2021届广东省佛山市五校联盟高考数学模拟试卷(5月份)附答案解析

2021届广东省佛山市五校联盟高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.若集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5）,B={3,4,5},则图中阴影部分表示的

集合的子集个数为（）

A.3

B.4

C.7

D.8

2.已知i为虚数单位，复数z=a+bi（a,b6R）的虚部b记作/m（z）,则（右）=（）

11

A.B.-1C.1D.1

3.甲从正方体的8个顶点中任选四个共面的点，乙也从正方体的8个顶点中任选四个共面的点，则

甲、乙所选的四个共面的点所在平面相互垂直的概率为（）

A.B.；C.ID.1

8488

4.空间四边形4BCD的各边及对角线均相等，E是边BC的中点，那么（）

AE-BC<AE-CD

B.AE-EC=AE-CD

C.~AEBC>AECD

D.AE-BC^AE■而不能比较大小

5.定义在（一11）上的函数是奇函数，且在（一1,1）上是减函数，则满足

/（j）+/（1/）<0的实数a的取值范围是（）

A.[0,l]B.（-2,1）C.[-2,l]D,（0,1）

6.己,知sin舄兀.）=|.则sin（Q+a）=（）

A.B.iC.JD.1

3939

7.已知直线，与双曲线?-?=1交于4、8两点，且弦4B的中点为M（3,|）,则直线I的方程为（）

A.2%—3y—6=0B.3%-2y-6=0

C.6%—4y—6=0D.4%—6y—3=0

8.若直线1：器+急=1经过第一象限内的点则ab的最大值为（）

7

A.-OB.4-2^2C.5-2V3D.6-372

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个

班级io次成绩y（单位：分）的折线图：

—班级甲平均成绩

班级乙平均成绩

根据折线图（）

A.甲班的成绩分数呈上升趋势

B.甲班乙班的成绩分数平均值均为7

C.甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差

D.从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量

10.下列说法正确的是（）

A.“若/=1,则％=1”的否命题为“若/=1,则%。1”

2

B.^3%0>0,x1-2x0-l>0"的否定为"Vx<0,X-2X-1<0”

C.“若X>1,则/>1”的逆否命题为真命题

D.ux=-r是一5%-6=0”的充分不必要条件

11.已知圆Ci：（x-3）2+（y-4）2=25与圆C2：（x—1产+（y-2产=丁2&>°）相内切,则「等于

（）

A.5+2V2B.-5+2V2C.5-2夜D.-5-2>/2

12.我国古代《九章算术少中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童.如图刍童

ABCD-EFGH有外接球，且=5,AD=^7,EF=4,EH=2,平面4BCD与平面EFGH的

距离为1,则下列说法中正确的有（）

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中4C、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B-4。一”的余弦值为更

5

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数f(x)的定义域为部分对应值如表，的导函

数y=/'(x)的图象如图所示.

X-1045

/(X)1221

下列关于函数/(x)的命题：

(1)函数“X)的极大值点为0,4；

(2)函数/Xx)在［0,2］上是减函数；

(3)如果当x6［—1,口时，/(x)的最大值是2,那么t的最大值为4；

(4)当l<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;

(5)函数y=/(x)—a的零点个数可能是0,1,2,4.

其中正确命题的序号是.(请将所有正确命题的序号填在横线上)

14.已知曲线/(%)=/+am。+1)在原点处的切线方程为丫=-%,则.=

15.一个扇形的中心角为2弧度，半径为1,则其面积为.

16.在四棱锥P-ABCD中，标=(4,一2,3)，初=(一4,1,0)，而(一6,2,-8)，则该四棱锥的高为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知等比数列｛即｝的前n项和为无,且的=1.若,

给出条件：①Sn=g+zn,(me/?)；②%=gcin+i+m(m€R),

请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.(注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一

个解答计分)

(1)求m的值及数列｛&J的通项公式;

(2)设b"=(a.+】)(；…+i)，求数列出"的前n项和Tn•

18.已知△4BC中，三个内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若小ABC的外接圆的半径为鱼，S.asinA-

csinC=(a—b)sinB.

(d)求“；

(2)求4ABC的面积S的最大值.

