数学概念的符号学解读

数学概念的符号学解读

1数学符号的重视根据《全日制义务教育数学课程标准》（修订草案），在“计数与代数”课程中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展操作能力，树立模型思维。这是第一次提出符号意识的概念,并解释:符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。这里的符号意识有两层意思:第一是符号的理解;第二是符号的运用。对于符号的理解,在数学概念的教学中,我们容易把握。而对后者,我们在数学概念的教学中不够重视,以至于学生理解符号的意义,但不会使用符号。也就是说,不会使用符号进行数学表达和数学思考,因此就觉得数学难学,数学题难做。要解决数学教学中的这一普遍的难题,从而解决学生在这方面的学习障碍,我们应该从数学符号的源头,也就是数学概念的符号的教学来思考、来解决。事实上,数学教学也就是数学语言的教学。而符号是数学语言的基本形式,是数学概念的基本要素。重视数学符号教学是搞好数学教学特别是数学概念教学的关健,这是因为符号意识是数学表达和数学思考的重要形式。我们当然是让学生在理解数学概念涵义、识记数学概念符号的基础上,掌握概念的符号形式和运用,两者不可或缺。因此,在数学概念的教学中,重视概念的符号教学,是我们解决上述问题的途径。而对数学概念的符号进行适当的分类,使我们认识各类概念符号的特征的本质。在教学时就可以依据不同种类符号的特点,确定相应的教学策略,搞好课堂教学设计,有效提高概念和符号的教学效率。2对数学的其它学习领域进行了分析符号意识是对数与代数的教学提出的要求,但它对于数学的其它学习领域意义是一样的。根据数学概念符号的组成结构和形式,我们可以将数学概念符号分为单字符和组合符。2.1个字母或一个符号表示的数学概念单字符,又可称为识记符,顾名思义就是指由一个字母或一个符号表示的数学概念。如:自然数集N、常量a、变量x、等号=、和号∑、交∩、三角形△,平行四边形▱等等。这类符号的特点是形式单一。2.2符号之间的表示组合符,就是指由两个及两个以上的字母或符号构成,表示符号之间的运算、关系和变化规律等特定内容的数学概念。这类符号结构复杂,内涵丰富。从概念的内涵方面考虑,这类符号主要有运算符、关系符、特性符以及综合符。2.2.1成的数学概念成为观所谓运算符,就是规定单字符的某种数学运算而形成的数学概念。它有两层含义,一是要对两个或两个以上的单字符进行数学运算;二是运算后得出的结果。如:和a+b、积ab、集合的交A∩B等等。2.2.2数学概念的理解关系符是指符号与符号之间的某种状态或某种性质的联系而形成的数学概念。如:a>b、a//b,A⊂B、△ABCue06c△A′B′C′等等。这类符号除了要求理解结果,还需要确定符号间的关系。如判断两个数的大小;判定两个三角形相似等。2.2.3成的数学概念成为观特性符则是指单字符之间满足特定的变化规律而形成的数学概念。一般,这类符号描述的变化规律抽象程度高,普遍性强。如:函数f(x)、数列的极限limn→∞anlimn→∞an等。2.2.4综合符号的内涵组合符更多的是综合的形式,如:导数f′(x0)=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△xf´(x0)=lim△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x是运算和特性符的综合、还有定积分∫baf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)△xi∫abf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)△xi等等,我们把这种符号叫做综合符。这类符号最重要的特点是层次多,结构复杂。导数与定积分就是很典型的例子。综上,组合符的内涵各有特点,每类符号的内涵特征也很鲜明。这对于我们认识和理解数学概念是十分有益的,对于数学概念的教学设计和教学实施也是十分有利的。符号是数学概念的外在形式,数学概念的本质属性蕴涵在符号中,对于概念符号的分类使我们看清符号的真实结构和内容,有利于教师从一个新的角度去审视数学概念,处理好数学概念的相关内容的教学。教师可以根据不同形式、种类的符号,采用不同的教学策略,有效提高数学概念课堂教学的效率,这是我们对数学概念符号的结构、特征进行分类的意义所在。3注重运算符的教学方法我们知道,弗赖登塔尔所认识的数学教育有五个主要特征,其中之一:数学化是数学教育的目标,而现实数学教育所说的数学化形式之一是:将实际问题转化为数学问题的数学化,即发现实际问题中的数学成分并对这些成分作符号化处理。毫无疑问,数学概念的教学重点是从概念所反映的事物中,抽象出概念的本质属性,使学生认识概念、理解概念。