新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（含解析）

专题15圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.二、解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2．存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0交双曲线于SKIPIF1<0两点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程.(2)若动直线SKIPIF1<0经过双曲线的右焦点SKIPIF1<0,是否存在SKIPIF1<0轴上的定点SKIPIF1<0,使得以线段SKIPIF1<0为直径的圆恒过SKIPIF1<0点？若存在,求实数SKIPIF1<0的值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）SKIPIF1<0两条渐近线的夹角为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0渐近线的斜率SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时,方程SKIPIF1<0无解；综上所述：SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）由题意得：SKIPIF1<0,假设存在定点SKIPIF1<0满足题意,则SKIPIF1<0恒成立；方法一：①当直线SKIPIF1<0斜率存在时,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,整理可得：SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立；②当直线SKIPIF1<0斜率不存在时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0成立；综上所述：存在SKIPIF1<0,使得以线段SKIPIF1<0为直径的圆恒过SKIPIF1<0点.方法二：①当直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0；②当直线SKIPIF1<0斜率不为SKIPIF1<0时,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0成立；综上所述：存在SKIPIF1<0,使得以线段SKIPIF1<0为直径的圆恒过SKIPIF1<0点.【例2】（2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,从①虚轴长为SKIPIF1<0；②离心率为2；③双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线夹角为SKIPIF1<0中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0为坐标原点,记SKIPIF1<0面积分别为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,求直线SKIPIF1<0的方程.（注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.）【解析】（1）若选①②,可知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴C的方程为SKIPIF1<0.若选①③,因为SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴C的方程为SKIPIF1<0.若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0此时无法确定a,b,c（2）SKIPIF1<0,由题意知,直线l斜率不为0,∴设直线SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.∴直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0也是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点,SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0在第一象限的交点,且SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,问是否在SKIPIF1<0轴上存在一点SKIPIF1<0,使得当SKIPIF1<0变动时,总有SKIPIF1<0？说明理由．【解析】（1）SKIPIF1<0也是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且抛物线的准线方程为SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）假设存在SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,由韦达定理有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0恒成立,由SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率存在SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点在直线SKIPIF1<0上,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0整理有SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即有：SKIPIF1<0,要使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的取值无关,当且仅当“SKIPIF1<0“时成立,综上所述存在SKIPIF1<0,使得当SKIPIF1<0变化时,总有SKIPIF1<0．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程SKIPIF1<0,然后根据已知条件确定SKIPIF1<0的关系式,再判断直线是否过定点.【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点,且SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0（不与点SKIPIF1<0重合）两点,若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0,判断直线SKIPIF1<0是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.【解析】（1）由离心率为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为椭圆的上、下顶点,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（2）直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0,证明如下：①当直线SKIPIF1<0的斜率存在时,设SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0),由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,经检验,可满足SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．②当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,此时直线SKIPIF1<0也经过定点SKIPIF1<0综上直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0．(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.【例5】（2022届云南省三校高三联考）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（1）求椭圆E的方程；（2）点SKIPIF1<0是单位圆SKIPIF1<0上的任意一点,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于顶点的三点且满足SKIPIF1<0．探讨SKIPIF1<0是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．【解析】（1）因为点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在椭圆上,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以椭圆方程为SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即y1所以y1即y12+y22=1,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．【例6】（2022届天津市耀华中学高三上学期月考）已知SKIPIF1<0为坐标原点,双曲线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0均过点SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0的两个顶点和SKIPIF1<0的两个焦点为顶点的四边形是面积为SKIPIF1<0的正方形．（1）求SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方程；（2）是否存在直线SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,与SKIPIF1<0只有一个公共点,且SKIPIF1<0？证明你的结论；（3）椭圆SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0,过椭圆SKIPIF1<0右焦点的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,问SKIPIF1<0是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【解析】（1）根据题意：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0的两个顶点和SKIPIF1<0的两个焦点为顶点的四边形是面积为SKIPIF1<0的正方形,边长为SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,代入计算得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（2）假设存在直线方程满足条件,当直线斜率不存在时,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,代入计算得到SKIPIF1<0,验证不成立；当直线斜率存在时,设直线方程为SKIPIF1<0,则y=kx+bx23+y即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,化简得到SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,y=kx+by2−x23=1,故SKIPIF1<0,故x1+x2=−6kb3k2−1x即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化简得到SKIPIF1<0,b2故不存在直线满足条件.（3）焦点坐标为SKIPIF1<0,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,x=my+1x23+y22=1,化简得到直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是定值为SKIPIF1<0.(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.【例7】已知定理：如果二次曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有两个公共点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是坐标原点,则SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0.（1）试根据上述定理,写出直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,坐标原点为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0的充要条件,并求SKIPIF1<0的值；（2）若椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,而且SKIPIF1<0,试判断直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系,并说明理由.【解析】（1）由定理可知SKIPIF1<0的充要条件为：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0,又圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比【例8】设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点,求线段SKIPIF1<0的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线SKIPIF1<0的斜率都存在,并记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时,那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线SKIPIF1<0写出具有类似特性的性质,并加以证明．【解析】（1）点SKIPIF1<0在椭圆C上,且到SKIPIF1<0两点的距离之和等于4,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,椭圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,又K是椭圆上的动点,则有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故线段SKIPIF1<0的中点的轨迹方程为SKIPIF1<0（3）类似特性的性质为：若M、N是双曲线SKIPIF1<0上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线SKIPIF1<0的斜率都存在,并记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时,那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积是与点P位置无关的定值．证明：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.【例9】在①SKIPIF1<0,②SKIPIF1<0,③SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F,点SKIPIF1<0在抛物线C上,且______．