《电工基础》课件-第七章非正弦周期电流电路

第7章

非正弦周期电流电路7.1

非正弦周期量及其分解7.2

非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和平均功率7.3

非正弦周期电流电路的计算目的与

要求1.了解常见的非正弦周期曲线及其分解2.掌握非正弦周期量有效值3.会对非正弦周期电路进行分析与计算重点与难点重点：

1.非正弦周期量的有效值2.非正弦周期电路的

分析

计算难点：

非正弦周期电路的分析

计算7.1

非正弦周期量及其分解（一）1、常见的非正弦周期曲线iuuOtOtOt(a)(b)(c)图7.1几种常见的非正弦波7.1

非正弦周期量及其分解（二）2.

设周期函数f(t)的周期为T,角频率ω=2π/T,

则其分解为傅里叶级数为f

(t)

A

A

sin(

t

)

A

sin(

2

t

)

01m12m2

A

sin(k

t

)

kmk

A

A

sin(k

t

)0kmkk

17.1

非正弦周期量及其分解（三）

f

A

(A

sin

cosk

t

A

cos

sink

t)(t)0kmkkmkk

1

a

(a

cosk

t

b

sink

t)0kkk

1a

a

b

,

tan

2k

2kAkkmkbka0

A0a

A

sin

kkmkb

A

cos

kkmk7.1

非正弦周期量及其分解（四）1T212

T2

0a0

ak

bk

f

(t)dt

f

(t)d(

t)01T2

f

(t)

cosk

t

dt

f

(t)sink

t

dt

f

(t)

cosk

t

d(

t)f

(t)sink

t

d(

t)T2

1

00T2

0T0例7.1（一）求图7.2所示矩形波的傅里叶级数。f

(t)UmT2TOt－Um图

7.2

例

7.1图例7.1（二）解

图示周期函数在一个周期内的表达式为Tf

(t)

U

(0

t

)m2Tf

(t)

U

(

t

T)m2根据前述有关知识得12

12

2

a0

ak

bk

Umd(

t)

(

Um

)d(

t)

001

11

1

2

Umcosk

t

d(

t)

(

Um

)cosk

t

d(

t)

00

2Umk

2

Um

sin

k

t

d(

t)

(

Um

)

sin

k

t

d(

t)

(1

cosk

t)

0例7.1（三）4Umk

cosk

1,bk

当k为奇数时,当k为偶数时,cosk

1,bk

0.由此可知该函数的傅里叶级数表达式为4Um11f

(t)

(sin

t

sin

3

t

sin

5

t

)

35表

7.1

几种周期函数（一）名称波形傅里叶级数有效值

平均值f

(t)正弦波Af

(t)

Am

sin

t2AmmAm

20T2T

t4Aa

f

(t)

(sinasin

tmf

(t)1

sin

3asin

3

t)4a3

a91

A

(1

)梯形波

Am

1AmT2m

sin

5asin

5

tT2510

a－aTt2

sinkasink

t

)k2(k为奇数)表

7.1

几种周期函数（二）名称波形傅里叶级数8A有效值

平均值f

(t)

(sin

t

mf

(t)

2AmA11msin

3

t

sin

5

t三角波Am925320T2T

tk

1(

1)2

sink

t2k(k为奇数)

)f

(t)4Am

f

(t)

(sin

t

AAAm矩形波m11msin

3

t

sin

5

t

0T2T

t351

(

k

sink

)t

)为奇数k表

7.1

几种周期函数（三）名称波形傅里叶级数2A

1

有效值

平均值f(t)

m

(

cos

t

2

4f

(t)Acos

4

t11半波整流波

cos

2

t

Amm1

315

73

5cos

6

t

Am

2

T40Ttk

cos2cosk

t

...)k2

1(k

2,4,6...)2A

11

f(t)

m

(

cos

2

tf

(t)

