2021届宁夏中卫市高考二模数学（理科）试卷

2021年宁夏中卫市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（每小题5分）.

1.已知集合4={xGN|2x-7W0},A{x|V-2x-3W0},则()

7

A.U|0<A<3}B.{0,1,2,3}C.{x|-l<x<y}D.{1,2,3)

2.设复数z=43,那么在复平面内复数3z-l对应的点位于（

）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知a=log32,8=2°IV,则()

c=3

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

4.若E,〃是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，且a,庐B,则"卬〃〃"是"a

B”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱椎的最长棱为（）

A.2B.2^2C.捉D.4

6,埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的

思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这

种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下

面的几个埃及分数求和不正确的是（）

.11111163n1「1-1』一：1-50

2481632646422-142-162-1502-151

„11111n11149

246121+21+2+31+2+3+…+5051

7.已知抛物线『px（p>0）的焦点为F,准线为1,过点产且斜率为的直线交抛物线于点M

（〃在第一象限），MNA.1,垂足为M直线版交y轴于点若|MDb2«,则抛物线的方程是

（）

A.y=xB.y=2xC.y=4xD.y=8x

8.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民

族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字.汉字是书法艺术的精髓.汉字本

身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、

隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中

任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）

9.某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A./,(x)=Ce~e'1')cosxB.f(x)=(,e~e'z)|cosx|

C.f(x)=(e+e1')cosxD.f(x)=Ce+e1)sinx

22

10.点P是双曲线¥-31仁>0,b>0)右支上的一点，R,K分别是双曲线的左、右焦点，点

/是△阳K的内切圆圆心，记△〃%,△历K的面积分别为S,£,S,若

恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()

A.(0,2]B.[2,+8)C.(1,2]D.[加，Q)

11.若[nx---(x>l,y>l)，贝!1()

Inxlny

A.d-x>lB.『「〈IC.犬r-1>lD.

12.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其

不能到达的空间的体积为()

P9413

A.32-—nB.48-12nC.28-—uD.20-—n

333

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知随机变量E服从正态分布〃(3,o2),P(6W6)=0.84,贝！1P(EWO)=.

14.设x=e函数/'(x)=3cos;v+sinx的一个极值点，贝!Itan。=.

=

15.已知ar&2>e?是空间单位向量，ej*e2e2*e3=e3*e1若空间向量1满足

a=x%+y^2(%HR)，Ial=2>则Ha•63］的最大值是.

16.若数列｛aj满足a=2,@血=4@〃+4瓜+1,则使得a02202()2成立的最小正整数n的值是.

三、解答题：(本大题共3小题，满分34分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知，如图四棱锥P-四笫中，底面倒力为菱形，/腑-60°,AB=PA=2,阳，平面四切,

E,〃分别是比；阳中点，点尸在棱PC上移动.

(1)证明：无论点尸在比上如何移动，都有平面岫L平面加：

(2)当直线力尸与平面尸龙所成的角最大时，确定点尸的位置.

22r~

18.已知椭圆C：的离心率为也，椭圆的中心0到直线广y-26=0的距离

b，2

为

(1)求椭圆。的方程；

(2)设过椭圆C的右焦点尸且倾斜角为45。的直线［和椭圆交于4夕两点，对于椭圆C上任意

一点〃，若祈=入水+P•五，求入口的最大值.

21

19.已知函数f(x)="-+之x2-2x(aER)(e=2.71828…是自然对数的底数).

e2

(1)若f(x)在xG(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围；

191

(2)a=l时，讨论关于x的方程+2x］―丁b=|lnx|(b€R)的根的个数.

/xe

(二)选考题：(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分)

［选修4-4：坐标系与参数方程］

(1

x=-yt

20.在直角坐标系与加中，直线1的参数方程为J厂(1为参数，aGR).以坐标原点为极

内丁

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为P=4cos。，射线8吟JT(p》0)

与曲线。交于0,尸两点，直线/与曲线C交于儿8两点.

