2023-2024学年山东省潍坊市昌乐县、青州市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊市昌乐县、青州市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）要使分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣23．（4分）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，则CD等于（）​A．3 B．4 C．1.5 D．24．（4分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（4分）如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，无法判定△ABC≌△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD6．（4分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，凉亭的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC的三条中线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点7．（4分）如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中（m，2），其关于y轴对称的点F的坐标为（3，n），则的值为（）A．﹣1 B． C． D．8．（4分）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，其中，AB＝2BC＝10米，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，则根据题意列方程为（）A．＝10 B．＝10 C．＝10 D．＝10二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）（多选）9．（5分）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．10．（5分）已知，则下列各式成立的是（）A． B． C． D．11．（5分）如图，在△ABC中，若∠BAC＝80°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（）A．∠BAQ＝40° B．BE＝CE C．AD＝BD D．∠EQF＝20°（多选）12．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论正确的是（）A．∠BAD＝∠C B．AE＝AF C．∠EBC＝∠C D．GF＝GE三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）13．（5分）化简：＝．14．（5分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，则∠EDF的度数为．15．（5分）已知关于x的方程有增根，则m的值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，5），点B（1，1）（7，1），已知点P为y轴上一个动点，当PA+PB的值最小时．四、解答题（本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）；（2）；（3）．18．先化简，后求值：，然后在0，1，代入求值．19．解方程：（1）＝         （2）﹣＝1．20．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．（1）求人工每人每小时分拣多少件？（2）若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要安排台这样的分拣机．21．（12分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．22．（13分）如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，则OC平分∠AOA′．（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度数；（2）若点D在线段BE上，角顶点B沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．23．（12分）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线．​（1）【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝DE．请证明：△ACD≌△EBD．（2）【思路探究】如图②，已知线段b，c，m，求作：△ABC，AB＝c，BC边上的中线AD＝m．请完善以下作图思路①已知共顶点两边AC，AB，要想作出△ABC，则可以根据作出符合条件的△ABC；若知道BC，则可以根据作出符合条件的△ABC；但目前只知道中线AD，所以不能直接作出△ABC．②根据第（1）题获得思路，可以作出边为b，c，然后依据作出△ABE．③在AE上截取m得AE的中点D，连接BD并延长至点C，使得，可得△ABC．（3）【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接在图③中作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法），作法正确也可以．作等腰△ABC，满足腰AB＝e，底边BC上的高AD＝f．2023-2024学年山东省潍坊市昌乐县、青州市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（4分）要使分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2【分析】分式有意义，分母不等于零．解：依题意得：x﹣2≠0，解得x≠8．故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3．（4分）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，则CD等于（）​A．3 B．4 C．1.5 D．2【分析】OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，CD∥OB，∠C＝∠BOC，∠C＝∠AOC，CD＝OD．解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵CD∥OB，∴∠C＝∠BOC，∴∠C＝∠AOC，∴CD＝OD＝3，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是对性质的熟练掌握．4．（4分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE就是∠PRQ的平分线，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．5．（4分）如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，无法判定△ABC≌△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．解：A、添加∠B＝∠D，故选项A不合题意；B、添加BC＝DE，故选项B不合题意；C、添加∠1＝∠2，故选项C不合题意；D、添加AB＝AD，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．6．（4分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，凉亭的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC的三条中线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是△ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点评】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．7．（4分）如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中（m，2），其关于y轴对称的点F的坐标为（3，n），则的值为（）A．﹣1 B． C． D．【分析】利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．解：∵E（m，2），n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝5，∴．故选：B．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．8．（4分）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，其中，AB＝2BC＝10米，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，则根据题意列方程为（）A．＝10 B．＝10 C．＝10 D．＝10【分析】由通过BC的速度是通过AB的1.3倍可得出小刚通过BC的速度为1.3x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小刚共用时10秒通过AC，即可得出关于x的分式方程，此题得解．解：∵AB＝2BC＝10米，∴BC＝5米．∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的2.3倍，∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．又∵小刚共用时10秒通过AC，∴+＝10．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）（多选）9．（5分）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断．解：A．原式是最简分式；B．原式＝；C．原式是最简分式；D．原式是最简分式．故选：ACD．【点评】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义．10．（5分）已知，则下列各式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解．