19.如图，在四棱锥中渊［感Im中，底面小黑为菱形，必激独=毓那，鬻为W疆的中点.

(1)若.蹈=出，求证：平面，拶蟒，平面,翻越；

(2)若平面B缄：11平面魂嗓，且,蹈=,蹈=融=露点麟在线段蜴上，且,逆=酗鲜，求

三棱锥岁-癖蟒的体积.

20.为进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的4县推进光伏发电项目.在该县山区居民

中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.

用电量(度)(0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

户数51510155

(/)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望

和方差；

(〃)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装年发电量为300000度的发电机组,

该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购.试估计该机

组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？(同一组中的用电量数据

用该组区间的中点值作代表)

21.如图，已知椭圆M：q+[=l(a>b>0),其离心率为立，两条准线之间的距离为陋.8,C分

Q2b2\/23

别为椭圆M的上、下顶点，过点r(t,2)(t羊0)的直线78,7C分别与椭圆M交于E,尸两点.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)若47BC的面积是^TE尸的面积的k倍，求k的最大值.

22.已知函数/'(X)=x2In(ax)(a>0)

(l)a=e时,求在x=1处的切线方程;

(2)若r(x)</对任意的X>0恒成立，求实数a的取值范围；

4

(3)当a=1时，设函数9(%)=午，若Xi，%2e+%2<1，求证：xxx2<(%!+x2)-

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

先求出4nB={3,5},再求出图中阴影部分表示的集合为：CuQ4nB）={1,2,4},由此能求出图中阴

影部分表示的集合的子集的个数.

本题考查集合的子集的个数的求法，考查交集定义、补集、Venn图等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

解：•••集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={3,4,5},

••AC\B={3,5},

图中阴影部分表示的集合为：Cu（anB）={1,2,4},

・・•图中阴影部分表示的集合的子集有：23=8.

故选：D.

2.答案：A

解析：解：.••白=岛热=»丸

,11/mO=

故选：A.

利用复数的运算的法则、虚部的定义即可得出.

本题考查了复数的运算的法则、虚部的定义，属于基础题.

3.答案：C

解析：解：正方体的8个顶点中任选四个共面的点：侧面6个、对棱面6个，一共12个，

对于每个侧面都会有4个侧面、2个对棱面与之相垂直，一共6个，对于每个对棱面则有2个侧面、1个

对棱面与之相垂直，一共3个，

则所包含的总事件数正方体的8个顶点任选四个共面的点可以确定12个面，甲乙各自任选一个面共有

144个基本事件，

甲、乙所选的四个共面的点所在平面相互垂直个基本事件有6x6+6x3=54个，

所以概率「=言=今

1448

故选C.

所包含的总事件数正方体的8个顶点任选四个共面的点可以确定12个面，甲乙各自任选一个面共有

144个基本事件，甲、乙所选的四个共面的点所在平面相互垂直个基本事件有6x6+6x3=54个，

根据古典概型公式得到结果.

对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本

事件数，进而利用概率公式求概率.

4.答案：C

解析：解：四边形4BCD的各边及对角线均相等，且设为a,

E是边BC的中点，

即有ZEJLBC,即荏.睨=0,

取BD的中点F,连接4F,EF,

可得4F=4E=苧a，EF^a,

A£2+E户2-4/2

由余弦定理可得,COSZ.AEF=

2AEEF

-a2+-a2--a273

=444_

-2x(a2-T

则荏.而=\AE\-\CD\-=ya-a-(-^)

=--a2<0,

4

故选C.

四边形4BCD的各边及对角线均相等，且设为a,运用等边三角形的性质，可得荏.赳=0,取BC的

中点F,连接/F,EF,由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得荏・方=-：。2<（）,即可得

4

到结论.

本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基

础题.

5.答案：D

解析：试题分析：因为，定义在卜工1g上的函数踊前是奇函数，并且在卜工制上踊碱是减函数,

所以，箕-礴=-翼礴，,磔一礴t/fi-演％颜可化为防礴V典#一怎,

-2«：j-E

故有2解得,®<«f<1,故选。。

R一0釉:

考点：函数的奇偶性、单调性，简单不等式组的解法。

点评：中档题，涉及抽象不等式解法问题，往往利用函数的奇偶性、单调性，将抽象问题转化成具

体不等式组求解，要注意函数的定义域。

6.答案：B

解析：解：sin(£7T-])=5

•••sin(Q+a)=cos碎一或zr+a)]=cos2(Q=1-2sin2(^n-^)=1-2x(|)2=

故选：B.