(1)求直线I的普通方程和曲线。的直角坐标方程；

(2)当|闻=|明时,求a的值.

［选修4-5：不等式选讲］

21.设函数f(x)=|A+1|-|x|的最大值为0.

(1)求⑷的值；

2,2

(2)若正实数a,b满足外b=m,求招—的最小值.

b+1a+1

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合4={xGN|2x-7W0},Q{x|/-2x-3W0},贝《力口6=()

7

A.{x|0〈共3}B.{0,1,2,3}C.{x|-l<x<y}D.{1,2,3)

VA={x€N|x<y)=(0,1,2,3},4{x|-1/尽3},

：.Ar}B={Q,1,2.3}.

故选：B.

2.设复数z福,

那么在复平面内复数3z-l对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1-1（1-i）2

解：复数z=

1+i(l+i)(l-i)2

那么在复平面内复数3z-l=-l-3i♦对应的点(-1,-3)位于第三象限,

故选：C.

3.已知a=log32,6=2°/，万，则(

c=3”

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

解：V0=log31<a=log32<log33=l,

7>7>201=/>>1>2°=1,

c=3222

'.c>b>a.

故选：D.

4.若m,〃是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，且加，a,nc0,则“必〃"”是“a_L

6”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：若0，a,m//n,则a_La,又ncB,所以a_LB,即um//nn是“a_L8”的充分条件;

若小La,a_LB,则必〃B或g8,又RB,所以如〃的关系不确定,

即是"aJ.B”的不必要条件;

所以“必〃是“a_LB”的充分不必要条件.

故选：A.

5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（）

D.4

解：由题意几何体的直观图如图：正四棱锥尸-四力,

其中，P0工底面ABCD,ABCD是正方形,

对角线长为2P0=2,

所以PC=PA=PB=PD=4（衣）2+22=4，

AB=BC=CD=DA-1\j（^f2）+（V2）=2,

所以最长的棱长为加.

故选：C.

6.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的

思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这

种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下

面的几个埃及分数求和不正确的是（）

A.11111163

248163264-64

111150

B.-------+-------4--------+•••4----------=----

22-142-162-1502-151

C.11111

277万

D.---1--+1P-•+1=49

1+21+2+31+2+3+-+5051

解：对于/,-^+^+―+—+-^-+—=-----爱—=1--=-;故/正确;

24816326416464

12

2

对于B,-5--+-5~~+~0—+…+---5-=--~1■—-~~h--~~•—•+——-——=—(1--i+―

22-142-162-1502-11X33X55X749X51233

工…+工」)=—=25故8不正确;

5495125151

对于C,故C正确;

对于D,'：1+2+3+・“+片述X：L）-,

•____I—―2_=2占」一),

1+2+3+…tnn(n+l)nn+1

・

1…1-or1L.1k+11x_9,11x49

1+21+2+31+2+3+…+502334505125151

故。正确.

故选：B.

7.已知抛物线/=2冲（p>0）的焦点为区准线为1,过点b且斜率为的直线交抛物线于点〃

（〃在第一象限），MN1.1,垂足为M直线独交y轴于点〃，若|的）上2«,则抛物线的方程是

（）

A.y=xB.y=2xC.y=4xD.y=8x

解：由题意如图，过点尸且斜率为我的直线交抛物线于点〃（〃在第一象限），

可知，NMF=60°,

MNL1,垂足为乂直线版交y轴于点。，准线与x轴的交点为《

所以仞上掰。是"的中点，AN〃OD版诙D是NF帆中屈,所以血1帆/麻=30。，

IND1=273.所以I炳=4,贝!||恻=4,|困=2,

cos30

所以尸在恻上的射影是腑是中点，所以尸（1,0）,

可得0=2,

所以抛物线方程为：，=4x.