解：由可得，A、∵，∴当a，c为0时，＝，故不符合题意；B、∵＝，∴ad+bd＝bc﹣bd，∴ad＝bc﹣2bd，故不符合题意；C、∵＝，∴ab+bc＝ab+ad，∴bc＝ad，故符合题意；D、∵＝，∴ad﹣a﹣d+1＝bc﹣b﹣c+1，∴ad﹣a﹣d＝bc﹣b﹣c，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．11．（5分）如图，在△ABC中，若∠BAC＝80°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（）A．∠BAQ＝40° B．BE＝CE C．AD＝BD D．∠EQF＝20°【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．解：由作图可知，AQ平分∠BAC，∴；故选项A正确；由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，故选项B正确；由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴∠DEB＝90°，∵∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，∴∠B＝30°，∴∠EFQ＝∠B+∠BAQ＝30°+40°＝70°，∴∠EQF＝20°，故选项D正确．现有条件不能证出AD＝BD，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．（多选）12．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论正确的是（）A．∠BAD＝∠C B．AE＝AF C．∠EBC＝∠C D．GF＝GE【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE，即可得出AE＝AF；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF，根据垂直平分线的性质即可得出GF＝GE．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故A符合题意；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，故B符合题意；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故C不符合题意；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AFE为等腰三角形，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，∴AG是EF的垂直平分线，∴GF＝GE，故D符合题意；综上所述，正确的结论是ABD．故选：ABD．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、同角的余角相等的性质、等角的余角相等的性质、垂直平分线的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）13．（5分）化简：＝．【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再将公因式约去即可．解：原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的约分的方法．14．（5分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，则∠EDF的度数为18°．【分析】设∠EDF＝α，由折叠的性质得：∠EDF＝∠ADG＝α，∠BDC＝∠BDE，再根据角平分线的定义得∠ADG＝∠BDG＝α，进而得∠ADB＝2α，∠BDE＝∠BDC＝3α，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝5α＝90°，由此解得α即可．解：设∠EDF＝α，由折叠的性质得：∠EDF＝∠ADG＝α，∠BDC＝∠BDE，∵DG平分∠ADB，∴∠ADG＝∠BDG＝α，∴∠ADB＝∠ADG+∠BDG＝2α，∠BDE＝∠EDF+∠ADG+∠BDG＝3α，∴∠BDC＝∠BDE＝6α，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝2α+3α＝8α，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∴5α＝90°，解得：α＝18°，即∠EDF＝18°．故答案为：18°．【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，矩形的性质是解决问题的关键．15．（5分）已知关于x的方程有增根，则m的值为﹣2．【分析】先解分式方程可得x＝4+m，再由题意可知x＝2，即可求m的值．解：，2＝x﹣7﹣m，∴x＝4+m，∵方程有增根，∴x＝2，∴8＝4+m，∴m＝﹣2．故答案为：﹣3．【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的含义是解题的关键．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，5），点B（1，1）（7，1），已知点P为y轴上一个动点，当PA+PB的值最小时（0，2）．【分析】作点A关于y轴的对称点D，连接DB交y轴于P，则此时PA+PB的值最小，连接AD与y轴交于F，根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．解：作点A关于y轴的对称点D，连接DB交y轴于P，连接AD与y轴交于F，∵点A（3，5），∴D（﹣3，5），∵点B（1，8），∴格点E的坐标为（1，5），∴BE＝DE＝3，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴△DPF是等腰直角三角形，∴DF＝PF＝3，∴P（0，6）．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根据分式的乘法法则计算即可；（2）先把分子与分母因式分解，再约分即可得到结果；（3）先将括号内的分式通分，并根据分式的加法运算法则计算，再计算除法即可得到结果．解：（1）＝﹣；（2）＝•＝；（3）＝÷（﹣）＝÷＝•＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．18．先化简，后求值：，然后在0，1，代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的x的值代入计算即可．解：原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝，∵x﹣1≠8且x﹣2≠0，∴x≠6且x≠2，∴x＝0，则原式＝8．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．解方程：（1）＝         （2）﹣＝1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；  （2）去分母得：x2+2x+7﹣4＝x2﹣7，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，则原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．（1）求人工每人每小时分拣多少件？（2）若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要安排台这样的分拣机．【分析】（1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，根据题意得，，进行计算并检验，即可得；（2）设需要安排y台分拣机，则16×20×60y≥100000，进行计算得，根据y为正整数得y的最小值为6，即可得．解：（1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，根据题意得，，30000﹣6000＝400x，x＝60，检验：当x＝60时，100x≠5，∴x＝60是方程的解，且符合题意，答：人工每人每小时分拣60件．（2）设需要安排y台分拣机，则16×20×60y≥100000，19200y≥100000，，∵y为正整数，∴y的最小值为6，答：至少需要安排6台这样的分拣机．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．21．（12分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．【分析】（1）根据“AAS”证明△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，然后根据角平分线的判定得出结论；（2）证明△AED≌△AFD（AAS），可得AE＝AF，由（1）中△BDE≌△CDF可知BE＝CF，然后根据线段的和差得出结论．【解答】（1）证明：∵∠C+∠ABD＝180°，∠EBD+∠ABD＝180°，∴∠C＝∠EBD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC＝2AE，理由：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠AFD＝90°，在△AED与△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AF＝2AE．【点评】本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．22．（13分）如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，则OC平分∠AOA′．（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度数；（2）若点D在线段BE上，角顶点B沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；（2）①根据折叠的性质、平角的定义计算；②分图3、图4两种情况，根据平角的定义计算即可．解：（1）∵OC平分∠AOA′，∠AOC＝25°，∴∠A'OA＝2∠AOC＝50°，∴∠A'OB＝180°﹣∠A'OA＝180°﹣50°＝130°；（2）①由折叠的性质可知，∠COA′＝，∠DOB′＝，∵∠AOA′+∠BOA′＝180°，∴∠COD＝∠COA′+∠DOB′＝90°；②如图5，∵∠A'OB'＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′＝180°﹣40°＝140°，∵∠COA＝∠AOA′∠BOA′，∴∠AOC+∠BOD＝×14