2

1

3A全波整流波2Am13

5

cos

4

t

mAm2

k

cosT40Tt2

cosk

t

...)k2

1(k

2,4,6...)表

7.1

几种周期函数（四）名称波形傅里叶级数有效值

平均值A

Af

(t)

m

m2

f

(t)Am

A1(sin

t

sin

2

tAmm23

20T2Tt1

sin

3

t

...锯齿波31

sink

t

...)k(k

1,2,3...)7.1

非正弦周期量及其分解（五）3.某些非正弦周期函数（1）周期函数为奇函数f(t)

f(

t)a

0,a

00k

f

(t)

b

sink

tkk

1不包括直流分量和余弦项7.1

非正弦周期量及其分解（六）（2）

周期函数为偶函数偶函数的傅里叶级数中bk=0,

所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。f(t)

f(

t)（3）奇谐波函数f

(t)T2TOt图

7.3

奇谐波函数7.1

非正弦周期量及其分解（七）奇谐波函数只包括奇次谐波，不包括直流分量和偶次。

f

(t)

(a

cosk

t

b

sink

t)(k为奇数)kkk

14Um11u(t)

Um

(sin

t

sin

3

t

sin

5

t

...)

357.1

非正弦周期量及其分解（八）u(t)u1(t)u2(t)2UmUmUmTOOT2tt－UOmtTT2(a)(b)(c)图

7.4

波形的分解例7.2试把表7.1中振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。解

电压基波的角频率为2

2

100

rad

/

sT

0.028Um11u(t)

(sin

t

sin

3

t

sin

5

t)

291258

501

(sin

100

t

sin

300

t

sin

500

t)

2925

(40.5

sin

100

t

4.50

sin

300

t

1.62

sin

500

t)V7.2

非正弦周期电流电路中的有效值、

平均值和平均功率7.2.1

有效值（一）1T

I

i2(t)dtT0

i(t)

I

I

sin(k

t

)0kmkk

1

1T

I

[I

I

sin(k

t

)]

dt20kmkT0k

17.2.1

有效值（二）

1T

2

0I

sin

(k

t

)]dt

I2km2

2

I2k[Ik0T0k

1k

11T

2I

I

sin(k

t

)dt0

kmkT01T

2I

(k

t

)I

sin(q

t

)dt

(k

q)kmkqmqT0

...I

I2

I2

I2

I2

I2

...0k01kk

1

U

U2

U2

U2

U2

U2

......0k01kk

17.2.2

平均值（一）1.周期量的平均值：周期量绝对值的平均值1T

I

i(t)

dtavT0i(t)

Im

sin

t

时,其平均值为当12

2

I

Im

sin

td

tav01

2Im

I

sin

t

d

t

m

0

0.637Im

0.898I1T

U

u(t)dtavT07.2.2

平均值（二）2.对周期量,

有时还用波形因数K

、波顶因数K

和畸变fＡ因数Kj来反映其性质:I

K

f

I

K

1I

avj

II

K

m

AI

对上例的正弦量IK

1.11fIavImIKA

2

1.414IK

11jI7.2.3

平均功率（一）1T

P

p(t)dtT0

u(t)

U

U

sin(k

t

)0kmukk

1

u(t)

I

I

sin(k

t

)0kmikk

111TT

0P

p(t)dt

u(t)i(t)dtTT0

1T

[U

U

sin(k

t

)]

[I

I

sin(k

t

)]dt0kmuk0kmikT0k

1k

17.2.3

平均功率（二）1T

P

U

I

dt

U

I00

00

0T01T

P

U

sin(k

t

)I

sin(k

t

)dtkkmukkmikT01

U

I

cos(

)km

kmukik2

Uk

Ik

cos

k

P

P

U

I

cos

0k

kkk

17.2.3

平均功率（三）

Q

U

I

sin

k

kkk

1

S

UI

U02

U2k

I02

I2kk

1k

1等效正弦波替代原来的非正弦波。等效的条件是:

等效正弦量的有效值为非正弦量的有效值，等效正弦量的频率为基波的频率,平均功率不变。P

Pcos

UI

S例7.4（一）已知某电路的电压、

电流分别为u(t)

[10

20(100

t

30

)

8

sin(300

t

30

)]Vi(t)

[3

6

sin(100

t

30

)

2

sin

500

t)]V求该电路的平均功率、

无功功率和视在功率。例7.4（二）解

平均功率为20

6P

[10

3

cos(

60

)]