8.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民

族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字.汉字是书法艺术的精髓.汉字本

身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、

隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中

任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）

解：甲选两种书体共有5X4=20种，乙选两种书体共有5X4=20种，一共有400种选法，

甲不选隶书体有4X3=12种，乙不选草书体有4X3=12种，共有12X12=144种选法，共有12

X12=144种选法，

则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为々嘿=±.

40025

故选：C.

9.某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A.f(x)=(ex-e-z)COSJTB.f(x)=(ez-e-jr)|cosx|

C.f(x)=(ez+e-z)cosxD.f(x)=(ex+e-Osinx

x

解：对于氏当才>0时，e-e~>09cosx，0,故f(x)=(s'-/")|cosx|20,选项8错误;

对于C,由f(0)=0可知，选项。错误；

对于〃，当x=5时，F(5)=(犬+/5)•sin5<0,不符合题意，选项〃错误.

综上，只有选项力符合题意.

故选：A.

22

10.点尸是双曲线J-q=l(a〉0,b〉0)右支上的一点，R,月分别是双曲线的左、右焦点，点

，是△阳K的内切圆圆心，记△〃为，△〃无，△为K的面积分别为S,S,S,若

恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()

A.(0,2]B.[2,+8)C.(1,2]D.[加，―)

解：设△阁K的内切圆半径为r,则Si^lPFi"S2=y|PF2|r.S3-1|F1F2|r.

所以S[-$2=^~|PFi卜4|PF2|r=^r(|PF||-|PF2I)=ar《，"cr，所以2a<c,所以e2

2,

故选：B.

11.lnx-lny<—^--J—(x>l,y>l)，贝！1()

Inxlny

A.d-x>lB.^X<1C.夕r-1>lD./r-iVl

解：依题意，lnx-Tr-<lny--^-,

Inxlny

令f(t)=t-a，则f'(t)=l凸>0,

tt

・・・函数F(t)在R上单调递增，

Vlnx-7^-<lny--^,即/•(助x)<fQny),

Inxlny

/•lnx<lny,

Al<x<y,

Ay-x>0,

；・「〉』.

故选：A.

12.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其

不能到达的空间的体积为()

99413

A.32-等nB.48-12nC.28-=nD.20-^-or

333

解：由题意可知，小球球心活动的区域是棱长为2的正方体，

小球活动不到的区域分为两个部分，一部分是棱长为2的正方体的外部，另一部分是球在棱长为

2的正方体的顶点处的间隙，

小球在容器内活动不到的体积相当于棱长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，

所以其体积为〃正方便-匕i=23W_Xd=8考，

球在顶点处活动不到的部分放在一起，可以看成高为2,底面积为4的正四棱柱（3个）中间挖

掉底面积为冗，高为2的圆柱（3个）剩下部分的体积，

其体积为-Kffltt=3X（2X4-Jt.2）=24-6靠，

所以小球活动不到的部分的体积为8考*+24-6冗=32月工

故选：A.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量&服从正态分布〃（3,。②）,尸（&W6）=0.84,则尸（&W0）=0,16.

解：：随机变量自服从正态分布〃（3,。,），

,:P(号46)=0.84,

：.P(€26)=1-0.84=0.16,

：.P(gW0)=尸(&26)=1-P(&W6)=0.16,

故答案为：0.16.

14.设x=。函数f(x)=3cos;r+sinx的一个极值点，则tan0=.

-3—

解：f(x)=-3sinA+cosjr,

因为才=8是函数=3cosKsiiur的一个极值点，

所以f(6)=-3sin0+cos6=0,

所以tan。=1•.

故答案为：

o

•••"I.

15.已知外,e?是空间单位向量，a】•日之二，？■e3=e3•%n，，若空间向量a满足

a=xel+ye2y£R),|m=2,贝IIIa•为1的最大值是一上乎■一,

o

=

解:空间向量a满足a=x%+ye2（X，XR），e1*e2e2*e3=e3*e1=^>

由［1=2,

整理得|a|2=/；=4，

即f+j/+xy=4,

,

又|a"e3l=I（xe1+ye2）e3|=-|-|x+y|,

由于步+/22孙•，

所以由必+/+0=4,整理得3打W4,

即xyC告，

0

所以I户/|2=f+户2灯=下+六近盯（44=学，

00

故|x+y|《吉，

所以|；・司|^-|x+y|<-^=-^.