除此,当然还要重视概括定义、符号表示以及具体运用等环节的教学,其中符号表示是数学概念的符号化处理,是定义概念的数学化。其重要性直接影响到学生后续学习能否对数学概念所反映的对象进行数学表达和数学思考,影响到学生的数学化水平和学习水平。我们依据数学概念符号的结构、内容和对其所作的分类,使我们能够针对各类符号的特点,讲究教学策略,精心设计课堂教学环节,展开教学活动,提高概念教学质量,为学生进一步运用数学概念符号进行表达和思考,掌握数学思想方法,打下坚实的基础。识记符的教学处理相对比较简单。教学的着重点是揭示概念符号的本质属性,学生理解和识记概念。教学的方式方法也是我们比较熟悉的。值得注意的是:这类符号所表示的概念虽然形式比较单一,学生容易识记,但有时概念的内涵较多,也不容易理解。教学上,一定要根据定义的不同方式,选用合适的教学方法。组合符所表示概念的对象、内涵较多,教学应该重视揭示符号所蕴涵对象的特性,更要突出符号运用的教学,这对于我们的教学策略和教学设计提出了更高的要求。运算符的教学要求应突出运算,运算是数学能力。我们知道,任何能力都是在一定的实践活动中形成和发展起来的,因此,实践才是学习运算符最重要的特征。教学中必须依据运算能力形成的规律,有目的、有计划地训练,培养学生的运算能力。运算符的教学就应该加强练习,就是要按运算规律精心设计练习题,适当多练,严格训练,使学生的练习能够达到正确、迅速、合理,理解和掌握运算符。关系符的教学关键是抓住关系,围绕关系展开教学活动,教学主线是在理解关系的基础上确定符号间是否满足关系。教学上,要重视揭示符号间的相互联系,把握这种联系的性质,培养学生事物相互联系的辩证唯物主义观点。特性符的内容是最为复杂的,教学上一定要重视。一般特性符的内涵是揭示符号间的某种变化规律。虽然这些规律是普遍存在于现实事物之间,但经过数学的处理后,变得十分抽象,学生学习普遍感到困难,教师应该重视这类符号的教学设计。一般来说,数学概念的学习有两种形式:数学概念形成和数学概念同化。这两种形式对于识记符的教学都很适用,但对于特性符的教学,将这两种数学概念的学习形式有机地结合起来,常常可以收到较好的教学效果。例1,函数y=f(x)是中学生最难掌握的概念之一,讲函数概念这节课,教师在向学生讲述定义之前,有意识地举出一些函数概念的实际例子,一方面让学生观察、思考,并从中归纳事物的本质属性,另一方面又直接揭示这些例子中所蕴含的某一类事物的本质属性,并给出有关数学概念的定义。这样学生对数学概念既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,同时又可提高教学效率,使学生能在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。更重要的是要让学生认识符号,从符号的形式y=f(x)看到函数的本质:两类集合间的对应关系。而重视符号形式f:x→y,x∈D的教学,对函数概念的理解和运用就显得十分重要。数学概念中最多的还是综合符,它的教学也是最重要和最困难的,我们不能把它与其他概念的教学等同起来。综合符的教学一定要注意结合上述各类符号的特点精心设计和合理安排,我们要从它的结构形式和内涵两个方面去分析,从概念的理解、概念符号的表达和思考来把握教学。在符号的运用上对概念深化理解,明确符号的运用价值,熟练掌握符号的运用。综合符的教学更要考虑教学策略,重视数学概念学习形式的选择,重视各种学习方式的有机结合。针对综合符层次多、结构复杂的特点,综合符的教学特别要重视剖析结构的层次,提炼其中所蕴涵的数学的思想和方法,使学生通过这类概念符号的学习,在思想方法和能力素质上得到提升和发展。例2,定积分概念∫baf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)△xi∫abf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)△xi的教学,这个概念的结构形式是特殊类型的极限,初次接触这种符号的人,往往感到抽象难懂。因此,在概念教学中,必须特别重视数学符号的结构形式。具体来说:第一,剖析结构的实际来源。例如,可以由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程这两个问题的解决过程来剖析定积分的结构特征。第二,剖析结构的层次。定积分概念有三个层次:1)分割积分区间,作乘积f(ξi)△xi2)作和式∑i=1nf(ξi)△xi∑i=1nf(ξi)△xi3)令λ→0,求极限limλ→0∑i=1nf(ξi)△xilimλ→0∑i=1nf(ξi)△xi,其中λ=max{△x1,△x2,…△xn}定积分符号的这三个层次结构,反映了定积分概念的形成过程,因此,剖析结构的层次,更好地理解定积分概念是教学的重要内容。第三,对结构进