐次线性的解有两种情况：唯一解，有无穷多个解。方程组的全部解能通过它的有限个解的线性组合表示出来．称为齐次线性方程组的基础解系．主板书设计导课※二.线性方程组组解的结构▲三.齐次线性方程组解的结构

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容n维向量空间授课时间201授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握向量空间（基和维数）的概念熟悉子空间的概念了解由向量组生成的向量空间教材分析重点向量空间的概念，向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间难点向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法教学方法讲授、练习教学手段多媒体等新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语30%外语关键词Lineartramsformation;nullspace;solutionset;subspace;zerosubspace参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体向量空间70分钟讲述、多媒体思考题5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一．导课上一节介绍了消元法，用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行初等变换．增广矩阵的每一行都表示一个方程．方程组的第i个方程是用一组有序数(ai1，ai2，…，ain，bi)来表示的．从解方程组的过程知，一个线性方程组的解的情况是由方程组中方程之间的关系所决定的．如在第一节的例2中方程组第二个方程加上第一个方程的两倍即可得到第四个方程，所以第四个方程是一个多余的方程．从方程中删除第四个方程不会影响到方程组的解．由此可见，方程组中方程之间的关系是十分重要的，因而研究有序数组之间的关系也是十分重要的．为了进一步研究这种关系，从理论上深入地讨论线性方程组的解的问题，需要引入n维向量这个概念．二.向量空间定义1由数域P中的n个数a1，a2，…，an组成的有序数组(a1，a2，…，an)称为一个n维向量．ai称为向量的第i个分量，通常用希腊字母，，，…等表示向量，而用拉丁字母a，b，c，…等表示分量．当数域P为实数域时，即由n个实数构成的向量称为实向量．在平面直角坐标系中，平面上的几何向量可用它的终点的坐标(x，y)表示，其中x，y都是实数．因此它是实数域上的二维向量．在空间直角坐标系中，几何向量建立了与实数数组(x，y，z)的一一对应．因此几何向量可看成是实数域上的三维向量．二维、三维实向量都是几何向量．n维向量是二维、三维向量的推广．但四维以上的向量没有几何意义．定义2如果n维向量=(a1，a2，…，an)，=(b1，b2，…，bn)的对应分量相等，即ai=bi(i=1，2，…，n)则称向量与相等，记作=．分量都是零的向量称为零向量，记为0．即0=(0，0，…，0)若=(a1，a2，…，an)，则向量(–a1，–a2，…，–an)称为向量=(a1，a2，…，an)的负向量，记为–．二维、三维向量之间的最基本的关系是用向量的加法和数量乘法表达的．对于n维向量，我们也作类似的模拟．定义3两个n维向量=(a1，a2，…，an)与=(b1，b2，…，bn)的对应分量之和构成的向量，称为向量与的和，记为+，即+=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)．由向量的加法及负向量的定义，可以定义向量的减法：–=+(–)=(a1，a2，…，an)+(–b1，–b2，…，–bn)=(a1–b1，a2–b2，…，an–bn)．定义4n维向量=(a1，a2，…，an)的各分量都乘以数k所构成的向量，称为数k与向量的数量乘积，记为k，即k=(ka1，ka2，…，kan)．向量的加法与数量乘积这两种运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算满足下列八条运算规律：⑴+=+⑵+(+)=(+)+⑶0+=⑷+(–)=0⑸k(+)=k+k⑹(k+l)=k+l⑺k(l)=(kl)⑻1=其中、、都是n维向量，k、l都是P中的数．这些运算规律只需按加法与数与向量的乘积的定义逐一验证即可知其正确性．由定义还可以推出：0=0，k0=0．如果k≠0，≠0，则k≠0–(k)=k(–)=–k向量有时写成列的形式=，=．这时，与的相等、向量间的加法、数量乘法等定义及性质与上面的讨论完全类似．例如＋＝，k=，kP．为了方便，行、列向量的关系用下列符号来表示．(a1，a2，…，an)T=．利用向量有许多方便之处．例如利用向量运算可以将一般线性方程组简写成向量形式：1x1+2x2+…+nxn=(1)其中1=，2=，…，n=，=．这样，就可以借助于向量讨论线性方程组．