6

0W2

2无功功率为20

6Q

[

sin(

60

)]

52

var2

2视在功率为2220

8

6

2

S

UI

10

(

)2

2

2

3

(

)2

2

2

98.1VA2

2

7.3

非正弦周期电流电路的计算1、

其分析电路的一般步骤如下:(1)将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数,

并根据计算精度要求,取有限项高次谐波。(2)分别计算各次谐波单独作用下电路的响应,

计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量,

电感元件等于短路,

电容元件等于开路。对各次谐波,电路成为正弦交流电路。(3)应用叠加原理,

将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。例7.5（一）图7.5(a)所示电路中,u(t)

10

100

2

sin

t

50

2

sin(3

t

30

)V,

L

2

,1/

C

15

,R

5

,R

10

,并且已知12求各支路电流及R1支路吸收的平均功率。例7.5（二）iI(0)I1(0)i1i2I2(0)＋－R1R2＋－R2u(t)U0R1CL(a)(b)i(1)i(3)i1(1)i2(1)i1(3)i2(3)＋－R1R2＋－R1R2u1(t)u3(t)CCLL图

7.5

例

7.5图(c)(d)例7.5（三）解：

(1)在直流分量Ｕ0=10V单独作用下的等效电路如图7.5(b)所示,这时电感相当于短路,而电容相当于开路。各支路电流分别为U

10I

2A01(0)R

51I

02(0)I

I

2A(0)1(0)例7.5（四）u

(t)

100

2

sin

tV(2)在基波分量效电路如图7.5(c)所示,用相量法计算如下:单独作用下,

等1

U

100

0

V1

100

0

U1I

18.6

21.8

A

5.55

56.3

A1(1)R

j

L

5

j21

100

0

U1I

1(1)R

j

L

10

j151

I

I

I

(18.6

21.8

5.55

56.3

)

20.5

6.38

A1(1)1(1)2(1)例7.5（五）u

50

2

sin(3

t

30

)V(3)在三次谐波分量单独作用,3XL(3)

3

L

6

下,

等效电路如图7.5(d)所示。此时,

感抗13

C

容抗。X

5

C(3)

U

50

30

V1

50

30

5

j6

U3I

6.4

20.19

A

4.47

56.57

A1(

3)R1

jXL(3)

50

30

10

j5

U3I

2(3)R2

jXC(3)

I

I

I

8.62

10.17

A(3)1(

3)2(3)例7.5（六）i(t)

I

i

i(0)(1)(3)

[2

20.5

2

sin(

t

6.38

)

8.62

2

sin(3

t

10.17

)]Ai

(t)

I

i

i11(0)1(1)1(

3)

[2

18.6

2

sin(

t

21.8

)

6.4

2

sin(3

t

20.19

)]Ai

(t)

I

i

i22(0)2(1)2(3)

[5.55

2

sin(

t

56.3

)

4.47

2

sin(3

t

56.57

)]A例7.5（七）

2

2

2

I

2

20.5

8.62

22.26A

2

2

2

I

2

18.6

6.4

19.72A1

2

2

I

5.55

4.47

7.12A3P

I

U

I

U

cos

I

U

cos

11(0)

01(1)

111(

3)

33

2

10

18.6

100

cos(

21.8

)

6.4

50

cos

50.19

20

1727

204.8

1951.8W例

7.6（一）图7.6所示电路中,us

(10

50

2

sin

t

30

2

sin

3

t)V,已知

R=10Ω,

ωL=30Ω,ωL1=10Ω,1/ωC=90Ω。试求

i(t)、i1(t)、u(t)。RLi＋＋ui1us(t)CL1－－图

7.6

例

7.6图例

7.6（二）U0

0I

I

so

1A解

(1)对直流分量(2)在基波作用下U

10R

1001(0)

U

50

0

Vs11j

L(

j

)1

CZ1

R

j

L

1j

L1

j

C10

90j10

j90

10

j30

10

j30

j11

.25

42.44

76.37

例

7.6（三）

50

0

Us1I

1.178

76.37

A(1)Z1

42.44

7