利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解.

本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化筒求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

7.答案：B

解析:解：设A01，%),8(%2，%)，

则+%2=6,%+丫2=3,

我—琏=1,我—理=1,

4343

（必一乃）（乃+乃）

两式相减，得gF）（x，+Xz）=0,

43

即有|。1一%2）=%-丫2，

可得直线1的斜率为卜=件=5，

X1-X2N

即有直线/的方程为y-1=|（x-3）,

化简得3x—2y—6=0.

故选：B.

设4Qi，乃），B（x2,y2）,运用中点坐标公式和双曲线方程，由点差法可得直线的斜率，由点斜式方程

可得所求直线方程.

本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，考查化简整理的运

算能力，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：直线I:箴+看=1经过第一象限内的点P（3》,

21

则a,b>0,1.

a(2b+a)b(a+b)

・',ab=ab(^^+^p=,+R=^^+^

aa

令”t>0,g(t)=亳+&，(t>0).

...o，(t)=二__________?_=-2(t+9(T.

»I'(l+2t)2(1+t)2(l+t)2(l+2t)2

可得t=¥时，g(t)取得极大值即最大值，g(¥)=4-2&.

故选:B.

直线'：急+急=1经过第一象限内的点P*，》，可得.，匕>°，3+就旷Lab=

2b

a叱品+,)=7^+3•令T=t>°，"⑹二急+2，«>°)•利用导数已经函数的单调

aa

性极值最值即可得出.

本题考查了直线方程、换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值式，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

9.答案：ABCD

解析：解：对于4由频率分布折线图知，甲班的成绩分数呈上升趋势，A正确；

对于B,计算甲班成绩平均值为焉=^X(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7,

乙班成绩平均值为生=^x(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7,平均数相等，8正确；

对于C,根据甲班成绩数据比乙班成绩数据波动性更大些，所以甲班方差比乙班方差大些，C正确;

对于D,由频率分布折线图知，从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数增量，。正确.

故选：ABCD.

由频率分布折线图，判断甲班的成绩分数呈上升趋势，计算甲、乙两班成绩平均值，估计它们的方

差大小，判断成绩分数增量情况.

本题考查了利用频率分布折线图判断两组数据的变化情况应用问题，是基础题.

10.答案：CD

解析：解：“若/=1,则x=l”的否命题为“若/片1,则，所以4不正确；

2

"3x0>0,x^-2x0-l>0”的否定为“Vx<0,x-2x-l<0^^,不满足命题的否定形式，

所以B不正确；

“若x>l,则/>1”的逆否命题为/4I则xsi,因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命

题.所以C正确；

tlx=-r推出“尤2-5X一6=0"，反之不成立，所以“无=一1”是“--5x—6=0”的充分

不必要条件，所以。正确；

故选：CD.

利用四中命题的逆否关系判断4C；命题的否定判断B；充要条件判断D.

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及四中命题的逆否关系，以及充要条件、命题的否定的判断，

是基础题.

11.答案：AC

解析:解：•••圆G：(x-3)2+0-4)2=25的圆心坐标为(3,4),半径为5；

圆C2：(x—1产+(y—2>=N(r>0)的圆心坐标为Q2),半径为r.

IGC2I=J(3-1)2+(4—2尸=2V2.

当圆Ci内切于圆C2时，r-5=2或，得r=5+2&;

当圆C2内切于圆G时，5—r=2V2,得r=5—2夜.

故答案为：5+2夜或5-2夜.

故选：AC.

由两点间的距离公式求出IC1C2I，然后分圆Cl内切于圆和圆C2内切于圆G两种情况列式求解r值.

本题考查圆与圆位置关系的判定及其应用，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题.