向量的线性运算也是建立n维向量空间概念的基础，下面给出n维向量空间的定义．定义5数域P上全体n维向量构成的集合，连同定义在这个集合上的加法与数量乘法两种运算，称为数域P上的n维向量空间，记作Pn．思考题：设1=(2，5，1，3)，2=(10，1，5，10)，3=(4，1，–1，1)，如果3(1–)+2(2+)=5(3+)，求．5分钟多媒体提问：什么是增广矩阵？70分钟多媒体※重点▲难点提问：n维向量空间的定义？提问：行列向量的表示方式？课堂小结本章我们学习了一维，二维，n维空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间；向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).主板书设计一.导课※▲二.向量空间

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容线性相关性授课时间201授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件熟悉线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线性关系了解线性相关性的概念教材分析重点向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用难点线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理教学方法讲授、练习教学手段多媒体新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词linearcombination；linearlydependent；linearlyindependent；lineartransformation参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注线性组合20分钟讲述、多媒体线性相关与线性无关25分钟讲述、多媒体向量组的线性相关性的判断及其性质25分钟讲述、多媒体总结10分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等这一节我们进一步研究向量间的关系．一．线性组合两个向量之间最简单的关系是成比例．所谓向量与成比例，是说有一个数k存在，使得=k(或者=k)即向量可由向量经过线性运算得到(或可由向量经过线性运算得到)．多个向量之间的比例关系，表现为线性组合．如向量1=(1，2，–1，1)，2=(2，–3，1，0)，3=(4，1，–1，2)．容易看出1的2倍加上2就等于3，即3=21+2这时，我们称3是1，2的线性组合．一般地有定义1对于Pn中的向量1，2，…，m，，如果存在一组数k1，k2，…，km使得=k11+k22+…+kmm(1)成立．则称向量是向量组1，2，…，m的线性组合，或称向量可由1，2，…，m线性表出．其中k1，k2，…，km称为这一个组合的系数或表出的系数．例1任一n维向量=(a1，a2，…，an)都可由n维向量组1=(1，0，…，0)，2=(0，1，…，0)，…，n=(0，0，…，1)线性表出．事实上，有一组数a1，a2，…，an，使得=a11+a22+…+ann成立．所以可以由1，2，…，n线性表出．1，2，…，n称为n维基本单位向量组．例2向量组1，2，…，m中的每一个向量都可由该向量组线性表出．事实上，有一组数0，0，…，1，…，0，使得i=01+02+…+1i+…+0m(i=1，2，…，m成立．所以向量组1，2，…，m中的每一个向量都可由该向量组线性表出．给定向量与向量组1，2，…，m，如何判断能否由1，2，…，m线性表出呢？根据定义，这个问题取决于能否找到一组数k1，k2，…，km使得=k11+k22+…+kmm成立．下面通过例子说明判定方法．例3设=(1，1)，1=(1，–2)，2=(–2，4)，问能否由1，2线性表出．解：设k1，k2为两个数，使=k11+k22成立，比较等式两端的对应分量得：这一方程组无解，说明满足=k11+k22的k1，k2不存在，所以不能由1，2线性表出．例4设=，1=，2=，3=问是否能由1，2，3线性表出？解：设=k11+k22+k33其中k1，k2，k3为一组数，则有解之，得唯一解：k1=1，k2=1，k3=–1，所以能由1，2，3唯一地线性表出，且=1+2–3一般地，有如下定理定理1向量可由1，2，…，m线性表出的充分必要条件是：线性方程组1x1+2x2+…+mxm=有解．证明：设1=，2=，…，m=，=．能由1，2，…，m线性表出存在一组数k1，k2，…，km，使得=k11+k22+…+kmm．即=k1+k2+…+km．亦即方程组有解，且k1，k2，…，km是它的一个解．二．线性相关与线性无关对于任何一个向量组都有这样一个性质，即01+02+…+0m=0，这就是说：任何一个向量组，它的系数全为零的线性组合一定是零向量．而有些向量组，还可以有系数不全为零的线性组合，也是零向量，例如，向量组1=(1，2，–1，3)，2=(1，5，4，7)，3=(4，8，–4，12)．