故答案为：2通.

3

16.若数列｛a“｝满足团=2,a„H=4a.+4伍+1,则使得a会2020?成立的最小正整数A的值是」

解：•.公尸4%+4卮+1>0,•,.正二）2=（2^+1）2,

•'-7an+l=2\^+1«AVan+l+1=2（H+1），历+1=扬1，

二数列｛尼+1｝是等比数列，首项为&+1,公比为2,

二伍+1=（72+1）•2"~

.♦.伍=（扬1）•2^-1,

则不等式&22020\化为：伍22020,

:.（V2+1）•2"T-122020,

“W10时不成立，77=11时，左边=（扬1）•1024-1>2.4X1024=2457.6>2020=右边.

二使得为22020Z成立的最小正整数n的值是11.

故答案为：11.

三、解答题：（本大题共3小题，满分34分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.巳知，如图四棱锥P-被笫中，底面侬刀为菱形，ZABC=60°,AB=PA=2,掰_L平面被/,

E,〃分别是8G依中点，点尸在棱尸C上移动.

（1）证明：无论点尸在R?上如何移动，都有平面的工平面9

（2）当直线"'与平面救所成的角最大时，确定点尸的位置.

HEC

【解答】（1）证明：连接〃；

•底面被笫为菱形，ZABC=&0°,

△■为正三角形，

•”是优的中点，

:.AE1BC,大AD//BC,

：.AELAD,

,.•为_1_平面眼力，AEu平面ABCD,

：.PALAE,

\'PAnAD=A,PA,止平面加，

二血平面PAD,

\"AEa平面AEF,

二平面被1平面PAD.

（2）解：由（1）知，AE,AD,4尸两两垂直，

故以/£、AD,力产所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则力（0,0,0）,B（V3-T，0），C（点，1,0）,

D（0,2,0）,P（0,0,2）,〃（0,1,1）,E（V3，0,0）,

二元=（心1.-2），PD=（0,2,-2）,AP=（0,0,2）.

设而=九同=（«入，入，-2入），AF=AP+PF=（V3^.入，2-2人）.

设平面尸（力的法向量为：=（%i,71,Zi）,

m*PC=V3xj+yj-2zt=0

m*PD=2yj-2zj=0

令Z1=«,则X|=1,y^Vs,

V3>V3)-

设直线"与平面Ra所成的角为e,

AFm

贝！］sin0=cos(AF,

IAF|-lm|

如卜《卜+2存2我入

[入)2+入2+(2-2入)2]xVV

2M

22

18.已知椭圆C：三+^^l(a>b>0)的离心率为华，椭圆的中心0到直线妙y-26=0的距离

a'b’2

为乐.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过椭圆C的右焦点尸且倾斜角为45。的直线1和椭圆交于4,B两点,对于椭圆C上任意

一点〃，若而=入水+|1而，求入口的最大值.

AJJz1\••c•2_32•,222_12

解：3•e=-=c，，,c，••b=a-c=va，

a244

•.•椭圆的中心0到直线妙y-26=0的距离为用,

22

：.b=5.；"2=25,a=4Z>=100,

22

二椭圆C的方程为院上

=1-

10025

(2)由(1)可知F(5愿，0),由题可知直线四的方程为y=x-5后，与椭圆C

'y=x-5«

2

的方程联立,x2y2.X-8V3X+40=0.

100।25T

设力(xi,yi),BCx2,y2),则有X[+X2=&/^»xtx2=40.