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与抛物线C交于A,B两点,求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）解：选择条件①,由抛物线的定义可得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故抛物线C的标准方程为SKIPIF1<0．选择条件②,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为点SKIPIF1<0在抛物线C上,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以抛物线C的标准方程为SKIPIF1<0．选择条件③．当SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．故抛物线C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）解：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由（1）知SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0．因为点F到直线l的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．三、跟踪检测1．（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）已知动圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,且与直线SKIPIF1<0相切,记动圆SKIPIF1<0圆心的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上一点,SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上异于点SKIPIF1<0的两个动点,设直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,请问：直线SKIPIF1<0是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.【解析】（1）设动圆圆心SKIPIF1<0,∵动圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,且与直线SKIPIF1<0相切,∴点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点,直线SKIPIF1<0为准线的抛物线,故其方程为SKIPIF1<0,∴动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0,当直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0中其中一条的斜率不存在,不妨设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,易得SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0,与SKIPIF1<0联立可得SKIPIF1<0,故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的斜率都存在时,故设直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由题意可设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,此时有定点SKIPIF1<0,综上所述,直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<02．（2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中）已知圆O：x2＋y2＝16,点A（6,0）,点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设T（2,0）,过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值；（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．【解析】（1）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0①,因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点,所以SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,代入①式中得SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）（i）因为直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合,所以设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,设曲线SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时等号成立,综上所述,四边形SKIPIF1<0面积的最大值为7.（ii）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立两直线方程得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上.3．（2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中）己知双曲线SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作直线l和曲线C交于A,B两点.(1)求双曲线C的焦点和它的渐近线；(2)若SKIPIF1<0,点A在第一象限,SKIPIF1<0轴,垂足为H,连结SKIPIF1<0,求直线SKIPIF1<0斜率的取值范围；(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E,F两点.问是否存在实数t,使得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.【解析】（1）解：由曲线SKIPIF1<0,可得曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,渐近线方程SKIPIF1<0；（2）解：设SKIPIF1<0,因为双曲线的渐近线为SKIPIF1<0,且点SKIPIF1<0在第一象限,所以SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即直线SKIPIF1<0斜率的取值范围为SKIPIF1<0；（3）解：由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,当一条直线斜率存在另一条直线斜率为0时,不妨取直线SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,当两条直线斜率都存在时,不妨设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0替换成SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0恒成立,综上所述,SKIPIF1<0,因此满足条件的集合为SKIPIF1<0．4．（2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考）设点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的动点,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴垂线,垂足为点SKIPIF1<0,动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不重合）(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0；(2)若过点SKIPIF1<0的动直线与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,定点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,试判断SKIPIF1<0是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【解析】（1）设点P为SKIPIF1<0,动点M为SKIPIF1<0,则Q点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,即点M的轨迹方程为：SKIPIF1<0,（2）设直线AB方程为：SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0

SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,设A点SKIPIF1<0,B点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,求得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值为定值,定值为SKIPIF1<0．5．（2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,过坐标原点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,其中SKIPIF1<0在第一象限,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线,垂足为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0为椭圆的右焦点时,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的延长线与椭圆SKIPIF1<0的交点,试问：SKIPIF1<0是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.【解析】（1）SKIPIF1<0椭圆离心率SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0为椭圆右焦点时,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）由题意可设直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.6．（2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的标准方程．(2)直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）,直线SKIPIF1<0是否恒过点SKIPIF1<0？若是,求出定点SKIPIF1<0的坐标；若不是,请说明理由．【解析】（1）因为点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,所以有SKIPIF1<0,因此抛物线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线方程与抛物线方程联立,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,符合题意,即SKIPIF1<0．综上,直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．7．（2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考）在平面直角坐标系中,SKIPIF1<0为坐标原点,动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的两点的距离之和为SKIPIF1<0．(1)试判断动点SKIPIF1<0的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程SKIPIF1<0．(2)已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在第一象限,SKIPIF1<0为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离,是否存在实数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0取得最大值,若存在,求出SKIPIF1<0和最大值；若不存在,说明理由．【解析】（1）解：由题意知,SKIPIF1<0,所以动点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为焦点的椭圆,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．（2）解：当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在椭圆外,SKIPIF1<0在椭圆内,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外,在直线SKIPIF1<0上的四点满足：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0经过椭圆SKIPIF1<0内的右焦点SKIPIF1<0,所以该方程的判别式SKIPIF1<0恒成立,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时等号成立,所以SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0．8．（2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得SKIPIF1<0为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由．【解析】（1）由离心率为SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,及SKIPIF1<0,又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为SKIPIF1<0,且与直线SKIPIF1<0相切,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0；（2）假设存在,设SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,消SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,要使上式为定值,即与SKIPIF1<0无关,则应SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0为定值,所以在x轴上存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.9．（2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线SKIPIF1<0,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点．（1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：SKIPIF1<0；（2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由．【解析】（1）证明：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故可设直线l的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<