容易看出：3＝441+02+(–1)3=0即存在一组不全为零的数4，0，–1使得1，2，3的线性组合是零向量．具有这种性质的向量组称为线性相关的向量组．定义2对于向量组1，2，…，m，如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k11+k22+…+kmm=0(2)则称向量组1，2，…，m是线性相关的．定义3一个向量组如果不是线性相关就称为线性无关．也就是当且仅当k1=k2=…=km=0时，才有k11+k22+…+kmm=0成立，则称1，2，…，m线性无关．换句话说，向量组1，2，…，m线性无关是指对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km都有k11+k22+…+kmm≠0．例5证明(1)一个零向量必线性相关，而一个非零向量必线性无关；(2)含有零向量的任意一个向量组必线性相关；(3)n维基本单位向量组1，2，…，n线性无关．证明：(1)若＝0那么对任意k≠0，都有k=0成立，即一个零向量线性相关；而当≠0时，当且仅当k=0时，k=0才成立．故一个非零向量线性无关．(2)设向量组1，2，…，m中，i=0，显然有01+…+0i–1+10+0i+1+…+0m而0，…，0，1，0，…，0，不全为零，所以含有零向量的向量组线性相关．(3)若k11+k22+…+knn=0即k1(1，0，…，0)+k2(0，1，…，0)+…+kn(0，0，…，1)=(0，0，…，0)即(k1，k2，…，kn)=(0，0，…，0)于是只有k1=k2=…=kn=0，故1，2，…，n线性无关．例6讨论向量组1=(1，1，1)，2=(0，2，5)，3=(1，3，6)的线性相关性．解：令k11+k22+k33=0，即 k1(1，1，1)+k2(0，2，5)+k3(1，3，6)=(0，0，0)则 方程组的解为其中k2为任意数，所以方程组有非零解，即存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k11+k22+k33=0由定义2知向量组1，2，3线性相关．由定义和上面的例子可以看出，要判断一个向量组的线性关系，都可以从(2)式出发，若能找到一组不全为零的数，使(2)式成立，则该向量组线性相关；若当(2)式成立时，能证明系数只能全取零，那么，该向量组是线性无关的．三．向量组的线性相关性的判断及其性质定理2m个1=，2=，…，m=线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (3)有非零解． 证明：必要性设1=，2=，…，m=线性相关．由定义2，存在一组不全为零的数k1，k2，…，km使得k11+k22+…+kmm=0．即k1+k2+…+km=按分量写即这说明k1，k2，…，km是方程组(3)的一个非零解． 充分性如果齐次线性方程组(3)有非零解，不妨设k1，k2，…，km是它的一个非零解，将其代入(3)，有将此方程组写成向量形式，就是1k1+2k2+…+mkm=0．由定义1，2，…，m线性相关． 推论1向量组1，2，…，m线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(3)只有零解． 推论2当m=n时，即n个n维向量1=，2=，…，n=线性无关的充分条件是行列式D=≠0推论3m>n时，任意m个即当向量组中所含向量个数大于向量的维数时，此向量组线性相关．例7判断下列向量组的线性相关性．如果线性相关，写出其中一个向量由其余向量线性表示的表达式．(1)1=(3，4，–2，5)，2=(2，–5，0，–3)，3=(5，0，–1，2)，4=(3，3，–3，5)．(2)1=(1，–2，0，3)，2=(2，5，–1，0)，3=(3，4，–1，2)．解(1)根据定理1，考虑齐次线性方程组 (4)判定解的情况：用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形矩阵，即→因为r=3<n=4，所以方程组(4)有非零解，从而1，2，3，4线性相关．为了找出其中的一个向量可由其余向量线性表出，需求出(4)的一般解．因为→所以(4)的一般解为令x4=1，得(4)的一个解：x1=–2，x2=–1，x3=1，x4=1．于是得到一个线性相关的表达式–21–2+3+4=0进而得到 2由1，3，4线性表出的表达式为2=–21+3+4 可以看出，所求的表达式不是唯一的．(2)考虑齐次线性方程组 (5)判定解的情况：用初等变换把系数矩阵A化为阶梯形矩阵，即→因为r=n=3，所以方程组(5)只有零解．从而1，2，，3线性无关．例8证明向量组1=(1，a，a2，a3)，2=(1，b，b2，b3)3=(1，c，c2，c3)，4=(1，d，d2，d3)线性无关，其中a，b，c，d各不相同． 证：向量组是由四个4维向量组成，于是D＝＝(b–a)(c–a)(d–a)(c–b)(d–b)(d–c)因为a、b、c、d各不相同，所以D≠0，从而1，2，3，4线性无关．