设〃(x,y),由祈=入水+|1而，

得Qx,y)=X(xi,yi)+u(生，%)=(Xxi+ux29入％+口》)，

「X=入X]+.x2

(y=Xy1+|ly2

又•.•点〃在椭圆上，.•./+4/=100,二(入X]+|lx2)2+4(入丫1+口丫2)2=1。0，

22

:.X(xf+4yj)+H(X2+4Y2)+2X|1(x1x2+4y1y2)=100.①

,:点A,8在椭圆上，,xj+4y；=100,x2+472=100.②

_=-

*.*X]x2+4y1y2=x1x2+4(xp&v/s)(x25V3)5x1x22()V3(xj+x2)+300=20.③

将②(⑨代人①可得入2+乩2+空卫=1，V入2+112gl£>2入H总艮=¥■人小

bbb0

・・・X当且仅当入=□时取“=”.

**•入M的最大值为

19.已知函数f(x)=*4x2-2x(a€R)(e=2.71828…是自然对数的底数).

eN

(1)若/*(x)在刀£(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围；

121

(2)a=l时，讨论关于x的方程[f(x)-不x+2x]-----Lb=llnx|(b€R)的根的个数.

2xex

解：(1)由题意可求得f'小)=式2、丁.2.)+*_2=(厂2)(：x一卷)，

因为/'(x)在xG(0,2)内有两个极值点，

所以f(x)=0在xe(0,2)内有两个不相等的变号根，

即，-&?=0在xe(0,2)上有两个不相等的变号根，

设g(x)=S-ax,则g'(x)=e'-a,

①当aWO时，xJ(0,2),g'(x)=ex-a>Q,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，不符合条件；

②当a>0时，令g'(x)=e*-a=0得x=Zna,

当即a2e?时，xG(0,2),g'(x)=ex-a<0,

所以g（x）在（0,2）上单调递减，不符合条件,

当InaWO,即OVaWl时，xJ(0,2),g'(x)=e-a>0,

所以g（x）在（0,2）上单调递增，不符合条件,

当0V/AaV2,即IVaVe。时，g在（0,Ina）上单调递减，Qna,2）上单调递增,

若要e'-ax=0在xG(0,2)上有两个不相等的变号根，

2

则g(0)>0且g⑵>0且g^lna)<0且Q<lna<2,解得e<a<£—；

2

2

综上所述，a的取值范围是(e,旦-)；

2

(2)-^h(x)=|lnx|-[f(x)-1-x2+2x]—|lnx|--x€(0,+c0),

Nxee

令y"k，则/上条，所以尸会在(o,卷)上单调递增，在*Q)上单调递减，

eee''

-2x

(i)当(1,+8)时，lnx>0,则h(x)==lnx^-b,所以h，(X)=e'(--+2xT)，

ex

因为2x-l>0,且二>0,所以"(X)>0,因此力(x)在(1,+8)上单调递增，

x

x_2x

-2x

(ii)当xe(0,1)时，lnx<0,贝!]h(x)=Tnx^b,所以卜，(x)=e(―^—+2x-l)，

ex

因为小e(1,e),e2x>l>x>0,2x-1<1,

-2x

所以h’(X)=e(-^+2x-l)<0,因此力(x)在(0,1)上单调递减，

x

综合(i)(u)可知，当xG(0,+8)时，h(x)2(1)=-e2-b,

当方(1)=-或2-6>0,即6<-以2时，h(B没有零点，故关于x的方程根的个数为0,

当力(1)=-或2-。=0,即Z)=-/2时，方(x)只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1,

当力(1)=-e'2-b<0,即b>-/2时，

-1+

①当xe(1,+8)时，h(x)=lnx|^-b>lnx-(yeb)>lnx-l-b,

要使力(x)>0,可令IzzxT-6>0,即xG(e"",+°°);

②当(0,1)时，h(x)=-lnx-^^b>-lnx-(ye-1+b)>-lnx-1-b,

eN

要使，(x)>0,可令-IAX-1-6>0,