12.答案：AD

解析：解：根据题意，结合棱台的性质可知，累=喘，

ADAB

而根据题中数据可知，累=急喘=三显然地二者不等，故B错误；

AD77AB5

若AC,EG在一个平面内，则有4C〃EG,则有累=喘，由上可知，C错误；

AUAD

根据题意，作图如下：

设球心为。，上下底面的中心。2,。1，则在A。4。1中，0A2=AOl+001，即R2=(2V2)2+。。苫①;

在AOEOz中，0E2=E0/+(00I+1)2,即R?=(而)2+(0。［十］)2②；

由①②可得，。。1=1,

从而可得R=3,则体积即为/=：兀/?3=36兀，故A正确；

过点F作FM平面ABC。，FN1BC,连接MN,贝此FNM为二面角的平面角，

根据题意可知，FM=1,MN=：,FN=—,

22

所以COSNFNM="=匹，故。正确.

FN5

故选：AD.

首先根据棱台的几何特征判定B,C的正确与否；其次根据上一步的判定结果，作出图形，设球心为

0,然后根据勾股定理确定半径的值，从而求得体积；最后在图形中作出二面角的平面角，用几何

法进行求解

本题考查棱台的几何特征，以及空间几何体的外接球体积的求解，和二面角的几何法求解，属于中

档题.

13.答案：(1),(2),(5).

解析：解：f(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，

对于(1),函数f(x)的极大值点为0,4,故(1)正确.

对于(2),函数/(x)在［0,2］上导数为负值，故函数/(x)为减函数，故(2)正确；

对于(3),由表中的数据，可得，当x=0或x=4时，函数取得最大值2,若f(x)的最大

值为2,那么0WtW5,故(3)错误；

对于(4),由/■(>)=a可知；由于极小值/(2)未知，所以无法判定函数y=/(%)-a有几个零点，故(4)

错误；

对于(5),函数/(%)在定义域［-1,5］上共有两个单调递增区间，两个单调递减区间，

故函数y=f(x)—a的零点个数可能是0,1,2,4,故(5)正确.

故正确命题的序号为：(1),(2),(5).

故答案为：(1),(2),(5).

直接利用函数的导数的图象和函数的图象的关系，函数的导数和单调性的关系，函数的零点与函数

的图象的关系判断(1)(2)(3)(4)(5)的结论.

本题考查的知识要点：函数的导数的图象和函数的图象的关系，函数的导数和单调性的关系，函数

的零点与函数的图象的关系，主要考查学生数形结合思想的运用的程度，属于中档题.

14.答案：一1

解析：解:/(%)=*2+aln(x+1)的导数为/'(x)=2x+六，

即有在原点处的切线斜率为a,

由切线的方程为、=-x,

可得a——1.

故答案为：一1.

求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=-l.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键.

15.答案：1

解析：解：••・扇形的中心角为2弧度，半径为1,

.•.S=|/r=|x2xlxl=l,

故答案为L

直接利用扇形的面积计算公式，即可求解.

熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键.

16.答案：2

解析：解：四棱锥P-ABCC中，丽=(4,-2,3)，AD=(-4,1,0)，AP(-6,2,-8).

设平面的法向量为元=(x,y,z),

则尸巫=0,

场•4D=0

HT4S(4X-2y+3z=0

明界_4x+y=0'

不妨令x=3,则y=12,z=4,

可得元=(3,12,4)；

则而=(-6,2,-8)在平面4BCD上的射影就是这个四棱锥的高九,

所以h=|布||cos＜布，五＞|=|鬻|=巴若阻=2；

所以该四棱锥的高为2.

故答案为：2.

求出平面ABCD的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可.

本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力.

17.答案：解：(1)等比数列｛即｝的前n项和为%,且%=1,

若选①：由于%=弓+瓶，

,,on-1

当九22时，Sn_i———Fzrif

n-1

所以即=Sn—S九_]=3,

n=1时，%=1也满足上式，

当九=1时，%=Si=5+巾，

解得：m=—|,故册=3几一1.

若选②：Sn=|an+1+m,(mER),且为=1.

当n22时，Sn_x=jan4-m,

所以an=Sn-5n_t=1an+i-|an»

整理得Qn+i=3an,

当ri=1时，％=半+m,则与=2—2m,

因为｛即｝为等比数列，所以。2=3%，即2—2M=3,

解得血=一：，故a几=3吁1.