例9证明如果向量组1，2，3，线性无关，则向量21+2，2+53，43+31也线性无关．证明：设有数组k1，k2，k3，使k1(21+2)+k2(2+53)+k3(43+31)=0(6)整理得(2k1+3k3)1+(k1+k2)2+(5k2+4k3)3=0因为1，2，3线性无关，所以仅有 (7)经计算，方程组(7)的系数行列式于是方程组(7)只有零解k1=k2=k3=0，所以由(6)式知，向量组21+2，1+53，43+31也线性无关．定理3向量组1，2，…，m(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表出．证明：必要性若向量组1，2，…，m线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，km使关系式k11+k22+…+kmm=0成立．设ki≠0(1≤i≤m)，则由上式得kii=–k11–…–ki–1i–1–ki+1i+1–…–kmm=0即所以i可由1，2，…，m线性表出．充分性如果向量组1，2，…，m中有一个向量j可由其余m–1个向量线性表出，即j=l11+…+lj–1j–1+lj+1j+1+…+lmml11+…+lj–1j–1–j+lj+1j+1+…+lmm=0因为l1，…，lj–1，–1，lj+1，…，lm不全为零，所以1，2，…，m线性相关．由定理3立即得到推论向量组1，2，…，m(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余m–1个向量线性表出．定理4若向量组1，2，…，m线性无关，而向量组β，1，2，…，m线性相关，则β可由1，2，…，m线性表出，且表达式唯一．证：因为β，1，2，…，m线性相关，所以存在一组不全为零的数k，k1，k2，…，km使得kβ+k11+k22+…+kmm=0成立．这里必有k≠0，否则，若k=0，上式成为k11+k22+…+kmm=0且k1，k2，…，km不全为零，从而得出1，2，…，m线性相关，这与1，2，…，m线性无关矛盾．因此，k≠0，故即β可由1，2，…，m线性表出．下证表示法唯一．如果β=h11+h22+…+hmmβ=l11+l22+…+lmm则有(h1–l1)1+(h2–l2)2+…+(hm–lm)m=0成立．由1，2，…，m线性无关可知h1–l1=0，h2–l2=0，…，hm–lm=0即h1=l1，h2=l2，…，hm=lm所以表示法是唯一的．定理5若向量组中有一部分向量组(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关．证明：设向量组1，2，…，m中有r个(r≤m)向量的部分组线性相关，不妨设1，2，…，r线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，kr，使k11+k22+…+krr=0成立，因而存在一组不全为零的数k1，k2，…，kr，0，0，…，0，使k11+k22+…+krr+0r+1+…+0m成立．即1，2，…，m线性相关．例如，含有两个成比例的向量的向量组是线性相关的．因为两个成比例的向量是线性相关的，由定理5知该向量组线性相关．推论若向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关．如，n维单位向量组ε1，ε2，…，εn线性无关，因此它的任意一个部分组线性无关．定理6如果n维向量组1，2，…，s线性无关，则在每个向量上都添加m个分量，所得到的n+m维向量组1*，2*，…，s*也线性无关．证：用反证法．假设1*，2*，…，s*线性相关，即存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11*+k22*+…+kss*=0(8)设j=(1j，2j，…，nj)T，j*=(1j，2j，…，nj，n+1j，…，n+mj)T，j=1，2，…，s，(8)式可写成显然，前n个方程构成的方程组有非零解k1，k2，…，ks．于是知1，2，…，s线性相关，这与已知矛盾，所以1*，2*，…，s*线性无关．推论如果n维向量组1，2，…，s线性相关，则在每一个向量上都去掉m(m<n)个分量，所得的n–m维向量组1*，2*，…，s*也线性相关．思考题：设有1=(1，–2，4)，2=(0，1，2)，3=(–2，3，a)试问(1)a取何值时，1，2，3线性相关？(2)a取何值时，1，2，3线性无关？20分钟多媒体，习题提问：什么是线性组合？提问：什么是线性表示？提问：线性方程组的有解定理？25分钟多媒体，习题▲难点提问：非零向量的表示？25分钟多媒体，习题※重点提问：齐次线性方程组解的情况？课堂小结这节课我们学习了向量组的线性关系，如何判断向量组的线性关系；齐次线性方程组和方程组解的情况和线性关系的判断；线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用主板书设计一．线性组合▲二．线性相关与线性无关※三．向量组的线性相关性的判断及其性质

