解三角形基础大题20道

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页解三角形基础大题20道一、解答题1．在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．2．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.

（1）求内角B的大小;（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状．4．中，角的对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.5．已知．（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；（2）在中，分别是角所对的边，，是的面积，，比较与的大小．6．的内角，，的对边分别为，，，且满足：.（1）求；（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.7．在中，已知.（1）求角；（2）若，，求.8．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．9．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.10．若的面积为,，且为锐角.(1)求的值；(2)求的值.11．中，角的对边长分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.12．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D监控河流南岸相距150米的A、B两处（A在B的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为.A，B，C，D视为在同一个平面上，记的面积为S，.（1）求的长度；（2）试用表示S，并求S的最大值.13．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．14．在中，，，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．15．设中，，内角、、对应的对边长分别为、、.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值，并求出取得最大值时的值.16．△ABC三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA＝acosC．（1）求角C的大小；（2）若b，c，求a.17．在中，角，，的对边分别为，，．若，，．（1）求c的长；（2）求的值．18．在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，.（1）求的值；（2）若，，求的值．19．已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A；（2）若，的面积为，求b，c．20．已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.答案第=page11页，总=sectionpages22页答案第=page11页，总=sectionpages22页参考答案1．（1）；（2）．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA≠0，所以，所以tanB，因为0＜B＜π，所以，（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，所以．【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题2．（1），（2）f(x)的最大值为2，此时【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC中，AB=AC=2，BC=2.所以，因为，所以，（2）由（1）可知，所以当时，取最大值2，即【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题3．（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状．【详解】（Ⅰ）∵，整理得，∴，∴．（Ⅱ）由正弦定理，得，而，∴，即，∴，∴，∴为等边三角形．【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.4．（1）；（2）.【分析】（1）由，由正弦定理可得：，可得，化简即可求值；（2）由，根据余弦定理，代入可得：，所以，再根据面积公式即可得解.【详解】（1）由，由正弦定理可得：，可得，在中，，，可得：，故；（2）由（1）知，且，根据余弦定理，代入可得：，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.5．（1）当时，有最大值2；（2）．【分析】（1）先化简函数，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小．【详解】解：（1）∵，∴当，即时，有最大值2；（2）由题意可得，∴，∴，∴，由余弦定理，代入数据得，又∵，∴，当且仅当时取等号，∴．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6．（1）；（2）.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得，再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出结果.【详解】（1），得，∴.（2）的面积，由正弦定理可知，由，则，∴的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.7．（1）；（2）.【分析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据不为0，得出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.【详解】（1）原式可化为：，，，，又，；（2）由余弦定理，得，，，，，.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，考查了平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握计算公式及法则是解本题的关键，属于基础题.8．（1）3，（2）7【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,则，（2）因为∠ACB＝60°，所以,在中，由余弦定理得，【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．（1）；（2）.【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．【详解】解：（1）因为，，.由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．10．（1）（2）【分析】(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA,(2)先用余弦定理求出边a，再将式子化简，求解即可.【详解】（1）因为的面积为,所以，所以．因为中，为锐角，所以.（2）在中，由余弦定理，，所以．由正弦定理,所以.所以.【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.11．（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理可得：，代入余弦定理，即可得解；（2）根据内角和为，求出角，解得为直角三角形，即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，所以，所以.（2）因为，，所以，所以，可得.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.12．（1）240m；（2），.【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.（2）由（1）知的长度，利用正弦定理求的长度，结合，利用面积公式即可.【详解】（1）在中，，，所以.因为，所以，由正弦定理得，所以；（2）在中，设，则，由正弦定理得.所以.所以.因为.所以当时，S取到最大值.答：的长度为，，S取到最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题.13．（1）；（2）∠A＝120°.【分析】由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，进而求出∠A的值．【详解】（1）由正弦定理得＝可得，＝＝，所以b＝＝5．（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，又因为，所以∠A＝120°．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b的值，是解题的关键．14．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合，可以求出的值，运用正弦定理，可以求出a的值；（Ⅱ）由，，运用诱导公式，可以求出的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值.【详解】解：（Ⅰ）在中，由，得．因为，由正弦定理，得，即，所以．（Ⅱ）因为，，所以，．所以．故．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.15．（1）（2）面积的最大值为；此时【分析】（1）在三角形中，，结合条件可得，由此可求出答案；（2）由可得，则，此时，，再由余弦定理即可求出答案．【详解】解：（1）∵，∴，∵，，∴，则；（2）因，，，，故，于是，，∴面积的最大值为，且当取得最大值时，，，可得，，由余弦定理，，即得．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题．16．（1）（2）a【分析】（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即可得出.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，代入化简即可得出.【详解】解（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即∵0＜C＜π，∴sinC≠0，故cosC≠0∴又0＜C＜π，∴.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得a22acos，即a2﹣3a﹣8＝0，解得a，又a＞0，∴a.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．（1）；（2）．【分析】（1）先由正弦定理得，再结合余弦定理求出，然后结合求解即可；（2）由两角和、差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由，结合正弦定理，得，所以，因为，所以．因为，所以，由正弦定理，可得（2）在中，，所以，于是，又，，故，因为，所以．因此．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.18．（1）；（2）【分析】（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得，根据同角三角函数基本关系式即可求得；（2）由同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形面积公式求得的值，代入所给等式，即可求解的值.【详解】（1）在中，由三角形面积公式得，，由余弦定理得，，，，整理可得，又，，故，.（2）由（1）得，,，，，，解得，，.【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题.19．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，消去，可得，可得答案；（2）由（1）所求A及，可得的值，再由余弦定理，可得b，c的值.【详解】解：（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以．因为A为锐角，所以．（