(2)由⑴得：%=(.+】)；'+】)

n

_3T_1(1_________」、

一(3n-1+l)(3n+l)-2^3n-1+l3n+1)'

故Tn=瓦+⑦+…+匕乳

1A1,11,,11、3n-l

2V244103n-1+l3n+1，4(3n+l)*

解析：本题考查数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于中档题.

(1)直接利用已知的递推关系式求出数列的通项公式；

(2)进一步利用裂项相消法求出数列的和.

18.答案:

解：（1）已知等式asinA-csinC=（a-b）sinB，利用正弦定理化简得：a2-c^=ab-b2，

a^+bz-c^=ab，

・c-1

••cosCr=-------------=—，

2ab2

・・・c为三角形内角，

(2)VsinC=sin^=^->——=?_=2R>即a=2RsinA，b=2RsinB，

32sim4sinB

9jr，冗

VA+B=-C=y-»即B二子-A，

代入上式得：S=-1-absinC=2jysinAsinB=2jysinAsin(^^-A)

=2JYsinA(^~cosA+^-sinA)(^-sin2A-yCos2A+y)in(2A-^)+芋冲+4半,

则当2A-1=g,即A=^•时'Smax=

6232

解析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC,将得出的关系式代

入求出cosC的值，即可确定出C的度数:

（2）由C的度数求出sinC的值，利用正弦定理表示出a与b,再利用三角形面积公式表示出S,将a,b,

sinC代入，用4表示出B,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦

函数的值域即可确定出S的最大值.

19.答案：⑴证明见解析；⑵还一必前=|

解析：试题分析：（1）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，

找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转

化思想方法是解决这类题的关键；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面

面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个

平面.解题时.，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底

面，这样体积容易计算.

试题解析：（1）",避创=,翘，弱为屈的中点，；“牌‘£融，又"底面总飘题为菱形,

通避融=殿肥，瞬L施，又，髅"*践=艘二码，平面£僻，又

平面黑翻!，二平面，够±,平面照翻!

(2)1-平面，麒殿1.平面搦嗓，平面B颊c平面魂耀艘=宜嬲，，髅1.融

：“髅11平面盘磁，激:二平面盘凝，：.，期1•布，又解1,践，津”、鳞3=豫，二.翦1

平面,球;，又,座=鹫畿：，

考点：1、平面与平面垂直的判断；2、求几何体的体积.

20.答案：解：(/)记在该县山区居民中随机抽取一户，其年用电量不超过600度记为事件4由抽样

可知：P(4)=|，

由己知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的记为X服从二项分布即

X〜B(10,|).

故EX=10xg=6.

DX=10x|x(1-|)=y.

(〃)设该县山区居民户年平均用电量1，由抽样可知，EK=100x^4-300xg+500x^+700x

总+900x^=500(度).

则该自然村年均用电约为:300x500=150000度,

又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，

故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，

能为该村创造直接收入为：150000x0.8=120000元.

解析：(/)记在该县山区居民中随机抽取一户，其年用电量不超过600度记为事件4由抽样可知：

P(4)=|,由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的记为X服从

二项分布即X〜B(10,|).即可得出EX,DX.

(〃)设该县山区居民户年平均用电量EY,由抽样可知，EY,进而得出答案.

本题考查了平均数的计算、二项分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

21.答案：解：⑴由题意得e=；=苧，手=竽，

解得a=2,c=V3-b=1,

则椭圆方程为9+y2=i；

(2)由B(O,1),C(O,-1),T(t,2),

则直线7B：y="+l,代入椭圆方程可得，(1+劫/+3=0,

解得益=潦，

直线TC：y=|x-l,代入椭圆方程可得号=磊，

S，niC-TBTC-sinZBTCTD.TC

人S^TEF〔TTTIT•/ATE"TETF

t)TE-1F-sinZ.ETF

XT_XBXT_Xctt

~XT-XEXT-XF~,8t___24t

+4+t236+t2

_(严+4)(产+36)

―«2+12)«2+12)，

令t2+i2=m>12,则k=--肛等24)=1+小_膏子3

mm43

当且仅当m=24,即t=±2旧时，取得“=”，

所以k的最大值为:

解析：本题考查椭圆的方程和性质，主要考