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容向量组的秩授课时间2012授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握求向量组的秩的方法熟悉求向量组的最大无关组的方法了解最大无关组与向量组的秩的概念教材分析重点最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性；矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩难点关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论；求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换教学方法讲授，练习教学手段多媒体新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词Eigenvalue;rank;fullrank;fundermentalsetofsolution;rowspace参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体向量组的极大无关组35分钟讲述、多媒体向量组的秩35分钟讲述、多媒体思考题5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一.导课:在二维、三维几何空间中，坐标系是不唯一的，但任一坐标系中所含向量的个数是一个不变的量，向量组的秩正是这一几何事实的一般化．二.向量组的极大无关组我们知道，一个线性相关向量组的部分组不一定是线性相关的，例如向量组1=(2，–1，3，1)，2=(4，–2，5，4)，3=(2，–1，4，–1)，由于31–2–3=0，所以向量组是线性相关的，但是其部分组1是线性无关的，1，2也是线性无关的．可以看出，上例中1，2，3的线性无关的部分组中最多含有两个向量，如果再添加一个向量进去，就变成线性相关了．为了确切地说明这一问题．我们引入极大线性无关组的概念．定义1设有向量组1，2，…，m，如果它的一个部分组i1，i2，…，ir，满足：(1)i1，i2，…，ir线性无关；(2)向量组1，2，…，m中的任意一个向量都可由部分组i1，i2，…，ir线性表出．则称部分组i1，i2，…，ir是向量组1，2，…，m的一个极大线性无关组，简称为极大无关组．在上例中除1，2线性无关外，1，3和2，3也都是向量组1，2，3线性无关的部分组，所以它们都是向量组1，2，3的极大无关组．因此向量组的极大无关组可能不只一个．但任意两个极大无关组所含向量的个数相同．例1设有向量组1=(1，0，0)，2=(0，1，0)，3=(0，0，1)，4=(1，0，1)，5=(1，1，0)，6=(1，0，–1)，7=(–2，3，4)，求向量组的极大无关组．解：显然1，2，3是它的一个极大无关组．容易看出1，2，3线性无关且4，5，6，7都可由1，2，3线性表出．另外，还容易证明：1，2，4或2，3，5或4，5，7都是它的极大无关组．从定义可看出，一个线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身．显然，仅有零向量组成的向量组没有极大无关组．为了更深入地讨论向量组的极大无关组的性质，我们先来讨论两个向量组之间的关系．定义2设两个向量组1，2，…，s(I)1，2，…，t(Ⅱ)如果向量组(I)的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表出，则称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出；除此之外，如果向量组(Ⅱ)也可由向量组(I)线性表出，则称向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价，记作{1，2，…，s}{1，2，…，t}(Ⅱ)容易证明，等价向量组有如下性质：(1)反身性：任一向量组与它自身等价，即{1，2，…，s}{1，2，…，s}．(2)对称性：若{1，2，…，s}{1，2，…，t}，则{1，2，…，t}{1，2，…，s}．(3)传递性：若{1，2，…，s}{1，2，…，t}，而{1，2，…，t}{1，2，…，m}，则{1，2，…，s}{1，2，…，m}．定理1如果向量组1，2，…，r可由向量组1，2，…，s线性表出且r>s，则向量组1，2，…，r线性相关．证：为了证1，2，…，r线性相关，就要找到一组不全为零的数k1，k2，…，kr，使k11+k22+…+krr=0(1)已知1，2，…，r可由1，2，…，s线性表出，故可设 (2)将(2)代入(1)，得k11+k22+…+krr=k1(l111+l122+…+l1ss)+k2(l211+l222+…+l2ss)+…+kr(lr11+lr22+…+lrss)=(k1l11+k2l21+…+krlr1)1+(k1l21+k2l22+…+krlr2)2+…+(k1l1s+krl2s+…+kr=0(3)显然，当i的系数全为零时，(3)式成立，即 (4)时，(3)式恒成立．