新高考数学二轮复习数列培优专题03 累加法累乘法求数列通项（含解析）

专题03累加法累乘法求数列通项【必备知识点】◆累加法若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变差数列”，求变差数列SKIPIF1<0的通项时，利用恒等式SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累加法.具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0【经典例题1】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，各式作和得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.【经典例题2】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．23【答案】B【解析】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B【经典例题3】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C.【练习1】已知数列{SKIPIF1<0}满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列{SKIPIF1<0}第2022项为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解：由SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，将上式相加得SKIPIF1<0，故选：A.【练习2】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0累加得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【练习3】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0则求SKIPIF1<0___________【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…SKIPIF1<0，将以上99个式子都加起来可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【练习4】数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0个式子相加可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合题意，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.【练习5】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，n为正整数，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【练习6】若数列SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．◆累乘法若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变比数列”，求变比数列SKIPIF1<0的通项时，利用SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0【经典例题1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．n【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故选：D．【经典例题2】若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D【经典例题3】设SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0的正项数列，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则它的通项公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B．【经典例题4】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累乘可得：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0．故选：D﹒【练习1】若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数n为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】A【解析】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以满足条件的最大正整数n为28.故选：A【练习2】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，则数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解：数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所有的项相乘得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【练习3】数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为_____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【练习4】已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，前n项积为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，依次有SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【练习5】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【练习6】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足通项公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，检验SKIPIF1<0时也成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【过关检测】一、单选题1．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将以上式子累加可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时也符合，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A.2．已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，其中SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B3．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．511 B．255 C．256 D．502【答案】D【解析】由题设，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D4．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．504 B．1008 C．2016 D．4032【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D.5．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0

SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故选：A．6．已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列SKIPIF1<0中的项的是（

）A．16 B．128 C．32 D．64【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故选：D．7．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故选：D．二、填空题8．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】63【解析】由题设，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，以上各式相加可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时也满足故答案为：SKIPIF1<010．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2022项的和为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式累加得，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．已知数列SKIPIF1<0的首项为1，前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0___________.【答案】n【解析】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，∴SKIPIF1<0.故答案为：n12．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以上式子相乘得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题14．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.15．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0为等差数列.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.【解析】(1)由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，故对SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.16．（1）已知数列SKIPIF1<0是正项数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】解：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1