方程组(4)是含有r个未知量k1，k2，…，kr，s个方程的齐次线性方程组，已知r>s，所以方程组(4)一定有非零解，因此存在一组非零解k1，k2，…，kr使得k11+k22+…+krr=0成立，所以1，2，…，r线性相关．推论1如果向量组1，2，…，r线性无关且可由向量组1，2，…，s线性表示，则r≤s．推论2两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同．证：设1，2，…，r与1，2，…，s满足命题的条件，则1，2，…，r线性无关且可由1，2，…，s线性表出，由推论1知r≤s．同理1，2，…，s线性无关可由1，2，…，r线性表出，则s≤r，于是s=r．极大线性无关组有下列性质：性质1向量组1，2，…，m与它的极大无关组i1，i2，…，ir等价．证明：由极大无关组的定义知任一向量组1，2，…，m可由它的极大无关组i1，i2，…，ir线性表出．又因为极大无关组i1，i2，…，ir的每一个向量都在向量组1，2，…，m中，由§3中的例2知，向量组的极大无关组i1，i2，…，ir可由1，2，…，m线性表出，故向量1，2，…，m与它的极大无关组等价．推论向量组的任意两个极大无关组等价．由等价的传递性直接可得此结论．性质2向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同．证明：设向量组1，2，…，m的两个极大无关组为i1，i2，…，ir(I)j1，j2，…，jt(Ⅱ)由性质1的推论知(I)(Ⅱ)，再由定理1的推论2立即得到r=t．三.向量组的秩由于一个向量组的所有极大无关组含有相同个数的向量，这说明极大无关组所含向量的个数反映了向量组本身的性质．因此，我们引进如下概念：定义3向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作r(1，2，…，m)．规定零向量组成的向量组的秩为零．n维基本单位向量组1，2，…，n是线性无关的，它的极大无关组就是它本身，因此，r(1，2，…，n)=n．定理2向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于它所含向量的个数．证明：必要性．如果向量组1，2，…，m线性无关．则它的极大无关组就是它本身，从而r(1，2，…，m)=m．充分性．如果r(1，2，…，m)=m，则向量组的极大无关组应含有m个向量，而这就是向量组本身，所以该向量组线性无关．定理3相互等价的向量组的秩相等．证明：设向量组(I)和(Ⅱ)等价，并且设(I)*和(Ⅱ)*分别是(I)和(Ⅱ)的极大无关组．根据性质１，则(I)*(I)，(Ⅱ)*(Ⅱ)因为，(I)(Ⅱ)，所以(I)*(Ⅱ)*，由推论2即得r(I)＝r(Ⅱ)定理3的逆定理并不成立．即两个向量组的秩相等时，它们未必是等价的．例如向量组1=(1，0，0，0)，2=(0，1，0，0)与向量组1=(0，0，1，0)，2=(0，0，0，1)有r(1，2)=r(1，2)=2，而这两个向量组显然不是等价的．定理4如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出，则这两个向量组等价．证明留作习题．思考题：1.已知向量组1，2，…，r与1，2，…，r，r+1，…，s有相同的秩，证明：1，2，…，r与1，2，…，r，r+1，…，s等价．2．证明：如果向量组1，2，…，r线性无关且可由向量组1，2，…，s线性表示，则r≤s．35分钟多媒体，习题※重点提问：若一个向量组线性无关，那么它的任何一个部分组是否一定线性无关？提问：若一个向量组的某一部分组线性无关，那么该向量组是否一定线性无关？提问：含有零向量的向量组是线性相关还是线性无关？35分钟多媒体▲难点提问：如果向量组α1,α2,…,αs线性无关，而向量组α1,α2,…,αs,β线性相关，那么向量β是否可由向量组α1,α2,…,αs唯一地表示？提问：一个p维的向量组线性无关，每个向量增加r个分量后，该向量组是否仍然线性无关？课堂小结这节课我们学习了极大线性无关组的概念，我们知道向量组的极大无关组可能不只一个．但任意两个极大无关组所含向量的个数相同；向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩；向量组线性无关．则它的极大无关组就是它本身；如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出，则这两个向量组等价主板书设计一.导课※二.向量组的极大无关组▲三.向量组的秩

教案(课时计划)课程名称线性代数教材名称线性代数计划学时2学时教学内容线性方程组解的情况授课时间2012授课地点公卫学院26号教室授课节次3、4节授课对象公共管理学本科教学大纲要求掌握齐次线性方程组基础解系的求法熟悉基础解系的概念了解非齐次线性方程组解的求法教材分析重点齐次线性方程组解的结构难点非齐次线性方程组解的结构教学方法讲授、练习教学手段多媒体新内容新知识(注明来源及所占比例)线性方程组在经济学中的英语20%外语关键词Homogeneous;trivialsolution;nontrivialsolutionl;parametericvectorform;parallelequation参考资料高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication课堂时间设计主要内容题目拟用时间表达方式备注导课5分钟讲述、多媒体齐次线性方程组解的结构35分钟讲述、多媒体非齐次线性方程组解的结构35分钟讲述、多媒体总结5分钟讲述

教学进程标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等一.导课上节解决了线性方程组的解的判定问题，接下来我们进一步讨论解的结构．已经知道，在方程组有解时，解的情况只有两种可能：有唯一解或有无穷多个解．唯一解的情况下，当然没有什么结构问题．在无穷多个解的情况下，需要讨论解与解的关系如何？是否可将全部的解由有限多个解表示出来，这就是所谓的解的结构问题．二.齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为 (1)我们要研究当(1)有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将（1）的解写成行向量的形式性质1如果=(c1，c2，…，cn)，=(d1，d2，…，dn)是方程组(1)的两个解，则+=(c1+d1，c2+d2，，…，cn+dn)也是(1)的解．证明：因为=(c1，c2，…，cn)与=(d1，d2，…，dn)都是(1)的解，所以有下列两组等式成立，即ai1c1+ai2c2+…+aincn=0(i=1，2，…，ai1d1+ai2d2+…+aindn=0(i=1，2，…，m)两式相加得：ai1(c1+d1)+ai2(c2+d2)+…+ain(cn+dn)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1+d1)，(c2+d2)，…，(cn+dn)是(1)的一个解，即+是(1)的解．性质2若是(1)的解，则k=(kc1，kc2，…，kcn)也是(1)的解．(k是常数)证明：因=(c1，c2，…，cn)是(1)的解，所以有ai1c1+ai2c2+…+aincn=0i=1，2，…，n，两边同乘以k得ai1(kc1)+ai2(kc2)+…+ain(kcn这说明(kc1，kc2，…，kcn)是(1)的解．性质3如果1，2，…，n，都是(1)的解，则其线性组合k11+k22+…+knn，也是(1)的解，其中k1，k2，…，kn是任意数．由性质1、2立即可以推出性质3．由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多个解，那么如何把这无穷多个解表示出来呢？也就是方程组的全部解能否通过它的有限个解的线性组合表示出来．如将它的每个解看成一个向量(也称解向量)，这无穷多个解就构成一个n维向量组．若能求出这个向量组的一个“极大无关组”，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．定义1如果齐次线性方程组(1)的有限个解1，2，…，t满足：(1)1，2，…，t线性无关；(2)方程组(1)的任意一个解都可以由1，2，…，t线性表出．则称1，2，…，t是齐次线性方程组(1)的一个基础解系．问题是，任何一个齐次线性方程组是否都有基础解系？如果有的话，如何求出它的基础解系？基础解系中含有多少个解向量？定理1如果齐次线性方程组(1)有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有n–r个解向量．其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩．证明：因为齐次线性方程组(1)有非零解，所以r(A)=r<n，对方程组(1)的增广矩阵施行初等行变换，可以化为如下形式：即方程组(1)与下面的方程组同解其中xr+1，xr+2，…，xn为自由未知量对n–r个自由未知量分别取，，…，，可得方程组(1)的n–r个解．1=，2=，…，n–r=，现在来证明1，2，…，n–r就是方程组(1)的一个基础解系．首先证明1，2，…，n–r线性无关．以解向量1，2，…，n–r为列构成矩阵，有n–r阶子式＝1≠0，即r(1，2，…，n–r)=n–r，所以1，2，…，n–r线性无关．其次证明方程组(1)的任意一个解=，是1，2，…，n–r的线性组合．由于所以===kr+1+kr+2+…+kn=kr+11+kr+22+…+knn–r．即是1，2，…，n–r的线性组合．这就说明了1，2，…，n–r是方程组(1)的一个基础解系．因此，方程组(1)的全部解为k11+k22+…+kn–rn–r．定理的证明过程实际上给我们指出了求齐次线性方程组基础解系的具体方法．由于自由未知量xr+1，xr+2，…，xn可以任意取值，故基础解系不是唯一的，但两个基础解系所含向量的个数都是n–r个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意n–r个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．例1求如下齐次线性方程组的基础解系．对增广矩阵施行如下初等变换因为r()=3<4，因此，原方程组有无穷多个解，由n–r=1知，基础解系中仅含1个解．所以方程组的一般解为其中x4为自由未知量．让自由未知量x4=1，得到方程组的解1=，1就是原方程组的一个基础解系．因此，方程组的全部解为=k11=k1，其中k1为任意数．例2求方程组的全部解．解：对系数矩阵A作初等变换化为阶梯形矩阵因为r(A)=２<4，所以方程组有无穷多解，由n–r=2知，基础解系中含有2个解．所以方程组的一般解为取x2，x4为自由未知量．令解出则1=，2=为原方程组的一个基础解系．方程组的全部解为X=k11+k22其中k1，k2为任意数．例3求解如下方程组解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换因为r()=3，故原方程组只有零解=．三.非齐次线性方程组的解的结构下面讨论当非齐次线性方程组有无穷多解时，解的结构问题．设非齐次线性方程组为 (2)当它的常数项都等于零时，就得到前面介绍过的齐次线性方程组(1)，即 (1)方程组(1)称为方程组(2)的导出组．非齐次线性方程组(2)的解与其导出组(1)的解之间有如下关系：性质1非齐次线性方程组(2)的任意两个解的差是它的导出组(1)的一个解．证：设=(c1，c2，…，cn)，=(d1，d2，…，dn)为方程组(2)的两个解，分别代入(2)得ai1c1+ai2c2+…+aincn=bi(i=1，2，…，ai1d1+ai2d2+…+aindn=bi(i=1，2，…，m)两式相减得：ai1(c1–d1)+ai2(c2–d2)+…+ain(cn–dn)=0(i=1，2，…，m)这表明(c1–d1)，(c2–d2)，…，(cn–dn)是(1)的一个解，即–是(1)的解．性质２非齐次线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解的和是非齐次线性方程组(2)的一个解．证明方法与性质1的证明方法相同．由性质1、性质２可得定理2设0是非齐次线性方程组(2)的一个解，是导出组(1)的全部解，则=0+是非齐次线性方程组的全部解．证明：由非齐次线性方程组解的性质２可知，=0+是方程组(2)的解．下面证明方程组(2)的任意一个解＊都可以表示成0+0，其中0是齐次线性方程组(1)的某一个解．因为＊、0都是非齐次线性方程组(2)的解，由非齐次线性方程组的解的性质1可知＊–0是导出组(1)的解．令0=＊–0则0是齐次线性方程组(1)的某一个解，且因是齐次线性方程组（1）的全部解，所以非齐次线性方程组(2)的任意一个解都包含在=0+中，这就证明了=0+是非齐次线性方程组(2)的全部解．由此定理可知，如果非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解(特解)0，并求出其导出组的基础解系1，2，，…，n–r，则非齐次线性方程组的全部解可表示为0=0＋k11+k22+…+kn–rn–r其中k1，k2，…，kn–r为任意数．如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有唯一解，如果其导出组有无穷多解，则它也有无穷多解．例4求方程组的全部解解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以原方程组的一般解为其中x3，x4为自由未知量．让自由未知量取值，得方程组的一个解原方程组的导出组的一般解为其中x3，x4为自由未知量．让自由未知量取值，即得导出组的基础解系，．因此所给方程组的全部解为=+k1+k2其中k1，k2为任意常数．例5求如下方程组的全部解解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以原方程组的一般解为其中x4，x5为自由未知量．让自由未知量取值，得方程组的一个解0=原方程组的导出组的一般解为其中x4，x5为自由未知量．让自由未知量取值，即得导出组的基础解系1=，2=．因此所给方程组的全部解为=0+k11+k22=+k1+k2其中k1，k2为任意常数．例7试问取何值时方程组有解，并求其全部解．解：对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵=当＝１时，r()=r(A)=2，方程组有解．当＝１时，原方程组为 (＊)方程组(＊)的一般解为x3为自由未知量．令x3=0，解出=．向量0=为方程组(＊)的一个解．对应的齐次线性方程组的一般解为令x3=1，解出=．则向量=为方程组(＊)对应的齐次线性方程组的一个基础解系．原方程组的全部解为=0+k其中k为任意常数．思考题：已知矩阵的各行向量都是齐次线性方程组的解向量，问这４个行向量能否构成基础解系？假如不能，这４个行向量